Anotações - Estatística - 2023-2

Ex1: Producao blocos melhores / 100m² Bloco A B C D total 1 34 36 37 43 180 2 26 37 45 38 146 3 32 39 38 36 145 4 36 34 41 37 148 5 32 36 54 38 150 total 160 175 215 192 700 SQp = 34² + 36² + ... + 43² = 24500 = 950 SQtrat = 160² + 175² + ... + 192² - 24500 = 490 SQbloco = 107² + 138² + ... + 153² - 24500 = 160 SQR = 950 - 490 - 160 = 300 Ex1: Comparacao de media Perda de producao em Kg/m² A B C D E controle 25 10 8 23 11 8 17 2 8 29 23 6 27 2 5 35 25 6 19 4 19 35 17 0 15 16 6 33 9 2 Media x1 8 10 28 13 2 testar infinita medias H0: μA = μB = μC = μD = μE = μcontrole Hi: ANOVA gl SQ QM Fcalc Ftabelar trat. 5 2354,8 470,8 13,08 2,62 resíduo 24 864 36 Total 29 3518,8 Rejeitamos H0 média são 1 Agora investigar quais são ⇄ interai teste tukeq demo= xf QMeparece que vamos a precisar achar na prova repeticão q= mínimo tabelado tukeq dmc = 4,37 sqrt(36/5) = 11,73 diferença mínima significativa y̅1 - y̅2 = 13 > dmc y̅3 - y̅1 > dmc y̅4 - y̅controle > dmc y̅5 - y̅5 = 2 < dmc não tem diferença nas médias Experimento em Blocos Aleatorizados 08/11/23 Quando temos medidas de outros trata- mentos nas unidades experimentais ou parcelas, temos o uso de bloco p/ reduzir a variabilidade, pois a unidade é seu próprio controle. Trata Bloco 1 2 ... K Total 1 y₁¹ y₁² ... ... y₁K B₁ 2 y₂¹ y₂² .... y₂K B₂ : ..... .... .... .... ... : ..... .... .... .... ... 5 y₁y₁⁵ y≤₁⁵ y≤₂⁹ y≤₉₅ b≤ total T₁ T₂ Tₖ #Prova: Teste de Tukeáemet ANOVA Fonte gò SQ QM Fcalc Felem Variavel Trat. k-1 SQtrat QMtrat blœoc b-1 SQbloco QMbloco resíduo (k-1)(b-1) SQR QMR Total kb-1 SQtotal H0: μ1 = μ2 = μ3 = μK Hi: 01/10/23 Planejamento de Experimentos . Quando queremos avaliar a influência de algumas fontes de variação (fatores) realizamos experimentos controlados e medimos a variável principal e os demais fatores de variação. O experimento deve atender os objetivos do estudo. . O termo parcela a unidades experimentais se refere a unidade em que medimos os variáveis, por ex: uma partícula de solo, uma planta, um animal, uma máquina ou um trabalhador. . O termo tratamento é geralmente usado para um dos fatores de variação que pode ser comparado com o controle (grupo de um dado sem nenhum tratamento). . Para não ser tendencioso, usamos a aleatorização p/ atribuir os tratamentos as unidades experimentais ou parcelas. . A aleatorização é a base da estatística sem ela podemos cometer erros nas interpretações. A repetição é útil para aumentar a quantidade de informação sobre a variação de dados e está ligada ao tamanho amostral. Experimentos Completamente Aleatorizados . Neste caso, os unidades experimentais são sorteadas p/ receber os tratamentos de mesma quantidade, pois serão as repetições. P/ análise utilizamos a análise de variância (ANOVA) -> Tabela dos dados tratamentos 1 2 K y^11 y^12 ... y^1K y^21 y^22 ... y^2K y^31 y^32 .... y^3K : : ... : y^r1 y^r2 ... y^rK Total { T1 T2 Tk } ANOVA Fonte de Variação Grau de Soma F Liberdade Quadrado Calculado Tratamento K-1 SQtrat Qmtrat Resíduos (erro) n-k SQR QmR Total n-1 SQtotal F tabela T k-1, n-1 QM trat = SQ trat K-1 QMR = SQR n-k SQ total = Σy_{ij}^2 - C SQ trat = ΣTi^2 n C = SQR = SQ total - SQ trat Ex: Considere os dados (produção kg/100m²) Variedade de milho A B C D 25 31 22 33 26 29 24 29 23 28 28 33 20 27 25 31 média = (Σ² - 29²) Total: 145 135 130 155 138,25 C = (25+26+...+31)² = 14311,25 20 SQtotal = 25² + ... + 31² - 14311,25 = 275,75 SQtreat = 463,75 SQS= 278,75 - 163,75 = 1/2 Ex: Número de erros após consumo Variedade de milho A B C D 25 24 25 20 21 31 18 17 29 32 19 23 22 22 16 Total 75 87 84 76 ---- ---- ---- ---- 4 3 4 4 C = 320² = 7106 14 BQR = 380 - 200 = 130 BQE = 25² + ... + 16² - 7106 = 380 BQTotal = ²÷ ---- ÷ ---- ÷ ---- = 7106 = 200 IC (1-α) x 100% p/ μ1-μ2 (x̄ - x̄0 = ±t √(s1²/n1 + s2²/n2) IC 95% p/ μ1-μ2 [109 - 111 ± 2,042 √(56,7(1/23 + 1/24))] = [Linf, Lsup] Teste de 2 médias independentes com variâncias diferentes Ex.: Considere o crescimento de fungos T1 n x̄ s s² 23 1,8 1,6 2,56 controle 75 6,1 H0: 𝛔1² = 𝛔2² Hi: 𝛔1² ≠ 𝛔2² Fcalculado = 2,56 => F34,120 ≅ 1,35 como Fcalc > Ftabel rejeitamos H0 H0: μ1 = μ2 Hi: μ1 ≠ μ2 T = x̄1 - x̄2 ~ Tg √(s1²/n1 + s2²/n2) g = (A + B)² A² + B² g = 0,043 0,0000215 0,00016 g = 140,1 ≅ 110 Como Tcalculado está RC, logo não rejeitamos H0 - Variâncias iguais - Antes de reduzir ao teste é necessário testar as variâncias H0: 𝛔1² = 𝛔2² Hi: 𝛔1² ≠ 𝛔2² Fcalculado Ex.: Considere 1 tratamento e um controle p/ avaliar crescimento de milho T1 n x̄ s s² 23 109 7 49 controle 24 111 8 64 Teste se existe ≠ no tratamento e controle H0: 𝛔1² = 𝛔2² Hi: 𝛔1² ≠ 𝛔2² Fcalculado = 64 / 49 = 1,31 Rejeita H0 se Fcalculado > Ftabel ³Fb = Fgl mais, g/menos = F24-1, 23-1 = 2,07 Logo não rejeita H0. 𝛔1² ≠ 𝛔2² H0: μ1 = μ2 Hi: μ1 ≠ μ2 T = x̄1 - x̄2 ~ tn1 + n2 - 2 = t45 √(s² (1/n1 + 1/n2)) s²(n1-1) = n1s1²(n2-1) = s² (24(49) + 23(64)) = n1 + n2 - 2 IC (1-α) x 100% p/ μ1-μ2 x̄1 - x̄0 = ±t √(s1²/n1 + s2²/n2) IC 95% p/ μ1-μ2 [1,8 - 6,1 ± 1,968 √(1/23 + 0,56/75)] = [Linf, Lsup] Teste de 2 médias independentes com variâncias diferentes e notou-se que 89 germinaram do 1 e 77 do 2. Realise o teste de Hipóteses e calcule o IC (95%) para p1 - p2. H0: p1 = p2 H0: p1 > p2 Z = (p̂1 - p̂2) / sqrt[(p̂(1-p̂)/n1) + (p̂(1-p̂)/n2)] ~ N(0,1) p̂1 = 0,89 p̂2 = 0,77 Z = 0,89 - 0,77 / sqrt[(0,89(1-0,89)/100) + (0,77(1-0,77)/100)] = 2,08 (Desenho) não sujeito H0 RC 0,08 2,28 O valor calculado está na RC, logo sujeito H0, o temo 10% > µ IC 95% p1 - p2 = [p̂1 - p̂2 + z * sqrt[(p̂1(1-p̂1)/n1) + (p̂2(1-p̂2)/n2)]] [0,89 - 0,77 + 1,96 * sqrt{[(0,89(1-0,89)/100) + (0,77(1-0,77)/100)]] -> Teste de Hipótese p/ proporção <- Ex1: Uma ONG afirma que 40% dos poços tem água salobra. Uma amostra de 400 poços, verificou que tem 152 neste condição. Teste hipótese (α = 5) p̂ = 152/400 = 0,38 n=400 H0: p = 0,4 H1: p ≠ 0,4 Z = (p̂ - p0) / sqrt[(p0(1-p0)/n)] Z = 0,38 - 0,4 / sqrt[(0,4(1-0,4)/400)] = -0,82 (Desenho) RC 0,025 não sujeito HO N(0,1) RC -1,96 -0,82 1,96 Como Z calculated no RC, logo não rejeitamos H0, então p = 0,4 ou 40%. -> Teste de Hipótese p/ 2 proporções <- Ex: H0: p1 = p2 H1: p1 ≠ p2 H0: p1 = p2 H1: p1 < p2 H0: p1 = p2 H1: p1 > p2 Ex2: Existem 2 processos para preparo de sementes. O método 1 tem uma qualidade melhor no sucesso que método 2. Ambos usaram 100 sementes. Teste p/ 2 médias dependentes Quando temos medidas repetidas (antes e depois), desta forma os diferencias observadas nos unidades amostraIs, o fato de serem coletadas 2 vezes nos unidades amostras caracteriza a dependencia. Ex1: Considere o crescimento de alguma planta após uso de adubo Planta 1 2 3 4 5 6 Antes 75 50 50 60 60 70 Depois 85 75 70 65 60 90 Diferença 10 25 20 5 10 20 T = d̄/sd/sqrt(n) ~ tn-1 H0: µd = 0 H1: µd ≠ 0 (Desenho) não rejeitamos H0 RC -2,132 2,132 T = 15/(sqrt(60)/sqrt(6)) = 4,74 Como T calculado está no RC logo rejeitamos H0, então µd ≠ 0 Não sujeito H0 Não sujeito HC Ex.: Considere o tempo (h) para queimar a folha de plantas expostas a luz forte: 9,1 9,3 7,2 7,5 13,3 10,9 7,2 9,9 8,0 8,6 Pesquisador afirma que 7,2h as plantas apresentam queimaduras Realize test estatístico (a=5%) X̄=9,1 s=1,91 n=10 μ0=7,0 H0: μ=7,2 H1: μ≠7,2 T=X̄-μ0/(s/√n) T=9,1-7,2=2,48 1,91/√10 Como T calculado está na RC, logo rejeitamos H0, ou seja, μ=7,2h 18/10/23 Teste de Hipótese - Usamos testes estatísticos para mensurar probabilidades de algumas presunções ocorrem, baseadas nos resultados encontrados na amostra. Desta forma podemos tomar decisões importante. - O teste consiste em definir as hipótese nula e alternativa. Hipótese nula (H0): não apresenta diferença (conservadora). - Hipótese alternativa (H1 ou Ha): geralmente está associada ao sinal entre as diferenças de tratamento, por exemplo. O nível de significância do teste é o menor valor para se sujeitar a hipótese nula (H0). - O valor p é o menor valor de significância para se sujeitar H0, sendo fornecido por pacotes de estatística. - Fixado a α constituímos uma região crítica (RC) para sujeitar H0. Logo se a estatística cair no RC, sujeitamos H0. → Teste de Hipótese para média Ex.: Produção sacos milho/100m² Bloco A B C D total 1 34 36 37 62 180 2 26 37 35 38 136 3 32 39 45 30 146 4 36 34 41 37 158 5 32 36 53 32 152 C=700²=24500/20 Total 160 175 215 150 700 SQ=34^2+…+3^2=24500=950 SCI trato: 160^2+175^2+150^2+24500=490 SCBloco: 140^2+125^2+4232+24500=160 SQR=950-490-160=300 Ex.: Comparação de média Perda de produção em kg/m² A B C D E controle 25 10 18 23 11 8 17 2 8 29 23 -6 17 -12 5 25 5 6 25 4 15 35 17 0 15 16 6 33 9 2 Média 21 8 10 28 13 2 testar médios H0: μA=μN=μi=μD=μE=μcontrole Hi: Planejamento de Experimentos - Quando queremos avaliar a influência de algumas fontes de variação (fatores), realizamos experimentos controlados e medimos a variável principal e os demais fatores de variação. O experimento deve atender os objetivos do estudo. - O termo parcela a unidade experimental se refere a unidade em que medimos as variáveis, por ex: uma partícula de solo, uma planta, um animal, uma máquina ou um trabalhador. - O termo tratamento é geralmente usado para um dos fatores de variação que pode ser comparado com o controle (grupo de um dado sem nenhum tratamento) - Para não ser tendencioso, usamos a aleatorização p/ atribuir os tratamentos às unidades experimentais ou parcelas. - A aleatorização é a base da estatística, sem ela podemos cometer erros nas interpretações. A repetição é útil para aumentar a quantidade de informação sobre a variação de dados e está ligada ao tamanho amostral.