Atividade - Gráfico de Dispersão - 2023-2

Atividade em sala: 25 de outubro No processo de cultivo do milho, o nitrogênio é o nutriente que possui maior importância na qualidade final do produto. Dessa forma, um experimento avaliou o diâmetro da espiga de milho, em mm, conforme diferentes níveis doses de nitrogênio, em kg/ha. Nitrogênio 0 20 25 30 40 50 60 65 75 90 110 120 Diâmetro 24,9 25,6 26,1 25,9 26,2 26,8 26,9 26,7 27,1 27,6 28,5 28,7 a) Construa o gráfico de dispersão entre o diâmetro da espiga de milho e a quantidade de nitrogênio. b) Estime a reta de regressão linear do diâmetro esperado da espiga de milho em função do nitrogênio. Interprete as estimativas obtidas. c) Obtenha o Quadro ANOVA da regressão e calcule o coeficiente de determinação. Interprete o resultado d) Teste as hipóteses sobre os parâmetros da regressão linear com nível de significância de 0,05. e) Calcule o intervalo de confiança do diâmetro da espiga para uma dose de 100 kg/ha. f) Faça a análise gráfica dos resíduos da regressão ajustada. Atividade em Sala: 25 de outubro Resolução: a) Gráfico de Dispersão: Através da observação do diagrama de dispersão, é possível notar uma tendência positiva evidente entre a quantidade de Nitrogênio no solo e o Diâmetro das espigas de milho. Isso sugere fortemente a presença de uma correlação positiva entre essas duas variáveis, pois quando a quantidade de nitrogênio no cultivo aumenta, a amostra revela que as espigas de milho tendem a apresentar um diâmetro maior. 24.5 25 25.5 26 26.5 27 27.5 28 28.5 29 0 20 40 60 80 100 120 140 Diâmetro Nitrogênio Diagrama de Dispersão b) Reta de regressão linear: 𝑌̂𝑖 = 𝛼 + 𝛽 ⋅ 𝑋𝑖 + 𝜖𝑖 Onde: 𝑌̂: é a estimativa do diâmetro da espiga de milho (variável dependente); 𝑋: é a quantidade de nitrogênio no cultivo (varável independente); 𝛼: é o intercepto da reta de regressão; 𝛽: é o coeficiente angular da reta de regressão (o parâmetro que acompanha a variável independente); 𝜖: é o erro cometido ao estimar o diâmetro da espiga de milho em função da quantidade de nitrogênio. Para estimar os parâmetros da reta de regressão vamos usar a tabela abaixo: Obs Nitrogênio - x Diâmetro - y x^2 x*y 1 0 24,9 0 0 2 20 25,6 400 512 3 25 26,1 625 652,5 4 30 25,9 900 777 5 40 26,2 1600 1048 6 50 26,8 2500 1340 7 60 26,9 3600 1614 8 65 26,7 4225 1735,5 9 75 27,1 5625 2032,5 10 90 27,6 8100 2484 11 110 28,5 12100 3135 12 120 28,7 14400 3444 Total 685 321 54075 18774,5 Média 57,0833 26,75 𝛽̂ = ∑ 𝑋𝑖 ⋅ 𝑌𝑖 𝑛 𝑖=1 − 𝑛 ⋅ 𝑋̅ ⋅ 𝑌̅ ∑ 𝑋𝑖 2 𝑛 𝑖=1 − 𝑛 ⋅ 𝑋̅2 = 18774,5 − 12 ⋅ 57,0833 ⋅ 26,75 54075 − 12 ⋅ (57,08332) = 0,0301 𝛼̂ = 𝑌̅ − 𝛽̂ ⋅ 𝑋̅ = 26,75 − 0,0301 ⋅ 57,0833 = 25,0315 Portanto a reta de regressão será: 𝑌̂𝑖 = 25,0315 + 0,0301 ⋅ 𝑋𝑖 + 𝜖𝑖 Quando a quantidade de nitrogênio no solo atinge o valor nulo, a estimativa aponta que o diâmetro médio da espiga de milho será aproximadamente de 25,0315 m.m. Além disso, observou-se que para cada acréscimo de um kg/ha na quantidade de nitrogênio, espera-se um aumento médio no diâmetro da espiga de milho de cerca de 0,0301 m.m. c) ANOVA Fonte de Variação Grau de Liberdade Soma de Quadrados Quadrado Médio F calculado Regressão p-1 ∑(𝑌𝑖̂ − 𝑌̅) 2 𝑛 𝑖=1 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔 𝑝 − 1 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑔 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠 Resíduos n-p ∑(𝑌𝑖 − 𝑌̂𝑖) 2 𝑛 𝑖=1 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠 𝑛 − 𝑝 Total n-1 ∑(𝒀𝒊 − 𝒀̅)𝟐 𝒏 𝒊=𝟏 Para ajudar a calcular os parâmetros da anova vamos usar a tabela abaixo: (Y-med(Y))^2 Y^ (Y^-med(Y))^2 e=(Y-Y^2) e^2 3,4225 25,0315 2,9531 -0,1315 0,0173 1,3225 25,6336 1,2463 -0,0336 0,0011 0,4225 25,7842 0,9329 0,3158 0,0998 0,7225 25,9347 0,6648 -0,0347 0,0012 0,3025 26,2357 0,2645 -0,0357 0,0013 0,0025 26,5368 0,0455 0,2632 0,0693 0,0225 26,8378 0,0077 0,0622 0,0039 0,0025 26,9883 0,0568 -0,2883 0,0831 0,1225 27,2894 0,2909 -0,1894 0,0359 0,7225 27,7409 0,9820 -0,1409 0,0199 3,0625 28,3430 2,5377 0,1570 0,0246 3,8025 28,6441 3,5875 0,0559 0,0031 13,93 321 13,5695 0,0000 0,3605 𝑝 = 2 (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 (𝑋, 𝑌)) 𝐺𝐿𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = 2 − 1 = 1 𝐺𝐿𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠 = 12 − 2 = 10 𝐺𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 12 − 1 = 11 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔 = ∑(𝑌̂𝑖 − 26,75) 2 12 𝑖=1 = 13,5695 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠 = 𝜖2 = ∑(𝑌𝑖 − 𝑌̂𝑖) 2 12 𝑖=1 = 0,3605 𝑆𝑄𝑇 = 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔 + 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠 = 13,5695 + 0,3605 = 13,93 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑔 = 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔 𝐺𝐿𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = 13,5695 1 = 13,5695 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠 = 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠 𝐺𝐿𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠 = 0,3605 10 = 0,0360 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑔 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠 = 13,5695 0,0360 = 376,4486 gl SQ MQ F calculado F tabelado Regressão 1 13,5695 13,5695 376,4486 4,965 Resíduo 10 0,3605 0,0360 Total 11 13,93 𝑅2 = 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔 𝑆𝑄𝑇 = 13,5695 13,93 = 0,9741 Com um nível de significância de 5%, o valor da tabela F é de 4,965. No entanto, o valor do F calculado é substancialmente maior, atingindo 376,4486. Isso indica que, com uma confiança de 95%, o modelo é considerado significativo. Em outras palavras, as variações na quantidade de nitrogênio demonstram uma capacidade significativa de explicar a variabilidade no diâmetro das espigas de milho. Além disso, o coeficiente de determinação (𝑅2) é notável, com um valor de 0,9741. Isso significa que aproximadamente 97,41% da variação no diâmetro da espiga de milho pode ser explicada pelas variações na quantidade de nitrogênio no solo. d) Hipóteses dos parâmetros: Para 𝛼: {𝐻0: 𝛼 = 0 (𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑛ã𝑜 é 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑛𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜) 𝐻1: 𝛼 ≠ 0 (𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 é 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑛𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜) 𝑆𝑋𝑋 = ∑(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2 𝑛 𝑖=1 = ∑(𝑋𝑖 2 − 2 ⋅ 𝑋𝑖 ⋅ 𝑋̅ + 𝑋̅2) 𝑛 𝑖=1 = ∑ 𝑋𝑖 2 − 2𝑋̅ 12 𝑖=1 ⋅ ∑ 𝑋𝑖 𝑛 𝑖=1 + 𝑛𝑋̅2 = ∑ 𝑋𝑖 2 𝑛 𝑖=1 − 2𝑋̅ ⋅ 𝑛𝑋̅ + 𝑛𝑋̅2 = ∑ 𝑋𝑖 2 𝑛 𝑖=1 − 2𝑛𝑋̅2 − 𝑛𝑋̅2 = ∑ 𝑋𝑖 2 𝑛 𝑖=1 − 𝑛𝑋̅2 = 54075 − 12 ⋅ (57,08332) = 14.972,9167 𝑋̅ = ∑ 𝑋𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 → ∑ 𝑋𝑖 𝑛 𝑖=1 = 𝑛 ⋅ 𝑋̅ 𝑆𝐸(𝛼) = √𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠 𝑛 − 2 ⋅ (1 𝑛 + 𝑋̅2 𝑆𝑋𝑋 ) = √0,3605 12 − 2 ⋅ ( 1 12 + 57,08332 14.972,9167) = 0,1042 𝑇𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = 𝛼̂ − 𝛼 𝑆𝐸(𝛼) = 25,0315 0,1042 = 240,3275 Para 𝛽: {𝐻0: 𝛽 = 0 (𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑛ã𝑜 é 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑛𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜) 𝐻1: 𝛽 ≠ 0 (𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 é 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑛𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜) 𝑆𝐸(𝛽) = √ 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠 (𝑛 − 2) ⋅ 𝑆𝑋𝑋 = √ 0,3605 (12 − 2) ⋅ 14.972,9167 = 0,0016 𝑇𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = 𝛽̂ − 𝛽 𝑆𝐸(𝛽) = 0,0301 0,0016 = 19,4023 𝑇𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜 = ±2,2281 Dado que o valor de T calculado é significativamente maior do que o valor de T tabelado tanto para 𝛼 como para 𝛽, a 5% de significância, podemos concluir que os parâmetros do modelo de regressão linear simples são estatisticamente significativos. Isso significa que tanto o coeficiente de interceptação (𝛼) quanto o coeficiente de inclinação (𝛽) têm um efeito estatisticamente significativo na relação entre as variáveis independentes e dependentes no modelo. e) X=100 𝑌̂ = 25,0315 + 0,0301 ⋅ 100 = 28,0420 Para uma quantidade de 100kg/há de nitrogênio espera-se que o diâmetro da espiga de milho seja aproximadamente 28,042 m.m. 𝑆𝐸(𝑌̂) = √(𝑆𝐸(𝛼)) 2 + 𝑋2 ⋅ (𝑆𝐸(𝛽)) 2 = √0,10422 + 1002 ⋅ 0,00162 = 0,1869 𝑃 (𝑌̂ − 𝑇(1−𝛼 2;𝑛−2) ⋅ 𝑆𝐸(𝑌̂) ≤ 𝑌 ≤ 𝑌̂ + 𝑇(1−𝛼 2;𝑛−2) ⋅ 𝑆𝐸(𝑌̂)) = 0,95 𝑃(28,0420 − 2,2281 ⋅ 0,1869 ≤ 𝑌 ≤ 28,0420 + 2,2281 ⋅ 0,1869) = 0,95 𝑃(27,6256 ≤ 𝑌 ≤ 28,4584) = 0,95 𝐼𝐶(𝑌̂;0,95) = [27,63;28,46] Portanto com 95% de confiança tem-se que em uma aplicação de 100 kg/ha de nitrogênio o diâmetro da espiga de milho estará entre 27,63 mm a 28,46 mm. f) Resíduos: Um dos pressupostos fundamentais da regressão linear é a normalidade dos resíduos, com uma média de zero. Ao examinar o gráfico de dispersão dos resíduos em relação à variável independente no eixo x, observamos que os resíduos tendem a se distribuir em torno de zero. Isso indica que a média dos resíduos se aproxima de zero, o que é um indicativo positivo de que o pressuposto de normalidade com média zero está sendo atendido pelo modelo de regressão linear. -0.4000 -0.3000 -0.2000 -0.1000 0.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0 20 40 60 80 100 120 140 Resíduos Nitrogênio Resíduos