Slide - Comparação Entre Duas Ou Mais Médias Populacionais Pt1 2022-2

ESTAT´ISTICA E EXPERIMENTAC¸ ˜AO COMPARAC¸ ˜AO ENTRE DUAS OU MAIS M´EDIAS POPULACIONAIS Parte 1: Dados independentes (delineamento inteiramente aleatorizado) Luzia A. Trinca (luzia.trinca@unesp.br) 1 / 23 Compara¸c˜ao de duas ou mais m´edias de tratamentos Objetivos: 1. Apresentar a t´ecnica ANOVA 2. Apresentar um teste de compara¸c˜oes m´ultiplas 2 / 23 Compara¸c˜ao de duas ou mais m´edias de tratamentos Nas aulas anteriores vimos como aplicar a t´ecnica de teste de hip´oteses comparando m´edias de dois tratamentos. Agora vamos estender a ideia para mais de dois tratamentos sob a condi¸c˜ao de homoscedasticidade. Quando a vari´avel resposta ´e quantitativa (e razoavelmente bem comportada - sim´etrica e homosced´astica), utilizamos uma t´ecnica chamada de an´alise de variˆancia ou ANOVA. Relembrando, os delineamentos experimentais mais simples s˜ao inteiramente aleatorizado ou aleatorizado em blocos. Na aula de hoje vamos nos concentrar no inteiramente aleatorizado (DIA). 3 / 23 An´alise para experimento em delineamento inteiramente aleatorizado Exemplo: Vamos considerar os resultados de um experimento em DIA, com 6 repeti¸c˜oes, para comparar a produ¸c˜ao (kg/50m2) m´edia de 3 variedades de mel˜ao. Resultados: Variedade A B C 30.12 30.25 26.18 24.25 28.25 20.20 Peso 30.42 31.98 25.00 (yji) 31.08 36.52 27.25 27.15 33.32 24.15 25.92 32.10 22.43 Soma (Ti) 168.94 192.42 145.21 M´edia (¯yi) 28.1567 32.0700 24.2017 M´edia Geral (¯y) 28.1428 s2 7.7603 7.8558 6.5997 s 2.7857 2.8028 2.5690 G G G G G G G G G G G G G G G G G G 20 25 30 35 40 Dieta Peso A B C y1 y2 y3 y Note que a variabilidade ´e homogˆenea dentro das variedades, estamos no caso de igualdade de variˆancias (homoscedasticidade). 4 / 23 Variedade An´alise para experimento em condi¸c˜oes homogˆeneas Na inexistˆencia de efeitos (diferen¸cas) de tratamentos, uma poss´ıvel ilustra¸c˜ao o padr˜ao de respostas seria: G G G G G G G G G G G G G G G G G G 20 25 30 35 40 Dieta Peso A B C y1 y2 y3 A variabilidade das respostas sob o mesmo tratamento ocorre devido `a variabilidade de indiv´ıduo para indiv´ıduo. Chamamos essa variabilidade de erro experimental ou erro aleat´orio. Ela sempre est´a presente nos dados pois a caracter´ıstica sendo estudada ´e uma vari´avel aleat´oria. Ent˜ao, a pergunta que surge ´e: A variabilidade das respostas entre tratamentos se sobressai quando comparamos com a variabilidade devido ao erro experimental? A an´alise se baseia na compara¸c˜ao dessas fontes de variabilidade. 5 / 23 Variedade Essas fontes de variabilidades sao calculadas e organizadas na Tabela de Analise de Variancia ou ANOVA. Notacao: @ mn: o numero total de unidades experimentais (UE). n=is e kK: é0 ntmero de tratamentos ou variedades. K=3 @ n;: 60 numero de UE que recebeu o tratamento 7. 1=nl=n2=n3=6 @ yji: € a resposta na j-ésima UE que recebeu o tratamento 7 (j =1,2,....nj; i= 1,2,..., K). e@ T;: 6 a soma das respostas sob o tratamento i => JT); = an Yii- @ y;: €a média do tratamentoi => y; = T;/nj. e@ G: €a soma de todas as respostas (do experimento todo, geral) = G= 8, Ty yi e@ y: 6a média geral (do experimento todo) > y= G/n. 6/23 ANOVA A ANOVA é uma aplicac3o do teorema de Pitdgoras: a? = b? + c?, baseada no modelo: “ | Ocorre que, para qualquer conjunto de dados oriundos de experi- mentos inteiramente aleatorizados (ou amostras independentes), a seguinte igualdade é sempre valida: Kon K Kn _\2 — — —.\2 SMa - 9? = Yori -9)? + Ow - wd) i=1 j=l i=1 i=1 j=l Vamos entender essas quantidades no grafico a seguir. 7/23 An´alise para experimento em condi¸c˜oes homogˆeneas G G G G G G G G G G G G G G G G G G 20 25 30 35 40 Dieta Peso A B C y1 y2 y3 y 8 / 23 Variedade ANOVA Entao temos: kK nm K kK nN SoS wi? = Yorgi —D? +2 — i=1 j=l i=1 i=1 j=l Variab. Total = Variab. entre Tratamentos + Variab. do Erro Essas quantidades sdo chamadas de Soma de Quadrados (SQ). SQTotal = SQTrat + SQ Residual Cada SQ esta associada ao seu nimero de graus de liberdade. (n—1)=(K -1)4+(n-K) 17 2 15 9/23 ANOVA: formulas alternativas As contas sao facilitadas pelas formulas alternativas. K T2 S = + -C QT rat » nj i=l S Q Residual =S QTotal — S$ QrTrat Para experimentos balanceados, ou seja, 27 =n2=...=nK =V, SQtTrat é: ms S =-S T?-C QT rat r » 4 r: numero de repetigdes de cada tratamento em experimentos balanceados 10/23 ANOVA Conforme vamos fazendo as contas, vamos organizando os resultados numa tabela, a ANOVA: Causas de Varia¸c˜ao GL SQ QM Fobs Fcrit Tratamento K − 1 SQT rat Residual n − K SQResidual Total n − 1 SQT otal 11 / 23 ANOVA Detalhes dos calculos: Variedade A B C 30.12 30.25 26.18 24.25 28.25 20.20 Peso 30.42 31.98 25.00 (yya) 31.08 36.52 27.25 27.15 33.32 24.15 25.92 32.10 22.43 Soma (T;) 168.94 192.42 145.21 G=506.57 Ca & = (30.12424.25+--+22.43)? _ 506.577 _ 256613.1649 = 14256.2869 ~ nm 18 18 18 SQrotal = (30.12? +24.25? +... 22.437) —14256.2869 = 14553.0991 — 14256.2869 = 296.8122 SQrrat = : (168.94? + 192.42? + 145.217) — 14256.2869 = 185.7337 SQ Residual = 296.8122 — 185.7337 = 111.0785 12/23 ANOVA Conforme fazemos as contas colocamos os valores na tabela ANOVA: Causas de Varia¸c˜ao GL SQ QM Fobs Fcrit Tratamento 2 185.7337 Residual 15 111.0785 Total 17 296.8122 13 / 23 ANOVA As SQTrat e SQResidual divididas pelos respectivos graus de liberdade s˜ao chamadas de Quadrados M´edios e formam a base de compara¸c˜ao dos resultados. QMTrat = SQTrat K − 1 QMResidual = SQResidual n − K O QMResidual ´e uma extens˜ao de S2 conj quando temos mais de dois tratamentos ou amostras. Continuamos preenchendo a tabela: Causas de Varia¸c˜ao GL SQ QM Fobs Fcrit Tratamento 2 185.7337 92.8669 Residual 15 111.0785 7.4952 Total 17 296.8122 14 / 23 ANOVA A técnica é baseada no fato de que se os tratamentos nao produzem efeitos distintos, ou seja, se Ho for verdadeira, Ao : f= 2 =... = pK (trat. tem efeitos iguais) 4 : pelo menos um par de médias difere entdo QM7;-a; deve ser proéximo de QO Mresidual: Para comparar (ou testar Hy) calculamos a razdo F= QM rat QM Residual que, sob Ho, segue a distribuicdo de Snedecor-Fisher, chamada de F’, com (ik — 1) e (n— K) graus de liberdade. 15/23 ANOVA A distribui¸c˜ao F assume apenas valores positivos e ´e assim´etrica: Valores altos de F trazem evidˆencia contra H0, e nos deparamos com a pergunta de sempre: quanto ´e alto? precisamos do ponto de corte. 16 / 23 ANOVA Para α fixo, rejeitamos H0 se Fobs > K Fobs ´e o valor calculado com base nos resultados experimentais e F(K−1);(n−K); α ´e o valor tabelado. A ANOVA completa ´e: Causas de Varia¸c˜ao GL SQ QM Fobs Fcrit Tratamento K − 1 SQT rat QMT rat QMT rat QMResidual F(K−1);(n−K);α Residual n − K SQResidual QMRes Total n − 1 SQT otal 17 / 23 Ftab Ftab= ANOVA: Exemplo com K = 3 (3 tratamentos) Para o exemplo temos: Causas de Varia¸c˜ao GL SQ QM Fobs F2;15;0.05 Tratamento 2 185.7337 92.8669 12.5407 3.682 Residual 15 111.0784 7.4052 Total 17 296.8121 E a conclus˜ao sobre os efeitos das variedades ´e: como Fobs > Ftab (12.5407 > 3.682) temos evidˆencia de que pelo menos duas das variedades resultam em produ¸c˜oes m´edias distintas. Uma forma de descrever o controle de heterogeneidade no experimento ´e atrav´es do coeficiente de varia¸c˜ao, o CV: CV = 100 · √QMRes ¯y = 100 · √ 7.4052 28.1428 = 9.67% 18 / 23 Detalhando as diferen¸cas Para maior detalhamento a respeito das diferen¸cas entre os tratamentos, prosseguimos com outros testes estat´ısticos chamados de procedimentos de compara¸c˜oes m´ultiplas. Existem v´arias t´ecnicas que podem ser ´uteis. Aqui vamos estudar uma ´unica, o Teste de Tukey. O teste de Tukey ´e utilizado quando se deseja comparar todos os pares de m´edias de todos os tratamentos. 19 / 23 nc = K*(K-1)/2 Teste de Tukey Por exemplo, para 3 tratamentos temos 3 pares possiveis, cujas hipdteses sao: 1. Ho: wa — pp = 0 versus Hy: wa — pp #0 2. Ho: pa — po = 0 versus Hy: wa — co #0 3. Ho: pp —- pc =0 versus Hy: wp — po #0 Para testar os trés conjuntos de hipdteses calculamos as diferencas estimadas e os pontos de corte: 1. |¥a —Yp| € comparamos com Ayp = Te /QMres (4 + x) 2. \ya —Yc| € comparamos com Ajc = en /QMres (4 + i) 3. |\¥e —Yc| e comparamos com Apo = Non /QMres (4 + i) para g” = GxsGtnesia obtide na tabela da distribuic3o de Tukey. =numero de médias no experimento todo 20 / 23 Teste de Tukey A é andlogo ao ponto critico K que vimos nos outros testes e é conhecido como diferenca minima significativa. Quando o experimento é balanceado, A se simplifica para | 1 1 q 2 QMres A= —=\/QM ~4-)=—+.,/QM 2 \ _ ox, | et Res V2 Q na (2 r V2 Q Res r qd r Para cada comparacao, se a diferenca calculada for maior que A temos evidéncia para rejeitar Hp. Note que ,/ Pies é€ 0 erro padrao da média estimada sob um dos tratamentos. O teste de Tukey controla a probabilidade de erro tipo | no experimento todo, ou seja, para o conjunto de hipdteses que, no exemplo, sao trés. 21/23 Teste de Tukey No exemplo temos: /7.4052 A = 3.67 3. = 4.077 YA — YB| = 3.9138 < A = diferenca nao significativa [Ya — Yo| = 3.955 < A => diferenca nao significativa \¥e — ¥c| = 7.868 > A = diferenga significativa Conclusdo: Em termos de peso médio, os resultados experimentais ordenam as variedades como C, A, B (ordem crescente). No entanto, ao nivel de significdncia de 5% foi observado diferenca significativa apenas entre as variedades C e B, em termos de producao média. 22/23 Teste de Tukey Em termos de apresenta¸c˜ao resumida dos resultados, vamos destacar uma forma usada frequentemente nos artigos. Costuma-se colocar os tratamentos e suas m´edias em uma tabela usando uma letra em sobre-escrito para referir se a compara¸c˜ao foi ou n˜ao significativa. Sob significˆancia, as letras s˜ao distintas. Tabela 1 : Produ¸c˜ao m´edia estimada das variedades de mel˜ao (ep = 1.11) Variedade M´edia C 24.20a A 28.16ab B 32.07 b M´edias seguidas de letras distintas diferem significativamente ao n´ıvel de 5% pelo teste de Tukey. 23 / 23