Notas de Aula sobre Elipses e Hipérboles na Geometria Analítica

Aula 5 Notas de aula baseadas no livro texto para uso exclusivo na disciplina de Geometria Analítica Engenharia Civil Unioeste Proibido o compartilhamento deste conteúdo com terceiros Aula 5 Forma canônica da elipse transladada Centro no ponto x0 y0 e reta focal paralela ao eixo OX Neste caso F1 x0 c y0 F2 x0 c y0 Assim x y E se e somente se dP F1 dP F2 2a Daqui x x0²a² y y0²b² 1 Centro no ponto x0 y0 e reta focal paralela ao eixo OX Neste caso F1 x0 c y0 F2 x0 c y0 Assim x y E se e somente se dP F1 dP F2 2a Daqui x x0²a² y y0²b² 1 Centro no ponto x0 y0 e reta focal paralela ao eixo OY Neste caso F1 x0 y0 c F2 x0 y0 c Assim x y E se e somente se dP F1 dP F2 2a Daqui x x0²b² y y0²a² 1 Centro no ponto x0 y0 e reta focal paralela ao eixo OY Neste caso F1 x0 y0 c F2 x0 y0 c Assim x y E se e somente se dP F1 dP F2 2a Daqui x x0²b² y y0²a² 1 Exemplo Exemplo Estudo da equação Ax² Cy² Dx Ey F 0 25x² 9y² 225 0 é equivalente a fracx²9 fracy²25 1 25x² 9y² 225 0 é equivalente a fracx²9 fracy²25 1 4x² 9y² 108x 6y 82 0 é equivalente a 36leftx frac32right² 9lefty frac13right² 0 cuja solução é leftfrac32 frac13right 25x² 9y² 225 0 é equivalente a fracx²9 fracy²25 1 4x² 9y² 108x 6y 82 0 é equivalente a 36leftx frac32right² 9lefty frac13right² 0 cuja solução é leftfrac32 frac13right 9x² 4y² 18x 9y 25 0 é equivalente a 9x 1² 4lefty frac98right² frac17516 Uma hipérbole ℋ de focos F₁ e F₂ é o conjunto dos pontos P do plano para os quais o módulo da diferença de suas distâncias a F₁ e F₂ é igual a uma constante 2a 0 menor do que a distância entre os focos 2c 0 ou seja ℋ P dP F₁ dP F₂ 2a com 0 a c dF₁ F₂ 2c Os ponto F₁ e F₂ são os focos da hipérbole Os ponto F₁ e F₂ são os focos da hipérbole A reta l que contém os focos é chamada de reta focal Os ponto F1 e F2 são os focos da hipérbole A reta que contém os focos é chamada de reta focal A intersecção da hipérbole com a reta focal contém exatamente dois pontos A1 e A2 chamados de vértices da hipérbole Os ponto F1 e F2 são os focos da hipérbole A reta que contém os focos é chamada de reta focal A intersecção da hipérbole com a reta focal contém exatamente dois pontos A1 e A2 chamados de vértices da hipérbole O segmento A1A2 de comprimento 2a é o eixo focal da hipérbole Os ponto F1 e F2 são os focos da hipérbole A reta que contém os focos é chamada de reta focal A intersecção da hipérbole com a reta focal contém exatamente dois pontos A1 e A2 chamados de vértices da hipérbole O segmento A1A2 de comprimento 2a é o eixo focal da hipérbole O centro C da hipérbole é o ponto médio do eixo focal A1A2 Os ponto F₁ e F₂ são os focos da hipérbole A reta l que contém os focos é chamada de reta focal A intersecção da hipérbole com a reta focal l contém exatamente dois pontos A₁ e A₂ chamados de vértices da hipérbole O segmento A₁A₂ de comprimento 2a é o eixo focal da hipérbole O centro C da hipérbole é o ponto médio do eixo focal A₁A₂ A reta não focal é a reta l perpendicular a l que passa pelo centro C Os ponto F₁ e F₂ são os focos da hipérbole A reta l que contém os focos é chamada de reta focal A intersecção da hipérbole com a reta focal l contém exatamente dois pontos A₁ e A₂ chamados de vértices da hipérbole O segmento A₁A₂ de comprimento 2a é o eixo focal da hipérbole O centro C da hipérbole é o ponto médio do eixo focal A₁A₂ A reta não focal é a reta l perpendicular a l que passa pelo centro C O segmento B₁B₂ perpendicular ao eixo focal que tem ponto médio C e comprimento 2b onde b² c² a² e denominado eixo não focal da hipérbole e B₁ e B₂ são os vértices imaginários da hipérbole Os ponto F₁ e F₂ são os focos da hipérbole A reta l que contém os focos é chamada de reta focal A intersecção da hipérbole com a reta focal l contém exatamente dois pontos A₁ e A₂ chamados de vértices da hipérbole O segmento A₁A₂ de comprimento 2a é o eixo focal da hipérbole O centro C da hipérbole é o ponto médio do eixo focal A₁A₂ A reta não focal é a reta l perpendicular a l que passa pelo centro C O segmento B₁B₂ perpendicular ao eixo focal que tem ponto médio C e comprimento 2b onde b² c² a² e denominado eixo não focal da hipérbole e B₁ e B₂ são os vértices imaginários da hipérbole Hipérbole Forma canônica da hipérbole Centro na origem e reta focal coincidente com o eixo OX Neste caso F₁ c 0 F₂ c 0 A₁ a 0 A₂ a 0 B₁ 0 b B₂ 0 b Forma canônica da hipérbole Centro na origem e reta focal coincidete com o eixo OX Neste caso F₁ c 0 F₂ c 0 A₁ a 0 A₂ a 0 B₁ 0 b B₂ 0 b Assim x y E se e somente se dP F₁ dP F₂ 2a Daqui x²a² y²b² 1 Forma canônica da hipérbole Centro na origem e reta focal coincidete com o eixo OY Neste caso F₁ 0 c F₂ 0 c A₁ 0 a A₂ 0 a B₁ b 0 B₂ b 0 Forma canônica da hipérbole Centro na origem e reta focal coincidete com o eixo OY Neste caso F₁ 0 c F₂ 0 c A₁ 0 a A₂ 0 a B₁ b 0 B₂ b 0 Forma canônica da hipérbole Centro na origem e reta focal coincidente com o eixo OY Neste caso F₁ 0 c F₂ 0 c A₁ 0 a A₂ 0 a B₁ b 0 B₂ b 0 Assim x y H se e somente se dP F₁ dP F₂ 2a Daqui fracy2a2 fracx2b2 1 Exemplo Determine a equação da hipérbole com focos em 8 0 e 8 0 e tal que a b Resposta fracx24 fracy24 1 Exemplo Forma canônica da hipérbole translada Geogebra Forma canônica da hipérbole traduzida Centro no ponto x0 y0 e reta focal paralela ao eixo OY Neste caso F1 x0 y0 c F2 x0 y0 c Assim x y H se e somente se dP F1 dP F2 2a Daqui y y0²a² x x0²b² 1 Estudo da equação Ax² Cy² Dx Ey F 0 Proposição Se os coeficientes A e C da equação do segundo grau Ax² Cy² Dx Ey F 0 têm sinal opostos então a equação representa um dos seguintes conjuntos Uma hipérbole com eixos paralelos aos eixos coordenados um par de retas concorrentes Parábola Parábola Terminologia A reta focal l da parábola P é a reta que contém o foco e é perpendicular à diretriz O ponto V da parábola P que pertence à reta focal é o vértice de P Se A é o ponto onde L intercepta l então V é o ponto médio do segmento AF A reta focal l da parábola P é a reta que contém o foco e é perpendicular à diretriz O ponto V da parábola P que pertence à reta focal é o vértice de P Se A é o ponto onde L intercepta l então V é o ponto médio do segmento AF O número 2p dV F é o parâmetro da parábola P Vértice na origem e reta focal coincidente com o eixo OY com F acima de L Neste caso F 0 p L y p Assim P x y P se e somente se dP L dP F x² y p² x² 4py Vértice na origem e reta focal coincidente com o eixo OY com F acima de L Neste caso F 0 p L y p Assim P x y P se e somente se dP L dP F x² y p² x² 4py Vértice na origem e reta focal coincidente com o eixo OY com F abaixo de L Neste caso F 0 p L y p Assim P x y P se e somente se dP L dP F x² y p² x² 4py Vértice na origem e reta focal coincidente com o eixo OX com F à direita de L Neste caso F p 0 L x p Assim P x y P se e somente se dP L dP F y² 4px Formas canônicas da parábola Exemplo Exemplo Formas canônicas da parábola Formas canônicas da parábola