Limites de Funções Definição e Propriedades Exercícios Resolvidos

Capıtulo 1 Limites de Funcoes 11 Definicao e primeiras propriedades Definicao 1 Sejam X R f X R uma funcao e a 2 X0 Dizse que L 2 R e o limite de fx quando x tende para a e escrevese lim xa fx L quando para todo 0 dado arbitrariamente podese obter δ 0 de modo que se tenha fxL sempre que x 2 X e 0 x a δ Em sımbolos lim xa fx L se 8 0 9 δ 0 x 2 X 0 x a δ fx L Em linguagem mais simples lim xa fx L quer dizer que se pode tornar fx tao proximo de L quanto se queira desde que se tome x 2 X suficientemente proximo porem diferente de a Observacoes 1 Na definicao de limite e essencial que a 2 X0 mas e irrelevante que o ponto a pertenca ou nao ao conjunto X Na verdade a restricao 0 x a significa que x 6 a O valor fa nao tem importˆancia alguma quando se quer determinar o limite 2 Negar que lim xa fx L equivale a dizer que existe 0 com a seguinte propriedade seja qual for δ 0 podese encontrar x 2 X tal que 0 x a δ e fx L Teorema 1 Sejam f g X R funcoes a 2 X0 lim xa fx L e lim xa gx M Se L M entao existe δ 0 tal que fx gx para todo x 2 X com 0 x a δ Prova Na lousa Observacao No Teorema 1 a hipotese L M nao pode ser substituıda por L 6 M Forneca um contra exemplo Corolario 1 Se lim xa fx L e L M entao existe δ 0 tal que fx M para todo x 2 X com 0 x a δ Prova Basta tomar no Teorema 1 a funcao constante gx M 3 Corolario 2 Sejam lim xa fx L e lim xa gx M Se fx 6 gx para todo x 2 X proximo de a entao L 6 M Prova Na lousa Observacao Para o Teorema 1 e os Corolarios 1 e 2 valem versoes analogas com ou no lugar de ou 6 Teorema 2 Teorema do Sanduıche Sejam f g h X R funcoes a 2 X0 e suponha que lim xa fx lim xa gx L Se fx 6 hx 6 gx para todo x 2 X proximo de a entao lim xa hx L Prova Na lousa Teorema 3 Sejam f X R uma funcao e a 2 X0 Entao lim xa fx L se e somente se para toda sequˆencia de pontos xn 2 X a com lim xn a se tenha lim fxn L Corolario 1 Unicidade do limite Sejam f X R uma funcao e a 2 X0 Se lim xa fx L e lim xa fx M entao L M Prova Na lousa Corolario 2 Operacoes com limites Sejam f g X R funcoes e a 2 X0 Se lim xa fx L e lim xa gx M entao a lim xafx gx L M b lim xafx gx L M c lim xa fx gx L M desde que M 6 0 Prova Na lousa Corolario 3 Sejam f g X R funcoes e a 2 X0 Se lim xa fx 0 e g e limitada em uma vizinhanca de a entao lim xafx gx 0 Prova Na lousa Teorema 4 Sejam f X R uma funcao e a 2 X0 Se lim xa fx existe entao f e limitada em uma vizinhanca de a isto e existem δ 0 e c 0 tais que fx 6 c para todo x 2 X com 0 x a δ Prova Na lousa Exemplos 1 Funcao constante f R R fx c Temse que lim xa fx c para todo a 2 R 2 Funcao identidade g R R gx x Temse que lim xa gx a para todo a 2 R 3 Funcao polinomial p R R px a0 a1x a2x2 anxn Temse que lim xa px a0 a1a a2a2 anan pa para todo a 2 R 4 Funcao racional fx px qx onde p e q sao polinˆomios Temos as seguintes possibilidades 4 41 Se qa 0 pelo Corolário 2 segue que lim xa fx lim xa pxqx paqa fa 42 Se qa 0 o polinômio q é divisível por x a Podemos então escrever qx x aᵐq₁x e px x aᵏp₁x onde m N k N 0 q₁a 0 e p₁a 0 Se m k então fx p₁xq₁x para todo x a logo lim xa fx p₁aq₁a Se k m então fx x aᵏᵐp₁xq₁x para todo x a logo lim xa fx 0 p₁aq₁a 0 Se k m então fx p₁xx aᵐᵏq₁x para todo x a Neste caso lim xa fx não existe Exercício 1 a Seja f R 0 R definida por fx sen1x Mostre que lim x0 fx não existe b Seja g R 0 R definida por gx x sen1x Mostre que lim x0 gx 0 c Seja h R R definida por hx 0 se x Q 1 se x R Q Função de Dirichlet Para todo a R mostre que lim xa hx não existe Solução Na lousa Observação Dois dos limites mais importantes que aparecem na Análise lim x0 sen xx 1 e lim x0 eˣ 1x 1 12 Limites laterais Definição 2 Dado X R um ponto a R é um ponto de acumulação à direita de X quando para todo ε 0 temse X a a ε Escrevese a X Analogamente a R é um ponto de acumulação à esquerda de X quando para todo ε 0 temse X a ε a Escrevese a X Alguns Fatos 1 a X a lim xₙ onde xₙ X e xₙ a para todo n N 2 a X a lim xₙ onde xₙ X e xₙ a para todo n N Exemplo 5 Se X 1n n N então 0 X mas 0 X Se X a b então para todo c a b temos que c X X Nos extremos temos a X e b X Definição 3 Sejam f X R uma função e a X Dizse que L R é o limite à direita de fx quando x tende para a e escrevese L lim xa fx quando para todo 0 dado arbitrariamente podese obter δ 0 de modo que se tenha fxL sempre que x 2 X e a x a δ Em sımbolos L lim xa fx se 8 0 9 δ 0 x 2 X a x a δ fx L Analogamente se define o limite a esquerda para uma funcao f X R e a 2 X0 L lim xa fx se 8 0 9 δ 0 x 2 X a δ x a fx L Observacao 1 Os resultados da secao anterior se adaptam facilmente para os limites laterais Por exemplo o Teorema 3 ficaria assim lim xa fx L para toda sequˆencia xn 2 X com xn a e lim xn a se tenha lim fxn L lim xa fx L para toda sequˆencia xn 2 X com xn a e lim xn a se tenha lim fxn L Observacao 2 Podese ver facilmente que dado a 2 X0 X0 o limite lim xa fx L existira se e somente se existirem os limites laterais e forem iguais a L ou seja lim xa fx lim xa fx L Definicao 4 Seja f X R uma funcao 1 f e dita naodecrescente se x y implica fx 6 fy onde x y 2 X 2 f e dita crescente se x y implica fx fy onde x y 2 X 3 f e dita naocrescente se x y implica fy 6 fx onde x y 2 X 4 f e dita decrescente se x y implica fy fx onde x y 2 X Uma funcao satisfazendo um dos quatro itens acima e dita monotona Teorema 5 Seja f X R uma funcao monotona e limitada Entao para todo a 2 X0 e b 2 X0 existem lim xa fx e lim xb fx Observacao Sabemos que uma sequˆencia monotona e limitada e sempre convergente Porem pode nao existir o limite bilateral de uma funcao monotona e limitada Forneca um contraexemplo 13 Limites no infinito limites infinitos e formas indeterminadas Definicao 5 Sejam X R ilimitado superiormente e f X R uma funcao Escrevese lim x1 fx L se a seguinte condicao e valida para todo 0 dado arbitrariamente existe A 0 tal que fx L sempre que x 2 X e x A Em sımbolos lim x1 fx L se 8 0 9 A 0 x 2 X x A fx L Definicao 6 Sejam X R ilimitado inferiormente e f X R uma funcao Escrevese lim x1 fx L 6 se a seguinte condicao e valida para todo 0 dado arbitrariamente existe A 0 tal que fx L sempre que x 2 X e x A Em sımbolos lim x1 fx L se 8 0 9 A 0 x 2 X x A fx L Observacao 1 Os resultados obtidos para o limite x a valem para os limites no infinito com as devidas adaptacoes Por exemplo o Teorema 3 ficaria assim lim x1 fx L para toda sequˆencia xn 2 X com lim xn 1 se tenha lim fxn L lim x1 fx L para toda sequˆencia xn 2 X com lim xn 1 se tenha lim fxn L Observacao 2 Os limites para x 1 e x 1 sao de certo modo limites laterais o primeiro e um limite a esquerda e o segundo a direita Logo vale o resultado do Teorema 5 se f X R e monotona e limitada entao existe lim x1 fx se o domınio X e ilimitado superiormente e existe lim x1 fx se o domınio X e ilimitado inferiormente Observacao 3 O limite de uma sequˆencia e um caso particular de limite no infinito tratase de lim x1 fx onde f N R Exercıcio 2 Mostre que lim x1 1 x 0 Solucao Na lousa Estudamos agora os limites infinitos Definicao 7 Sejam X R a 2 X0 e f X R uma funcao Escrevese lim xa fx 1 se a seguinte condicao e valida para todo A 0 dado arbitrariamente existe δ 0 tal que fx A sempre que x 2 X e 0 x a δ Em sımbolos lim xa fx 1 se 8 A 0 9 δ 0 x 2 X 0 x a δ fx A Definicao 8 Sejam X R a 2 X0 e f X R uma funcao Escrevese lim xa fx 1 se a seguinte condicao e valida para todo A 0 dado arbitrariamente existe δ 0 tal que fx A sempre que x 2 X e 0 x a δ Em sımbolos lim xa fx 1 se 8 A 0 9 δ 0 x 2 X 0 x a δ fx A Exercıcio 3 Mostre que lim x0 1 x 1 Solucao Na lousa Exercıcio 4 Dˆe as definicoes de lim xa fx 1 lim xa fx 1 lim xa fx 1 lim xa fx 1 lim x1 fx 1 lim x1 fx 1 lim x1 fx 1 lim x1 fx 1 7 Formas indeterminadas Em varias situacoes limites costumam apresentar certas formas indeterminadas tais como 0 0 1 1 0 1 1 1 00 10 11 Por exemplo para a forma 0 0 significa que estamos tratando de um limite lim xa fx gx onde lim xa fx 0 e lim xa gx 0 Neste caso nada se pode afirmar ao certo sobre o limite lim xa fx gx O significado para as demais formas indeterminadas e analogo Exercıcio 5 Para cada forma indeterminada acima forneca exemplo onde o limite existe e exemplo onde o limite nao existe 8