Notas de Aula: Posição Relativa entre Retas no Espaço

Notas de aula baseadas no livro texto para uso exclusivo na disciplina de Geometria Analítica Engenharia Civil Unioeste Proibido o compartilhamento deste conteúdo com terceiros Aula 11 Posição relativa entre retas no espaço Retas reversas e Produto Misto Sejam r a reta que passa pelos pontos A 2 3 1 e B 1 2 3 e s a reta que passa pelos pontos C 4 2 1 e D 6 4 3 Verifique a posição relativa das duas retas Sejam r a reta que passa pelos pontos A 2 3 1 e B 1 2 3 e s a reta que passa pelos pontos C 4 2 1 e D 6 4 3 Verifique a posição relativa das duas retas Sejam r a reta que passa pelos pontos A 2 3 1 e B 1 2 3 e s a reta que passa pelos pontos C 4 2 1 e D 6 4 3 Verifique a posição relativa das duas retas Sejam r a reta que passa pelos pontos A 2 3 1 e B 1 2 3 e s a reta que passa pelos pontos C 4 2 1 e D 6 4 3 Verifique a posição relativa das duas retas Sejam r a reta que passa pelos pontos A 2 3 1 e B 1 2 3 e s a reta que passa pelos pontos C 4 2 1 e D 6 4 3 Verifique a posição relativa das duas retas Seja A x₁ y₁ z₁ um ponto pertencente a um plano π e n a b c 0 um vetor normal ao plano A plano π pode ser definido como sendo o conjunto dos pontos P x y z do espaço tais que o vetor AP é ortogonal a n Assim P π AP n 0 o que nos conduz a ax by cz ax₁ by₁ cz₁ 0 Seja A x₁ y₁ z₁ um ponto pertencente a um plano π e n a b c 0 um vetor normal ao plano A plano π pode ser definido como sendo o conjunto dos pontos P x y z do espaço tais que o vetor AP é ortogonal a n Assim P π AP n 0 o que nos conduz a ax by cz ax₁ by₁ cz₁ 0 fazendo d ax₁ by₁ cz₁ obtemos ax by cz d 0 a qual é chamada de Equação geral ou cartesiana do plano π Exemplos 1 Determinar a equação geral do plano π que passa pelo ponto A 2 1 3 sendo n 3 2 4 um vetor normal a π O plano O plano O plano Determinar a equação geral do plano π que passa pelo ponto A 2 1 3 sendo n 3 2 4 um vetor normal a π Seja A x₀ y₀ z₀ um ponto de um plano π e u a₁ b₁ c₁ e v a₂ b₂ c₂ dois vetores não colineares Um ponto P x y z pertence ao plano que passa por A e é paralelo aos vetores u e v se e somente se existem escalares s t tais que overrightarrowAP soverrightarrowu toverrightarrowv Seja A x₀ y₀ z₀ um ponto de um plano π e u a₁ b₁ c₁ e v a₂ b₂ c₂ dois vetores não colineares Um ponto P x y z pertence ao plano que passa por A e é paralelo aos vetores u e v se e somente se existem escalares s t tais que overrightarrowAP soverrightarrowu toverrightarrowv Daqui π x x₀ a₁ s a₂ t y y₀ b₁ s b₂ t z z₀ c₁ s c₂ t s t ℝ as quais são chamadas de equações paramétricas do plano π O ângulo entre os planos π₁ e π₂ é o menor ângulo que um vetor normal de π₁ forma com um vetor normal de π₂ Se θ é este ângulo então θ é dado por cos θ n₁ n₂ n₁ n₂ com 0 θ π2 onde n₁ a₁ b₁ c₁ e n₂ a₂ b₂ c₂ π₁ é paralelo a π₂ quando n₁ n₂ ou seja quando a₁a₂ b₁b₂ c₁c₂ π₁ e π₂ são coincidentes quando a₁a₂ b₁b₂ c₁c₂ d₁d₂ Condição de paralelismo e perpendicularismo de dois planos Planos paralelos coincidentes e perpendiculares Sejam π₁ a₁x b₁y c₁z d₁ 0 e π₂ a₂x b₂y c₂z d₂ 0 Define n₁ a₁ b₁ c₁ e n₂ a₂ b₂ c₂ Temse que π₁ é paralelo a π₂ quando n₁ n₂ ou seja quando a₁a₂ b₁b₂ c₁c₂ π₁ e π₂ são coincidentes quando a₁a₂ b₁b₂ c₁c₂ d₁d₂ π₁ é perpendicular a π₂ quando n₁ n₂ 0 Exemplos Exemplos 1 Determinar o ângulo entre os planos π₁ 2x 3y 5z 8 0 e π₂ 3x 2y 5z 4 0 Exemplos Exemplos 1 Determinar o ângulo entre os planos π₁ 2x 3y 5z 8 0 e π₂ 3x 2y 5z 4 0 2 Calcular os valores de m e n para que o plano π₁ 2m 1x 2y nz 3 0 seja paralelo ao plano π₂ 4x 4y z 0 Ângulo de uma reta com um plano Seja r uma reta com vetor direção vecv e pi um plano com vetor normal vecn O ângulo entre r e pi é dado por sen heta fraclangle vecv vecn ranglevecv vecn com 0 leq heta leq fracpi2 Ângulo de uma reta com um plano Seja r uma reta com vetor direção vecv e pi um plano com vetor normal vecn O ângulo entre r e pi é dado por sen heta fraclangle vecv vecn ranglevecv vecn com 0 leq heta leq fracpi2 Paralelismo e perpendicularismo Seja r uma reta com vetor direção vecv e pi um plano com vetor normal vecn r e pi são paralelos quando langle vecv vecn rangle 0 Ângulo de uma reta com um plano Seja r uma reta com vetor direção vecv e pi um plano com vetor normal vecn O ângulo entre r e pi é dado por sen heta fraclangle vecv vecn ranglevecv vecn com 0 leq heta leq fracpi2 Paralelismo e perpendicularismo Seja r uma reta com vetor direção vecv e pi um plano com vetor normal vecn r e pi são paralelos quando langle vecv vecn rangle 0 r e pi são perpendiculares quando vecv e vecn são paralelos Exemplos Exemplos Interseção de dois planos A interseção de dois planos não paralelos é uma reta Interseção de dois planos A interseção de dois planos não paralelos é uma reta Considere o exemplo r 5x 2y z 7 0 3x 3y z 4 0 Distância entre dois pontos A distância entre os pontos P₁ x₁ y₁ z₁ e P₂ x₂ y₂ z₂ é dada por dP₁ P₂ x₁ x₂² y₁ y₂² z₁ z₂² Distância de um ponto a uma reta Seja r uma reta que passa pelo ponto A x₁ y₁ z₁ e tem vetor direção v a b c e seja B x₀ y₀ z₀ um ponto qualquer do espaço Temse que dB r v AB v Distância de um ponto a uma reta Seja r uma reta que passa pelo ponto A x₁ y₁ z₁ e tem vetor direção vecv a b c e seja B x₀ y₀ z₀ um ponto qualquer do espaço Temse que dB r fracvecv imes vecABvecv Temse que vecv imes vecAB ÁreaABCD vecvh Rightarrow dB r fracvecv imes vecABvecv Distância entre duas retas r e s Se as retas são coincidentes ou concorrentes então dr s 0 Distância entre duas retas r e s Se as retas são coincidentes ou concorrentes então dr s 0 Se as retas são paralelas então dr s dA r onde A é um ponto qualquer de s Distância entre duas retas r e s Se as retas são coincidentes ou concorrentes então dr s 0 Se as retas são paralelas então dr s dA r onde A é um ponto qualquer de s Se as retas são reversas então dr s u v AB u v onde A r e B s Distância entre duas retas r e s Se as retas são coincidentes ou concorrentes então dr s 0 Se as retas são paralelas então dr s dA r onde A é um ponto qualquer de s Se as retas são reversas então dr s u v AB u v onde A r e B s Distância envolvendo Planos Distância de um ponto a um plano Distância entre duas retas r e s Se as retas são coincidentes ou concorrentes então dr s 0 Se as retas são paralelas então dr s dA r onde A é um ponto qualquer de s Se as retas são reversas então dr s fracvecu vecv overrightarrowABvecu imes vecv onde A r e B s Distância entre duas retas r e s Se as retas são coincidentes ou concorrentes então dr s 0 Se as retas são paralelas então dr s dA r onde A é um ponto qualquer de s Se as retas são reversas então dr s fracvecu vecv overrightarrowABvecu imes vecv onde A r e B s Distância envolvendo Planos Distância de um ponto a um plano Distância entre dois planos Distância de uma reta a um plano