Lista de Exercicios Resolvidos Analise Real Inducao Matematica

Lista de Exercícios Análise Real Problema 1 Resposta Todos os problemas serão resolvidos por indução a Observe que vale para 1 que 13 12 1 1 12 Suponha que valha que 13 23 n3 12 n n 12 Portanto vamos adicionar mais uma parcela 13 23 n3 n 13 12 n n 12 n 13 Note que 12 n n 12 n 13 14 n2n 12 n 1n 12 14 n2 4n 1n 12 14 n 22n 12 12 n 1n 12 Logo vale o resultado por indução b Observe que 3 4 12 3 Note que 3 é o primeiro termo da sequência e assim a1 8 1 5 que mostra que a relação é válida com um único termo Suponha que valha para n que 3 11 8n 5 4n2 n 2 Prove que 13 23 n3 12 nn 12 para todo n N 3 Prove que 3 11 8n 5 4n2 n para todo n N 4 Prove que 12 32 2n 12 4n3 n3 para todo n N Portanto vamos adicionar mais uma parcela 3 11 8n 5 8n 1 5 4n2 n 8n 1 5 Note que 4n2 n 8n 1 5 4n2 7n 3 4n2 2n 1 n 1 Assim temos que 3 11 8n 5 8n 1 5 4n2 2n 1 n 1 Logo vale o resultado por indução c Observe que 12 1 34 13 1 Suponha que valha para n que 12 32 2n 12 1 34n3 n Portanto vamos adicionar mais uma parcela 12 32 2n 12 2n 1 12 1 34n3 n 2n 1 12 Note que 1 34n3 n 2n 1 12 1 34n3 n 2n 12 1 34n3 n 12n2 12n 3 1 34n3 12n2 11n 3 1 34n 13 n 1 Assim temos que 12 32 2n 12 2n 1 12 1 34n 13 n 1 Logo vale o resultado por indução 2