Notas de Aula: Comutatividade e Operações com Vetores em Geometria Analítica

Notas de aula baseadas no livro texto para uso exclusivo na disciplina de Geometria Analítica Engenharia Civil Unioeste Proibido o compartilhamento deste conteúdo com terceiros Aula 7 Comutatividade Operação com vetores no espaço Definição Sejam mathbfu e mathbfv vetores do espaço E Seja A um ponto qualquer do espaço e sejam AB e BC segmentos orientados representares dos vetores mathbfu e mathbfv respectivamente O vetor soma dos vetores mathbfu e mathbfv que denotamos por mathbfu mathbfv é o vetor representado pelo segmento orientado AC Cálculo do vetor soma Se mathbfu a b c e mathbfv a b c então mathbfu mathbfv a a b b c c Existência do elemento neutro Existência do inverso aditivo Definição Cálculo do vetor multiplicação por escalar Se mathbfu a b c e lambda in mathbbR então lambda mathbfu lambda a lambda b lambda c Colinearidade de coplanaridade de pontos no espaço Colinearidade de coplanaridade de pontos no espaço Operação com vetores no espaço Colinearidade de coplanaridade de pontos no espaço Colinearidade de coplanaridade de pontos no espaço Exemplos Verifique se os pontos A B e C são colineares onde A 1 1 0 B 1 1 1 e C 2 1 1 Verifique se os pontos A B e C são colineares onde A 1 1 0 B 1 1 1 e C 2 1 1 Um vetor v é uma combinação linear dos vetores v1 v2 v3 vn se existem escalares λ1 λ2 λ3 λn R tais que v λ1v1 λ2v2 λnvn u 21 2 0 31 2 2 Um vetor v é uma combinação linear dos vetores v1 v2 v3 vn se existem escalares λ1 λ2 λ3 λn R tais que v λ1v1 λ2v2 λnvn D π existem x y R tais que AD xAB yAC Sejam A 1 2 3 B 2 3 4 C 2 4 6 D 1 1 2 e E 4 5 2 pontos do espaço Mostre que A B e C não são colineares e determinam portanto um plano π Exemplo Exemplo Vetores Linearmente independentes Definição Vetores Linearmente independentes Critérios para verificar que vetores são LI Vetores Linearmente independentes Vetores Linearmente independentes Vetores Linearmente independentes Vetores Lineramente independentes Critérios para verificar que vetores são LI Sejam 𝑼 𝑽 e 𝑾 vetores do espaço Então as seguintes afirmações são equivalentes a os vetores 𝑼 𝑽 e 𝑾 são LI b todo vetor do espaço se escreve de maneira única como combinação linear dos vetores 𝑼 𝑽 e 𝑾 c se 𝛼𝑼 𝛽𝑽 𝛾𝑾 𝛼𝑼 𝛽𝑽 𝛾𝑾 então 𝛼 𝛼 𝛽 𝛽 e 𝛾 𝛾 d se 𝛼𝑼 𝛽𝑽 𝛾𝑾 0 então 𝛼 𝛽 𝛾 0 e nenhum dos vetores 𝑼 𝑽 e 𝑾 é combinação linear dos outros dois vetores f Todo vetor do espaço se escreve como combinação linear dos vetores 𝑼 𝑽 e 𝑾 Exemplos Considere os pontos 𝑂 0 0 0 𝑎 1 1 1 𝐵 3 1 2 𝐶 2 0 1 e 𝐷 1 0 1 1 Verifique que os pontos 𝑂 𝐴 𝐵 e 𝐶 são coplanares 2 Mostre que 𝑂 𝐴 𝐵 e 𝐷 são pontos não coplanares 3 Escreva o vetor 𝑾 2 6 5 como combinação linear dos vetores 𝑂𝐴 𝑂𝐵 e 𝑂𝐷