Integral de Riemann - Revisão sobre Supremo e Infimo

Capıtulo 5 Integral de Riemann 51 Revisao sobre supremo e ınfimo Seja X R naovazio e limitado superiormente O supremo de X e a menor das cotas superiores de X Isso significa que S1 x 6 sup X para todo x 2 X S2 Para todo 0 existe x 2 X tal que sup X x Seja X R naovazio e limitado inferiormente O ınfimo de X e a maior das cotas inferiores de X Isso significa que I1 inf X 6 x para todo x 2 X I2 Para todo 0 existe x 2 X tal que x inf X Lema 1 Sejam A B R naovazios tais que para todo x 2 A e todo y 2 B se tenha x 6 y Entao i sup A 6 inf B ii sup A inf B se e somente se para todo 0 dado existem x 2 A e y 2 B tais que y x Lema 2 Sejam A B R naovazios e limitados e c 2 R Entao os conjuntos A B x y x 2 A y 2 B e cA cx x 2 A sao limitados e vale que 1 supA B sup A sup B 2 infA B inf A inf B 3 supcA c sup A se c 0 4 infcA c inf A se c 0 5 supcA c inf A se c 0 6 infcA c sup A se c 0 Dada uma funcao f X R limitada definimos sup f supfx x 2 X e inf f inffx x 2 X Corolario Sejam f g X R funcoes limitadas e c 2 R Entao as funcoes f g cf X R sao limitadas e vale que 23 1 supf g 6 sup f sup g 2 inff g inf f inf g 3 supcf c sup f se c 0 4 infcf c inf f se c 0 5 supcf c inf f se c 0 6 infcf c sup f se c 0 Observacao E possıvel ter supf g sup f sup g e inff g inf f inf g Tome por exemplo f g 0 1 R fx x e gx x Lema 3 Dada uma funcao f X R limitada sejam m inf f M sup f e M m Entao supfx fy x y 2 X Lema 4 Sejam A A0 B B0 R conjuntos limitados tais que A0 A e B0 B i Se para cada a 2 A existe a0 2 A0 tal que a 6 a0 entao sup A0 sup A ii Se para cada b 2 B existe b0 2 B0 tal que b0 6 b entao inf B0 inf B 52 Integral de Riemann Definicao 1 Uma particao do intervalo a b e um subconjunto finito de pontos P t0 t1 tn a b de modo que a t0 t1 t2 tn1 tn b O intervalo ti1 ti e chamado iesimo intervalo da particao P Observacao n X i1 ti ti1 b a Definicao 2 Sejam P e Q particoes do intervalo a b Dizemos que Q refina P quando P Q Observacao A maneira mais facil de refinar uma particao e acrescentando a ela um unico ponto NOTAC OES Sejam f a b R uma funcao limitada e P t0 t1 tn uma particao do intervalo a b Usaremos as seguintes notacoes m inffx x 2 a b mi inffx x 2 ti1 ti M supfx x 2 a b Mi supfx x 2 ti1 ti i Mi mi Definicao 3 Sejam f a b R uma funcao limitada e P t0 t1 tn uma particao do intervalo a b 1 A soma inferior de f com relacao a P e definida por sf P m1t1 t0 m2t2 t1 mntn tn1 n X i1 miti ti1 24 2 A soma superior de f com relacao a P e definida por Sf P M1t1 t0 M2t2 t1 Mntn tn1 n X i1 Miti ti1 Observacoes 1 Seja qual for a particao P temse que mb a 6 sf P 6 Sf P 6 Mb a 2 Sf P sf P n X i1 iti ti1 3 Quando fx 0 para todo x 2 a b os numeros sf P e Sf P fornecem valores aproximados da area da regiao do plano definida pelo conjunto x y 2 R2 a 6 x 6 b e 0 6 y 6 fx sendo que sf P e uma aproximacao por falta e Sf P e uma aproximacao por excesso Ilustracao geometrica Na lousa Definicao 4 Seja f a b R uma funcao limitada 1 A integral inferior de f e definida por Z b a fxdx supsf P P e uma particao de a b sup P sf P 2 A integral superior de f e definida por Z b a fxdx infSf P P e uma particao de a b inf P Sf P Teorema 1 Seja f a b R uma funcao limitada Quando se refina uma particao P a soma inferior nao diminui e a soma superior nao aumenta Ou seja se P Q entao sf P 6 sf Q e Sf Q 6 Sf P Prova Na lousa Corolario 1 Seja f a b R uma funcao limitada Para quaisquer particoes P e Q do intervalo a b temse sf P 6 Sf Q Prova Na lousa Corolario 2 Dada f a b R se K 6 fx 6 L para todo x 2 a b entao Kb a 6 Z b a fxdx 6 Z b a fxdx 6 Lb a Prova Na lousa Corolario 3 Sejam f a b R uma funcao limitada e P0 uma particao do intervalo a b Entao Z b a fxdx supsf P P e uma particao de a b e P0 P Z b a fxdx infSf P P e uma particao de a b e P0 P 25 Prova Na lousa Definicao 5 Uma funcao limitada f a b R chamase integravel quando Z b a fxdx Z b a fxdx Esse valor comum chamase integral de Riemann de f e indicase por Z b a fxdx Observacao Quando fx 0 para todo x 2 a b a existˆencia da integral R b a fxdx significa que a regiao do plano definida pelo conjunto A x y 2 R2 a 6 x 6 b e 0 6 y 6 fx e mensuravel possui area e temse areaA Z b a fxdx Exemplos 1 A funcao f a b R definida por fx 8 0 se x 2 Q 1 se x 2 R Q Funcao de Dirichlet nao e integravel De fato Na lousa 2 A funcao constante f a b R fx k e integravel com R b a fxdx kb a De fato Na lousa Teorema 2 Condicao imediata de integrabilidade Seja f a b R uma funcao limitada As seguintes afirmacoes sao equivalentes 1 f e integravel 2 Para todo 0 existem particoes P e Q do intervalo a b tais que Sf Q sf P 3 Para todo 0 existe uma particao P do intervalo a b tal que Sf P sf P Prova Na lousa Exemplo 3 A funcao f a b R definida por fx 8 k se x 2 a b A se x a onde k A e integravel com R b a fxdx kb a De fato Na lousa 53 Propriedades da integral Teorema 3 Sejam f a b R uma funcao limitada e c 2 a b A funcao f e integravel se e somente se as restricoes fac e fcb sao integraveis No caso afirmativo vale que Z b a fxdx Z c a fxdx Z b c fxdx 26 Exemplo 4 Função escada Seja P t0 t1 tn uma partição do intervalo ab e c1 c2 cn R A função f ab R fx ci se ti1 x ti para i 1 n Ai1 se x ti1 Ai se x ti é integrável com ab fxdx i1n ci ti ti1 De fato Na lousa Teorema 4 Sejam fg ab R funções integráveis Então 1 f g é integrável e ab fx gxdx ab fxdx ab gxdx 2 f g é integrável Se c R então ab cfxdx c ab fxdx 3 Se gx k 0 para todo x ab então fg é integrável 4 Se fx gx para todo x ab então ab fxdx ab gxdx 5 f é integrável e ab fxdx ab fxdx Corolário Se f ab R é integrável e fx k para todo x ab então ab fxdx kb a Prova Temos que ab fxdx ab fxdx ab kdx k ab dx kb a Exercício 1 Seja f ab R contínua tal que fx 0 para todo x ab e ab fxdx 0 Mostre que f é a função identicamente nula Exercício 2 Dê exemplo de uma função f ab R integrável tal que fx 0 para todo x ab e ab fxdx 0 sem que f seja identicamente nula 54 Condições suficientes de integrabilidade Teorema 5 Toda função contínua f ab R é integrável Prova Na lousa Teorema 6 Toda função monótona f ab R é integrável Prova Na lousa Exercício 3 Demonstre o Teorema 6 no caso em que f é nãocrescente 55 Os teoremas classicos do Calculo Integral Seja f a b R uma funcao integravel Sabemos que para todo x 2 a b a restricao fax a x R e integravel Assim faz sentido definir a funcao F a b R dada por Fx Z x a ftdt Exemplo 5 Seja f 0 2 R dada por ft 8 0 se 0 6 t 1 1 se 1 6 t 6 2 Entao F 0 2 R e dada por Fx Z x 0 ftdt 8 0 se 0 6 x 6 1 x 1 se 1 6 x 6 2 Note que f e descontınua em x 1 ja F e contınua em x 1 mas nao e derivavel neste ponto Teorema 7 Sejam f a b R uma funcao integravel e F a b R definida por Fx Z x a ftdt Se f e contınua no ponto c 2 a b entao F e derivavel em c com F 0c fc Prova Na lousa Corolario Se f a b R e contınua entao existe F a b R derivavel tal que F 0x fx para todo x 2 a b Prova Pelo Teorema 1 basta tomar Fx Z x a ftdt Uma funcao derivavel F a b R tal que F 0 f chamase uma primitiva de f a b R Observacoes 1 Se f a b R possui uma primitiva entao f possui infinitas primitivas 2 Se F e G sao duas primitivas quaisquer de f entao Fx Gx k onde k 2 R e uma constante 3 Se f a b R e contınua e F a b R e uma primitiva de f entao Z b a fxdx Fb Fa Justificativa Na lousa Na observacao 3 nao e preciso supor f contınua Teorema 8 Teorema Fundamental do Calculo Se uma funcao integravel f a b R possui uma primitiva F a b R entao Z b a fxdx Fb Fa 28 Teorema 9 Mudanca de Variavel Sejam f a b R contınua g c d R derivavel com g0 integravel e gc d a b Entao Z gd gc fxdx Z d c fgtg0tdt Prova Na lousa Observacao Para mudar a variavel na integral Z gd gc fxdx fazse x gt Entao a diferencial de x sera dx g0tdt Estas substituicoes dao Z gd gc fxdx Z d c fgtg0tdt A troca nos limites de integracao e natural quando t varia de c ate d x gt varia de gc ate gd Teorema 10 Integracao por partes Se f g a b R tem derivadas contınuas entao Z b a fxg0xdx fbgb faga Z b a f 0xgxdx Prova Na lousa Teorema 11 Formulas do Valor Medio para Integrais Sejam f p a b R funcoes com f contınua Entao 1 Se p e integravel e nao muda de sinal existe c 2 a b tal que Z b a fxpxdx fc Z b a pxdx 2 Existe c 2 a b tal que Z b a fxdx fcb a Prova Na lousa 29