Coordenadas e Vetores no Plano

1 Coordenadas e vetores no plano 11 Sistema de coordenadas e distância na reta 12 Sistema de coordenadas e distância entre pontos do plano 13 Vetores e operações 14 Combinação linear de vetores 15 Produto escalar e Ângulo 11 Sistema de coordenadas e distância na reta Coordenadas e distância na reta Sejam r uma reta e overrightarrowOA uma semirreta de r com origem num ponto escolhido O de r Seja B um ponto de r tal que O está entre B e A A semirreta overrightarrowOB é dita oposta à semirreta overrightarrowOA A reta r é posta em correspondência com o conjunto dos números reais mathbbR da seguinte maneira à origem O fazse corresponder o número 0 zero a cada ponto X eq O da semirreta overrightarrowOA corresponde o número real positivo x dOX a cada ponto X X eq O da semirreta overrightarrowOB corresponde o número real negativo x dOX A correspondência r leftrightarrow mathbbR acima descrita é biunívoca DEFINIÇÃO 1 O número real x que corresponde ao ponto X segundo a correspondência acima estabelecida é denominado a coordenada do ponto X xdOX 0 xdOX DEFINIÇÃO 2 Sejam X e Y pontos da reta r com coordenadas x e y respectivamente Dizemos que o ponto Y está à direita do ponto X ou que o ponto X está à esquerda do ponto Y se e somente se x y Dessa forma os pontos da semirreta overrightarrowOA distintos de O estão à direita de O e os pontos da semirreta oposta a overrightarrowOA estão à esquerda de O Assim semirreta overrightarrowOA estabelece um sentido de percurso na reta r Uma reta sobre a qual foi escolhida uma semirreta overrightarrowOA denominada eixos E de origem O e direção induzida pela semirreta overrightarrowOA PROPOSIÇÃO 3 Se x e y são as coordenadas dos pontos X e Y sobre o eixo E respectivamente então dXY x y Pela Proposição 3 temos que se CD é um segmento do eixo E tal que C está à esquerda de D então o ponto X pertence ao segmento CD se e só se c leq x leq d onde c d e x são as coordenadas de C D e X respectivamente Isto é há uma correspondência biunívoca entre os pontos do segmento CD e os números reais do intervalo cd CD leftrightarrow cd EXEMPLO 1 Sejam X e Y pontos de coordenadas x e y no eixo E Então a coordenada do ponto médio M do segmento XY é m fracxy2 Sendo M o ponto médio do segmento XY temse dMX dMY 12 Sistema de coordenadas e distância entre pontos do plano Os números a b in mathbbR do par ordenado ab associado ao ponto P são as coordenadas cartesianas do ponto P a é a abscissa ou primeira coordenada de P e b é a ordenada ou segunda coordenada de P Na figura ilustramos alguns pontos do plano pi com suas coordenadas em relação ao sistema OXY Reciprocamente ao par ordenado ab in mathbbR2 associamos o ponto P do plano pi dado pela interseção da perpendicular ao eixo OX que passa pelo ponto de abscissa a com a perpendicular ao eixo OY que passa pelo ponto de ordenada b Sabendo que ab ab em mathbbR2 se e somente se a a e b b é simples verificar que a correspondência ponto do plano pi leftrightarrow par ordenado de mathbbR2 é uma bijeção isto é uma correspondência biunívoca Notação Se P in pi corresponde a ab in mathbbR2 escrevemos P ab Observe que os pontos do eixo OX têm coordenadas x0 e os pontos do eixo OY têm coordenadas 0y Distância entre pontos do plano M é o ponto médio do segmento AB C é o círculo C de centro A e raio r 0 é o conjunto que consiste dos pontos do plano π situados à distância r do ponto A ou seja C P π dP A r 13 Vetores e operações Seja AB um segmento orientado de origem A e extremidade B No segmento orientado AB estabelecemos o sentido de percurso de A para B Dizemos então que o segmento orientado BA tem sentido de percurso oposto ao do segmento orientado AB Definição Dizemos que os segmentos orientados AB e CD são equipolentes e escrevemos AB CD quando satisfazem às seguintes três propriedades a têm o mesmo comprimento b são paralelos ou colineares c têm o mesmo sentido Proposição Dados os pontos A B e C existe um único ponto D tal que AB CD A relação de equipolência é uma relação de equivalência no conjunto de todos os segmentos orientados do plano Isto é a equipolência é reflexiva AB AB simétrica AB CD implica CD AB e transitiva AB CD e CD EF implica AB EF Definição Sejam A e B pontos do plano O vetor 𝑣 𝐴𝐵 é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB Cada segmento equipolente a AB é um representante do vetor 𝐴𝐵 Observações Vetor nulo 0 𝐴𝐴 Dado um vetor 𝑣 e um ponto qualquer C existe um único ponto D tal que 𝑣 𝐶𝐷 Exemplo A 2 5 B 6 7 𝐴𝐵 43 Seja OXY um sistema de eixos ortogonais no plano Para todo vetor v existe um único ponto P tal que v OP Além disso as coordenadas do ponto P coincidem com as coordenadas do vetor v Outra forma geométrica de visualizar a soma de dois vetores no plano é feita da seguinte maneira sejam u AB e v CD vetores no plano que não são paralelos P um ponto escolhido no plano e Q R tais que u PQ e v PR O produto de λ R por v é o vetor λ v λAB representado pelo segmento orientado AC tal que a A B e C são colineares b dA C λdA B c B C se λ 0 d Os segmentos AC e AB têm igual sentido se λ 0 e sentidos opostos se λ 0 λ v λAA AA 0 0AB AA 0 Não confunda o número 0 zero com o vetor 0 vetor nulo Escrevemos 1 v v para designar o vetor simétrico de v Se v α β então v α β O vetor diferença de e v é o vetor v v v v 14 Combinação linear de vetores Observações Verifique que qualquer vetor do plano se escreve como combinação linear dos vetores u 2 1 e v 3 2 Escreva o vetor w 1 1 como combinação linear de u e v Solução Os vetores u e v não são múltiplos um do outro pois 2 1 3 2 4 3 1 0 Sendo assim qualquer vetor do plano se escreve de forma única como combinação linear de u e v Determinemos λ μ R tais que w λ u μ v Em coordenadas essa equação se escreve na forma 1 1 λ2 1 μ3 2 2λ 3μ λ 2μ ou seja 2λ 3μ 1 λ 2μ 1 Resolvendo esse sistema obtemos λ 5 e μ 3 Portanto w 5 u 3 v 15 Produto escalar e Ângulo Observações Observações a Temos v 0 v 0 Além disso v 0 v 0 b Se v é um vetor e λ R então λ v λ v De fato se v x y temos λ v λx λy e portanto λ v λx² λy² λ²x² y² x² y² v c Um vetor é chamado unitário se sua norma é igual a 1 d Se v 0 o vetor v v é um vetor unitário chamado normalizado do vetor v com igual direção e sentido que v De fato os vetores têm a mesma direção são paralelos pois um é múltiplo do outro Pelo item b temos v v 1 e Se v 0 o vetor v v é também unitário e tem a mesma direção que v mas não o mesmo sentido Observações a Medimos os ângulos em radianos ou em graus onde π radianos 180 b Note que 0 u v π equivalentemente 0 u v 180 c Temse λu μv u v se λμ 0 λu μv π u v se λμ 0 Definição O produto interno dos vetores u e v do plano é o número real u v definido da seguinte maneira u v 0 se u 0 ou v 0 u v u v cos θ se u 0 v 0 e θ u v Observações a Da comutatividade da multiplicação de números reais concluímos que o produto interno é comutativo isto é u v v u para todos os vetores u e v do plano Seja θ u v Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo ΔOPQ obtemos v u² u² v² 2u v cos θ Daí 2u v cos θ u² v² v u² a² b² a² β² α a² β b² a² b² a² β² α² 2αa a² β² 2βb b² 2αα 2βb 2αα βb Portanto u v u v cos θ αα βb Para todos os vetores vecu e vecv do plano vale a desigualdade triangular vecu vecv leq vecu vecv valendo a igualdade se e somente se um dos vetores vecu ou vecv é zero ou são múltiplos positivos um do outro O vetor vecu é perpendicular ou ortogonal ao vetor vecv e escrevemos vecu perp vecv se vecu vec0 ou vecv vec0 ou vecu vecv 90circ Os vetores vecu e vecv são ortonormais quando são unitários e ortogonais Dois vetores são perpendiculares se e só se o seu produto interno é zero vecu perp vecv Leftrightarrow vecu vecv 0 Se vecu a b é um vetor não nulo então vecv perp vecu Leftrightarrow vecv lambdab a para algum lambda in mathbbR Sejam vecu AB e vecv AC eq vec0 vetores representados por segmentos orientados com a mesma origem Seja B o pé da perpendicular baixa do ponto B sobre a reta que contém os pontos A e C A projeção do vetor vecu na direção do vetor vecv eq vec0 é dada por extProjvecv vecu fracvecu vecvvecv2 vecv Em particular se o vetor vecv é unitário temos extProjvecv vecu vecu vecv vecv Como o ponto B na Definição 29 pertence à reta que contém A e C temos extProjvecv vecu AB lambda AC lambda vecv para algum lambda in mathbbR Sendo o vetor vecBB AB AB vecu lambda vecv perpendicular ao vetor vecv AC temos vecu lambda vecv vecv 0 Leftrightarrow vecu vecv lambda vecv2 0 Rightarrow lambda fracvecu vecvvecv2