Apostila - Anova - 2024-1

Figura 1 Quadro da ANOVA 21 Experimentos com um fator e vários níveis Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio f0 fa1 2 Entre tratamentos SQF 1 QMFSQF1 QMFQME Valor da Tabela de F Erro dentro dos tratamentos SQE 2 QMESQE2 Total SQT 3 1 n x x s 2 i n i 1 2 21 para Ao menos um H H j i 1 a 2 1 0 a j i Eq 1 A ANOVA Analysis of Variance é um teste estatístico utilizado para comparar várias médias populacionais e verificar se existe diferença entre elas O teste da ANOVA é feito em um Quadro como o da Figura 1 e para preenchemos o Quadro precisamos calcular algumas variâncias apesar de calcularmos variâncias estamos comparando médias O Quadro da Figura 1 serve para experimentos com um fator e vários níveis Ex um pesquisador deseja verificar se existe diferença entre a resistência de 3 marcas de concreto FATOR MARCA NÚMERO DE NÍVEIS 3 Vamos estudar ainda nessa aula outros dois tipos de experimentos experimentos com dois fatores sem réplica e experimentos com dois fatores com réplica Voltando ao experimento com um fator e vários níveis antes de calcularmos as variâncias precisamos definir as hipóteses H0 e H1 e o nível de significância do teste Ex a1 O Quadro da Anova para o experimento com um fator e vários níveis contém 6 colunas Fonte de variação entre tratamentos ou níveis erro total Soma dos Quadrados entre tratamentos ou níveis erro total Graus de Liberdade entre tratamentos ou níveis erro total Quadrado Médio entre tratamentos ou níveis erro f0 entre tratamentos ou níveis e fa1 2 entre tratamentos ou níveis O Quadrado Médio nada mais é do que uma variância e é obtido pelo quociente da Soma dos Quadrados pelo Graus de Liberdade Fazendo uma analogia a expressão da variância eq 1 a Soma dos Quadrados corresponderia ao numerador da equação e Graus de Liberdade corresponderia ao 1 denominador da equação Como estamos comparando várias médias não usaremos diretamente a eq 1 para calcular as variâncias No próximo slide aprenderemos uma maneira prática para preenchermos o Quadro da Anova Antes disso vou falar um pouco mais sobre como o teste é realizado Depois de preenchidas as colunas 2 3 e 4 do Quadro da Anova obtemos a estatística de teste da Anova que é o f0 QMFQME lembrando que QMF e QME são duas variâncias a variância entre os níveis e a variância do erro Então nossa estatística de teste f0 é o quociente entre duas variâncias Esse número nunca pode ser negativo e nem menor do que 1 Quanto maior o valor de f0 maior a diferença entre as médias o mais provável para que isso ocorra é que a variância entre os níveis seja grande ou seja maior o valor de QMF A hipótese H0 é rejeitada quando f0 for maior do que fa1 2 O valor de fa1 2 depende de 3 parâmetros o nível de significância a 1 e 2 As Tabelas de F encontramse na Apostila da disciplina 1 23 AANOVA Ao Ua Mp Uc H ao menos uma média difere Tabela 25 Resisténcia dos blocos com as somas 5 A B C 54 50 54 55 54 48 58 56 55 51 52 5 57 3 52 tas See Variancia dos 2y275 2y265 2y260 valores 275 265 e 260 Tabela 26 Valores de ZL 7 g e SO Fonte de Niimero Tamanho Graus de variagdo deniveis da amostra liberdade ty Se QMSn SOgi QM a n gi Entre 3 5 a2 275 265 260 5833 1167 2333 tfratamentos pee Ex Suponha que um engenheiro esteja interessado em descobrir se as resisténcias médias de trés marcas de concreto A B e C diferem As hipdteses HO e H1 foram definidas em 1 A resisténcia de 5 blocos de concreto de cada marca é medida As resisténcias dos blocos valores de Y estado na Tabela 25 assim como a soma dos valores de Y para cada marca A Tabela 26 auxilia na construcdo da ANOVA da Tabela 27 com a obtencdo da Soma dos Quadrados SQ que mede a variabilidade entre tratamentos Para os dados da Tabela 26 os tratamentos sdo os tipos de concretos A variabilidade total é igual a varidncia de todas as observacdes multiplicada pelo total de graus de liberdade an1 Os demais calculos para se chegar no valor do f estado ilustrados na Tabela 27 prdximo slide 2 Variância dos 15 valores de Y da Tabela 25 738 A hipótese H0 é aceita pois o f0175 não ultrapassa o valor crítico f001212 693 Tabela de F no slide seguinte ou seja ao nível de 1 de significância não podemos afirmar que as médias diferem entre si 3 A hipótese H0 é aceita pois o f0175 não ultrapassa o valor crítico f001212 693 4 Capítulo 2 Experimentos com um ou mais fatores Considere agora os valores de resistências da Tabela 28 A Soma dos Quadrados do Fator foi recalculada 7 Capítulo 2 Experimentos com um ou mais fatores Para os dados da Tabela 28 a variância total é igual a 1310 e SQT14131018333 A hipótese H0 é rejeitada pois o f0775 ultrapassa o valor crítico f001212 693 Ao nível de 1 de significância podemos afirmar que existe diferença entre as médias Quando a hipótese H0 é rejeitada se faz necessário realizar o teste de Tukey O teste de Tukey é utilizado para distinguir para quais pares de níveis do fator A B C a diferença das médias amostrais supera o valor de Zeta O cálculo de Zeta é apresentado no próximo slide 8 Variância residual ou Quadrado Médio do erro ver Tabela 210 da ANOVA no slide anterior O valor do qaan é obtido da Tabela da Amplitude Studantizada do Apêndice A sendo a o número de níveis do Fator e os graus de liberdade do erro ver próximo slide Como a diferença entre as médias amostrais dos níveis A e C é maior do que Zeta 6582 podese afirmar que o concreto A é mais resistente do que o concreto C 9 Tabela da Amplitude Studantizada do Apêndice A 10 27 Experimentos com dois fatores sem réplica Temos dois conjuntos de hipóteses F C 0 B A H j i e A B C F j para i Ao menos um j 1 i H 2 1 0 H 2 1 1 H 1 Quanto ao fertilizante 2 Quanto a variedade Suponha que um pesquisador esteja interessado em descobrir a combinação fertilizantevariedade que leva a maior produtividade Neste caso temos dois conjuntos de hipóteses um para cada Fator A área destinada à pesquisa é dividida em 12 partes iguais que recebem o nome de unidades experimentais Através de um sorteio aleatório designase um dos seis fertilizantes A B C D E F e uma das duas variedades a cada unidade experimental Na colheita foram medidas a produção de cada unidade experimental Os valores da produção obtidos em kg estão na Tabela 221 próximo slide 11 28 Experimentos com dois fatores sem réplica Fator Níveis de Número L da amosta Tamando n Liberdade Graus de gl i SY 2 S n SFator S 2 2 2 SQ gl SFator A a nA a1 alores somas de n v a A 2 A S A A A n S S 2 2 2 1 A A S a SQ B b B n b1 alores somas de n v b B 2 B S B B B n S S 2 2 2 1 B B S b SQ Fertilizante Variedade A B C D E F 1 54 32 38 46 50 44 264 2 57 40 42 45 53 50 287 111 72 80 91 103 94 551 Tabela 221 Produção de cada unidade experimental Tabela 220 Valores de L n gl e SQ dos experimentos com dois fatores sem réplicas Fator L n gl i SY 2 S n SFator S 2 2 SQ gl 2 SFator Fertilizante 6 2 5 111 72 80 91 103 94 2062 2 SF 1031 SQF5154 Variedade 2 6 1 264 287 2645 2 SV 0441 SQV0441 Tabela 222 Valores de n a1 i SY 2 S e 2 N S A Tabela 222 apresenta para o fator fertilizante e para o fator variedade o número de níveis o tamanho das amostras os graus de liberdade as somas das observações e a soma dos quadrados A variância de todas as observações da Tabela 221 é igual a 05299 Com o valor da variância total e as informações da Tabela 222 constróise a ANOVA da Tabela 223 próximo slide 12 Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio f0 af 1 2 Fertilizante 5154 5 1031 2203 55 1f 1097 Variedade 0441 1 0441 942 51 1f 1626 Erro 582951540441 0234 5 2 SR 00468 Total 110535829 11 Tabela 223 ANOVA com dois fatores fertilizante e variedade Fator L n gl i SY 2 S n SFator S 2 2 SQ gl 2 SFator Fertilizante 6 2 5 111 72 80 91 103 94 2062 2 SF 1031 SQF5154 Variedade 2 6 1 264 287 2645 2 SV 0441 SQV0441 Variância dos 12 valores da Tabela 221 053 De acordo com a Tabela 223 a hipótese H0 é rejeitada apenas para o fator fertilizante OBS1 agora a Tabela da Anova tem duas linhas para os Fatores uma para o Erro e uma para o Total A Soma dos Quadrados do Erro é igual a Soma dos Quadrados Total subtraídas as Somas dos Quadrados do Fertilizante e da Variedade valor circulado na Tabela 223 OBS2 O valor de f0 de cada Fator é obtido dividindo o Quadrado Médio do Fator pelo Quadrado Médio do erro Pelo método de Tukey o fertilizante i será melhor que o fertilizante j para os pares de média cuja diferença seja superior a Zeta O fertilizante com a maior média amostral será o melhor dentre os dois 13 136 2 0 0468 8 91 n 56 S n S 2 R 2 R 1 q a q Zeta a Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio F 1 2 af Fertilizante 5154 5 1031 2203 55 1f 1097 Variedade 0441 1 0441 942 51 1f 1626 Erro 0234 5 2 SR 00468 Total 5829 11 0234582951540441 Tabela 223 ANOVA com dois fatores fertilizante e variedade Fertilizante Variedade A B C D E F 1 54 32 38 46 50 44 264 2 57 40 42 45 53 50 287 111 72 80 91 103 94 551 Tabela 221 Produção de cada unidade experimental 226 Variância residual ou Quadrado Médio do erro ver Tabela 223 da ANOVA no slide anterior Na expressão 226 a é o número de fertilizantes n é o número de observações por tipo de fertilizantes são os graus de liberdade do erro e qaa é a Amplitude Studantizada 14 136 2 0 0468 8 91 n 56 S n S 2 R 2 R 1 q a q Zeta a Tabela da Amplitude Studantizada 15 136 2 0 0468 8 91 n 56 S n S 2 R 2 R 1 q a q Zeta a A B C D E F Xi X j 555 36 4 455 515 47 A 555 195 155 1 04 085 B 36 04 095 155 11 C 4 055 115 07 D 455 06 015 E 515 045 F 47 Tabela 225 Valores de i X j X Fertilizante Variedade A B C D E F 1 54 32 38 46 50 44 264 2 57 40 42 45 53 50 287 111 72 80 91 103 94 551 Tabela 221 Produção de cada unidade experimental Para os conjuntos A B A C e E B as diferenças entre as médias amostrais são maiores do que 136 O fertilizante A é melhor que os fertilizantes B e C e o fertilizante E é melhor que o fertilizante B 16 19 29 Experimento com dois fatores e réplica Operário 1 2 3 4 I 54 46 55 51 I 52 47 54 60 Método II 59 61 59 56 II 57 55 61 57 III 59 63 63 59 III 62 58 61 60 Temos três conjuntos de hipóteses 1 Quanto ao operário 2 Quanto ao método 3 Quanto a interação métodooperário 4 3 2 1 0 H j i e 1234 j para i Ao menos um j 1 i H III 0 II I H j i e I II III j para i Ao menos um j 1 i H 4III 3I 2 1 0 I I H j i e 1I2I3I4III j para i Ao menos um j 1 i H Tabela 226 Suponha que um pesquisador esteja interessado em descobrir se o método e o operário influenciam no tempo de execução de certa tarefa Observe que para cada combinação métodooperário temos duas medidas de tempo 2 réplicas Os valores se encontram na Tabela 26 Neste caso teremos 3 conjuntos de hipóteses para o Fator Operário para o Fator Método e para a interação MétodoOperário Fator Níveis de Número L da amosta Tamando n liberdade Graus de gl i SY 2 S n SFator S 2 2 quadrados Soma dos SQ A a nA a1 alores somas de n v a A 2 A S A A A n S S 2 2 2 1 A A S a SQ B b B n b1 alores somas de n v b B 2 B S B B B n S S 2 2 2 1 B B S b SQ AB ab r 1 1 b a alores somas de r v ab 2 SAB r S S AB AB 2 2 AB B A SQ SQ SQ 2 1 ab SAB Tabela 225 Valores de L n gl e SQ dos experimentos com dois fatores com réplicas Operário 1 2 3 4 1 54 46 55 51 419 1 52 47 54 60 106 93 109 111 Método 2 59 61 59 56 465 2 57 55 61 57 116 116 120 113 3 59 63 63 59 485 3 62 58 61 60 121 121 124 119 343 330 353 343 Tabela 226 A Tabela 225 auxilia na determinação de f0 dos três conjuntos de hipóteses Na Tabela 226 estão as somas dos tempos de execução da tarefa por operário por método e por métodooperário 20 Fator Níveis de Número L da amosta Tamando n liberdade Graus de gl i SY 2 S n SFator S 2 2 quadrados Soma dos SQ A a nA a1 alores somas de n v a A 2 A S A A A n S S 2 2 2 1 A A S a SQ B b B n b1 alores somas de n v b B 2 B S B B B n S S 2 2 2 1 B B S b SQ AB ab r 1 1 b a alores somas de r v ab 2 SAB r S S AB AB 2 2 AB B A SQ SQ SQ 2 1 ab SAB Tabela 226 Valores de L n gl e SQ dos experimentos com dois fatores com réplicas Fator Níveis de Número L da amosta Tamando n liberdade Graus de gl i SY 2 S n SFator S 2 2 SQ Operário 4 6 3 343 330 353 343 8892 2 SO 1482 46 44 1482 3 SQO Método 3 8 2 419 465 485 11453 2 SM 14317 33 286 14317 2 M SQ Método operário 12 2 32 106 93 109 111 116 116 120 113 121 121 124 119 7336 2 SMO 36678 67 72 46 28633 44 36678 11 MO SQ Tabela 228 Valores de L n a1 e SQ 2 S yi e SQ A Tabela 228 apresenta para os dois fatores operário e método e para a interação métodooperário os valores de L n a1 e a soma dos quadrados OBS o cálculo da Soma dos Quadrados da interação MétodoOperário é diferente das demais valor circulado A variância dos vinte quatro tempos de execução registrados na Tabela 226 é igual a 21259 Com as somas dos quadrados se constrói a ANOVA da Tabela 229 nível de significância a1 De acordo com o Quadro da ANOVA da Tabela 229 apenas o método influência no tempo de execução da tarefa O método 1 é o melhor menor tempo médio Não há diferença entre operários e nem interação entre método e operário para a execução da tarefa não existe um método para o qual um determinado operário se adapta melhor ver Figura 212 no próximo slide 21 Figura 212 Tempos médio de execução de uma tarefa para cada combinação métodooperário A Figura 212 mostra os tempos médio de execução de uma tarefa para cada combinação métodooperário Como não há interação entre os fatores as curvas não se cruzam 22 Tabela 232 Segundo conjunto de tempos de execução de uma tarefa Operário 1 2 3 4 1 51 56 58 62 1 53 58 54 62 Método 2 59 61 59 56 2 57 55 55 57 3 63 56 59 51 3 62 57 60 52 Tabela 233 Quadro de análise de variância Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio F Fcrítico Método 258 2 129 036 F1 212 693 Operário 279 3 093 026 F1 312 595 MétodoOperário 23408 6 3901 1102 F1 612 482 Erro 4250 12 354 Total 28196 23 A título de ilustração considere a Tabela 232 com um novo conjunto de medidas do tempo que quatro operários levam para executar uma determinada tarefa por três métodos diferentes A ANOVA da Tabela 233 foi construída com os dados da Tabela 232 Segunda a ANOVA da Tabela 233 apenas a interação métodooperário influencia no tempo de execução da tarefa 23 45 48 51 54 57 60 63 1 2 3 4 Operário Tempo Método 1 Método 2 Método 3 Figura 213 Tempos médio de execução de uma tarefa para cada combinação métodooperário Tabela 233 Quadro de análise de variância Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio F Fcrítico Método 258 2 129 036 F1 212 693 Operário 279 3 093 026 F1 312 595 MétodoOperário 23408 6 3901 1102 F1 612 482 Erro 4250 12 354 Total 28196 23 A Figura 213 mostra os tempos médio de execução de uma tarefa para cada combinação métodooperário Os operários 1 2 e 3 realizam a tarefa com mais rapidez pelo método 1 Já o operário 4 realiza a tarefa com mais rapidez pelo método 3 24