Slide - Variáveis Aleatórias e Distribuição de Probabilidade 2022-2

ESTAT´ISTICA E EXPERIMENTAC¸ ˜AO VARI´AVEIS ALEAT´ORIAS E DISTRIBUIC¸ ˜OES DE PROBABILIDADE Parte 1 Luzia A. Trinca (luzia.trinca@unesp.br) 1 / 27 Introdu¸c˜ao Em Estat´ıstica Descritiva definimos os tipos de vari´aveis e estudamos formas de resumi-las por distribui¸c˜oes de frequˆencias (tabelas e gr´aficos) e medidas resumo (m´edia, mediana, quartis, variˆancia, desvio padr˜ao, ...). Isso foi feito com base em dados conquistados de amostras ou experimentos. Foram estudos emp´ıricos (fundamentados nas caracter´ısticas do dados). Mas, amostras ou experimentos podem ser vistos como ensaios aleat´orios, cada um com seu espa¸co amostral (conjunto de resultados que s˜ao poss´ıveis). Os resultados poss´ıveis se manifestam ou n˜ao de acordo com suas probabilidades e seus parˆametros. Se conhecˆessemos as probabilidades e os parˆametros envolvidos, saber´ıamos o comportamento verdadeiro de uma vari´avel aleat´oria (e n˜ao precisar´ıamos de dados nos estudos). 2 / 27 Introdu¸c˜ao Na realidade, para os problemas relevantes, n˜ao conhecemos essas caracter´ısticas, mas, se soubermos um pouco do comportamento verdadeiro e juntarmos isso com o conhecimento emp´ırico, podemos avan¸car muito mais nas descobertas. Por essa raz˜ao, neste t´opico vamos estudar alguns comportamentos te´oricos de vari´aveis aleat´orias: as distribui¸c˜oes de probabilidades ou modelos de probabilidades, em princ´ıpio, fazendo algumas suposi¸c˜oes. 3 / 27 Conte´udo Vari´aveis aleat´orias discretas e suas distribui¸c˜oes de probabilidades. Objetivos deste t´opico nesta disciplina 1. Apresentar a defini¸c˜ao formal de vari´avel aleat´oria 2. Definir o que ´e a distribui¸c˜ao de probabilidades de uma vari´avel aleat´oria e identificar seus parˆametros 3. Apresentar e estudar os modelos mais populares e usados na Estat´ıstica B´asica O foco da aula de hoje ser´a em vari´aveis discretas. 4 / 27 VARI´AVEIS ALEAT´ORIAS Vimos que um ensaio aleat´orio apresenta seu espa¸co amostral e uma probabilidade est´a associada `a cada um de seus elementos. Podemos, de acordo com nosso interesse, associar um valor num´erico aos elementos do espa¸co amostral. A fun¸c˜ao que faz essa associa¸c˜ao ´e chamada de vari´avel aleat´oria. Exemplo 1: Semear um semente, com potencial germinativo p e observar se ela germina ou n˜ao. O espa¸co amostral ´e Ω = {G, G}. A probabilidade de germina¸c˜ao ´e P(G) = p. Seja Y a vari´avel que assume o valor 1 se G (sucesso) e o valor 0 se G (fracasso). Assim, Y tamb´em tem seu espa¸co amostral que ´e ΩY = {0, 1}. 5 / 27 0<p<1 VARI´AVEIS ALEAT´ORIAS 6 / 27 Espaço amostral do experimento e da variável aleatória binária Y Y VARI´AVEIS ALEAT´ORIAS: Bernoulli Suponha p = 0.4, ent˜ao P(Y = 0) = (1 − p) = 0.6 e P(Y = 1) = p = 0.4. Esses dois valores formam a distribui¸c˜ao de probabilidades de Y . Y ´e uma vari´avel discreta bin´aria pois pode assumir um de dois valores. Ela ´e a vari´avel discreta mais simples que existe e sua distribui¸c˜ao (ou fun¸c˜ao ou modelo) de probabilidades pode ser escrita numa ´unica equa¸c˜ao: P(Y = y) = py × (1 − p)1−y para y = 0, 1. (que se lˆe ”probabilidade da vari´avel Y assumir um valor particular y qualquer dentro de seu espa¸co amostral”) Essa distribui¸c˜ao se chama Bernoulli. 7 / 27 P(G)=p P(Y=y)=1 y=0; 1 P(Y=0)+P(Y=1)=1 VARI´AVEIS ALEAT´ORIAS: Bernoulli Uma ilustra¸c˜ao gr´afica do modelo Bernoulli: 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 y P(Y = y) 0 1 Figura 1 : Distribui¸c˜ao de probabilidades da vari´avel Y : Bernoulli com p = 0.4. Faz sentido perguntarmos qual a m´edia de Y , qual a mediana, qual o desvio padr˜ao, etc? 8 / 27 P(Y=y) VARIAVEIS ALEATORIAS: Bernoulli Essas quantidades s30 baseadas no modelo de probabilidades e NAO em dados, entao sdo quantidades tedricas. a) qual a média de Y? A média tedorica 6 chamada de esperanc¢a ou valor esperado. Duas nota¢des sdo usadas: £'(Y) e jy. Quando a variavel é discreta ela é definida por: 5 Co BY) =py => yx PY =y) y=0 que, no caso bindrio se reduz a py =0x P(Y =0)+1x P(Y =1)=p eno exemplo wy =0 x 0.641 x0.4=0.4. 9/27 VARIAVEIS ALEATORIAS: Bernoulli b) qual a mediana de Y? mediana = {y | P(Y <y)NP(Y = y) =0.5} = yos =0 no exemplo. c) qual a varidancia de Y? A variancia tedrica é denotada por o¥- e definida por: var(Y) =oy = E|(Y —py)?| que, apds algumas manipulacdes, pode ser escrita como: oy = E(Y?) — [uy ™. A primeira parte diz: A segunda parte diz: "eleve a varidvel ao quadrado e "uma vez calculada a média calcule a média ” da variavel, eleve-a ao quadrad9,’ VARIAVEIS ALEATORIAS: Bernoulli Assim, CO E(Y*)=Soy? x P(Y =y) y=0 Para o modelo Bernoulli: E(¥?) = 0? x P(Y =0)4+ 1? x P(Y =1)=0?x (1—p)+1?xp=p = var(Y) = of =p—p’ =px (1p) No exemplo: E(Y*) =0.4 = of =0.4x (1—0.4) = 0.24 E o desvio padrao: oy = px (1—p) > oy = V0.24 = 0.4899 11/27 VARI´AVEIS ALEAT´ORIAS: Bernoulli Note que, se soubermos o valor de p, calculamos ”tudo” desta vari´avel. Ent˜ao p ´e o parˆametro de sua distribui¸c˜ao. Parˆametros s˜ao quantidades constantes que caracterizam um modelo ou fun¸c˜ao matem´atica. Quando queremos dizer que uma vari´avel qualquer Y segue o modelo Bernoulli escrevemos: Y ∼ Ber(p) Por exemplo, W ∼ Ber(0.9) quer dizer que W ´e bin´aria com probabilidade de sucesso igual a 0.9, ent˜ao µW = 0.9 e σW = √ 0.09 = 0.3. Al´em disso, a mediana = W0.5 = 1. 12 / 27 VARIAVEIS ALEATORIAS: Binomial Exemplo 2: Semear 5 sementes similares, independentemente (de forma que uma n4o interfere no desenvolvimento das outras), e observar se cada uma germinou ou nao apés certo periodo. O espaco amostral: Q = {GGGGG, GGGGG, GGGGG,...GGGGG} Esse espaco amostral tem 32 = 2° elementos e podemos definir a varidvel aleatéria X como sendo o numero de sementes germinadas em n = 5. Note que para cada semente i temos uma variavel Bernoulli Y; associada («= 1, 2, ..., n). Assim, também podemos definir X como n X= S UY. Por exemplo, para GGGGG, X =1+1+1+14+0=4. i=1 13/27 VARI´AVEIS ALEAT´ORIAS: Binomial Vamos ilustrar com n = 3 para facilitar o trabalho: Para n = 3 espa¸co amostral de X ´e ΩX = {0, 1, 2, 3}. Novamente, temos que X ´e uma vari´avel aleat´oria discreta. 14 / 27 p=P(G) VARI´AVEIS ALEAT´ORIAS: Binomial Seja p o potencial germinativo de uma semente qualquer. Ent˜ao, cada elemento de Ω tem sua probabilidade de ocorrˆencia dada por px × (1 − p)n−x em que x ´e um valor poss´ıvel de X. Assim P(X = 0) = p0(1 − p)5 P(X = 1) = 5 × p1(1 − p)4 Note que apenas um elemento de Ω satisfaz x = 0 ⇒ ( ¯G ¯G ¯G ¯G ¯G), mas 5 satisfazem x = 1. S˜ao eles: (G ¯G ¯G ¯G ¯G, ¯GG ¯G ¯G ¯G, ¯G ¯GG ¯G ¯G, ¯G ¯G ¯GG ¯G, ¯G ¯G ¯G ¯GG). 15 / 27 VARIAVEIS ALEATORIAS: Binomial Para p = 0.4 como no Exemplo 1, conseguimos calcular essas probabilidades e todas as demais: Caso geral P(G) = p Se P(G) = 0.4 P(X =0) =1x p® x (1—p)® P(X = 0) = 0.65 = 0.07776 P(X =1)=5xp! x (1—p)4 P(X =1)=5 x 0.4 x 0.64 = 0.2592 P(X = 2)=10 x p? x (1—p)? P(X = 2) =10 x 0.4? x 0.63 = 0.3456 P(X = 3) =10 x p? x (1— p)? P(X = 3) =10 x 0.48 x 0.6? = 0.2304 P(X =4)=5~x p* x (1—p)! P(X = 4) =5 x 0.44 x 0.6 = 0.0768 P(X =5)=1«x p® x (1—p)® P(X =5) =0.45 = 0.01024 Note que a soma de todas as probabilidades é igual a 1, ou seja, 5 SU P(X =2)=1 «=0 Assim, P(X >n) =O0¢e P(X <0) =0. 16 /27 VARIAVEIS ALEATORIAS: Binomial Além do mais, podemos escrever P(X = x) numa formula genérica: n _ P(X =a) = ( ae — py x para x = 0, 1, 2, 3, ..., n. nr Z . O termo ( se refere ao numero de maneiras que temos em obter x x sucessos num total de 7 possiveis (chamado de combina¢ao, a ordem que ocorrem os sucessos nao importa): Olt n\_ n! x} «xl(n—2)! 17/27 VARI´AVEIS ALEAT´ORIAS: Binomial As probabilidades na p´agina 13 e/ou a f´ormula gen´erica mostram a distribui¸c˜ao de probabilidade de X. Representando num gr´afico: 0 1 2 3 4 5 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 x P(X = x) Figura 2 : Distribui¸c˜ao de probabilidades da vari´avel X: Binomial com n = 5 e p = 0.4. 18 / 27 VARI´AVEIS ALEAT´ORIAS: Binomial E podemos perguntar: a) qual a probabilidade de X ser pelo menos 3? P(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0.2304 + 0.0768 + 0.01024 = 0.31744 b) qual a probabilidade de ter germina¸c˜ao? P(X ≥ 1) = 1 − P(X < 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0.07776 = 0.92224 19 / 27 VARIAVEIS ALEATORIAS: Binomial c) qual a média de X? A distribui¢ao de probabilidades de X 6 um modelo matematico para X, obtida com base em duas suposi¢des (independéncia e poder germinativo constante) e nado através da execu¢do de um experimento de germina¢ao com coleta de dados. A média tedrica ou esperanca ou valor esperado é n E(X) = px =) ax P(X =2) «z=0 que pode ser calculada substituindo-se os valores da pg 13 na férmula. 20/27 VARIAVEIS ALEATORIAS: Binomial No exemplo temos: ux = 0x P(X =0)+1x« P(X =1)+2x P(X =2)+ 3x P(X =3)+4x P(X =4)+5x P(X =5) = 0x 0.07776+ 1 x 0.2592 + 2 x 0.3456 + 3 x 0.2304 + 4 x 0.0768 + 5 x 0.01024 Mx = 2 Porém, se lembrarmos de uma propriedade da média ("a média da soma é a soma das médias’) tudo fica mais facil! Temos que X = )>i"_, Y; e cada Y; é Bernoulli tal que E(Y;) = p (a mesma para cada semente). Entado n n n mx = BX)» (>>) =) BN) = panxp i=1 i=1 i=l 1---- p (psp+pt..4p) n-----? (Pp+p+p+...+P 21/27 VARI´AVEIS ALEAT´ORIAS: Binomial d) qual a mediana de X? ´E o valor x que deixa 0.5 abaixo e 0.5 acima de probabilidade. Facilita se constru´ımos o gr´afico de probabilidades acumuladas: −1 0 1 2 3 4 5 6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x P(X ≤ x) G G G G G G G G G G G G Figura 3 : Distribui¸c˜ao de probabilidades acumuladas da vari´avel X: Binomial com n = 5 e p = 0.4. mediana(X) = x0.5 = {x | P(X ≤ x) e P(X ≥ x) = 0.5} ⇒ x0.5 = 2 22 / 27 VARI´AVEIS ALEAT´ORIAS: Binomial e) E os quartis? q1X = x0.25 = {x | P(X ≤ x) = 0.25 e P(X ≥ x) = 0.75} ⇒ x0.25 = 1 q3X = x0.75 = {x | P(X ≤ x) = 0.75 e P(X ≥ x) = 0.25} ⇒ x0.75 = 3 23 / 27 VARIAVEIS ALEATORIAS: Binomial f) qual a variancia de X? Lembre que a variancia tedrica, denotada por o%, € definida por: var(X) = 0% = B[(X — px)?] = E(X”) — [ux)? A primeira parte diz: A segunda parte diz: "eleve a varidvel ao quadrado e @ima vez calculada a média calcule a média ” da variavel, eleve-a ao quadrado” n E(X?) = Sa? x P(X = 2) «z=0 Mas por esse caminho vamos ter um longo, longo, muito longo trabalho... Vamos procurar outro caminho mais facil! 24/27 VARIAVEIS ALEATORIAS: Binomial Lembre-se que a variancia de uma soma é a soma da variadncias quando as varidveis sdo independentes. Assim n n oX% = var(X) = var (>: ) = S/var(¥i) i=1 i=1 Lembre-se também que Y; é Bernoulli, entao var(Y;) = p x (1 —p). Entao n n ox =) var(¥i) = Sop x (1—p) =n px (1—=p) i=1 i=1 No exemplo: o% = 5 x 0.4 x 0.6 = 1.2 eo desvio padr4o é ox = 1.095445. 25 / 27 VARIAVEIS ALEATORIAS: Binomial Essa distribuicdo que acabamos de ver se chama Binomial, ela 6 uma generaliza¢ao da Bernoulli (n > 1). Se sabemos o numero de vezes que 0 ensaio é repetido (7) e sabemos a probabilidade de sucesso em qualquer um deles (y), sabemos “tudo” da varidvel, se os 7 forem ensaios independentes e p constante. Entao n e p sao os pardmetros da distribuicdo e, resumidamente, escrevemos X ~ Binomial(n, p). Assim, se temos uma variavel W ~ Binomial(50,0.9) entéo ww = 45, Oi = 4.5 € ow = 2.12. Além disso temos 90 w 50—w P(W =w)= 0.9% (1 — 0.9) sew = 0, 1, 2, 3, ..., 50 w 26 / 27 RESUMO Vimos dois modelos de probabilidade de variaveis aleatérias discretas: @ Bernoulli: a varidvel, digamos Y, é bindria (sucesso "1" com probabilidade p ou fracasso "0"), uy =p e oy =p x (1 —p). P(Y =y) =p" x (1—p)'” paray =0, 1. @ Binomial: a varidvel, digamos X, é o numero de sucessos em 7 ensaios de Bernoulli independentes, todos com p probabilidade de sucesso. Ux =nxp e o% =nx px (1—p) n x n-X P(X =2)= ( : jr (1 —p) para x = 0, 1, 2, 3, ..., n. 27/27