Atividade 2 Resolvida-2022 2

ATIVIDADE 2 1. Encontre o limite da sequência convergente { √2, √2+√2, √2+√2+√2, √2+√2+√2+√2,… } 2. Encontre o limite da sequência convergente {a_n} tal que a_1 = 1 e a_{n+1} = a_n + \frac{1}{2^n+1} para n ≥ 1. 3. Se a n-ésima soma parcial da série \sum_{n=1}^{∞} a_n é s_n = \frac{n-1}{n+1}, encontre a_n e \sum_{n=1}^{∞} a_n. considere que o enésimo termo dessa sequência seja: 𝑎𝑛 = √2 + √2 + √2 + √2 + ⋯ Os três pontos na expressão acima denotam que a sequência vai continuar até que o enésimo termo seja obtido. Como não conhecemos o seu valor, vamos denotá-lo por x: 𝑥 = √2 + √2 + √2 + √2 + ⋯ Elevando ao quadrado a expressão acima: 𝑥2 = 2 + √2 + √2 + √2 + √2 + ⋯ Mas: √2 + √2 + √2 + √2 + ⋯ = 𝑥 Então: 𝑥2 = 2 + 𝑥 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 𝑥 = −1 ∨ 𝑥 = 2 Aqui, 𝑎 = 1, 𝑏 = −1 e 𝑐 = −2 Encontrando as raízes por soma e produto: 𝑥1 · 𝑥2 = −2 𝑥1 + 𝑥2 = 1 Então: 𝑥1 = 2 𝑥2 = −1 Podemos descartar a segunda solução. Logo: 𝑥 = 𝑎𝑛 = 2 Aqui, vamos encontrar o enésimo termo por indução: 𝑎1 = 1 𝑎2 = 𝑎1+1 = 𝑎1 + 1 21+1 = 1 + 1 22 = 1 + 1 4 = 5 4 𝑎3 = 𝑎2+1 = 𝑎2 + 1 22+1 = 5 4 + 1 8 = 11 8 𝑎4 = 𝑎3+1 = 𝑎3 + 1 23+1 = 11 8 + 1 16 = 23 16 𝑎5 = 𝑎4+1 = 𝑎4 + 1 24+1 = 23 16 + 1 32 = 47 32 Aqui, o denominador parece seguir 𝑐𝑛 = 2𝑛, válido para 𝑛 ≥ 2. Já o numerador é mais complicado. Para contornar isso, vou chutar uma função geradora da sequência 𝑏𝑛 = {1,5,11,23,47, … } 𝑏𝑛(𝑛) = 6 · 2𝑛−2 − 1 Logo: 𝑎𝑛 = 1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 𝑐𝑛 = 6 · 2𝑛−2 − 1 2𝑛 = 2−𝑛(6 · 2𝑛−2 − 1) 𝑎𝑛 = 6 · 2𝑛−2−𝑛 − 2−𝑛 𝑎𝑛 = 6 · 2−2 − 2−𝑛 𝑎𝑛 = 6 22 − 1 2𝑛 𝑎𝑛 = 6 4 − 1 2𝑛 Verificando: • 𝑛 = 2 𝑎2 = 6 4 − 1 22 = 5 4 (𝑜𝑘) 𝑎3 = 6 4 − 1 23 = 11 8 (𝑜𝑘) 𝑎4 = 6 4 − 1 24 = 23 16 (𝑜𝑘) 𝑎5 = 6 4 − 1 25 = 47 32 (𝑜𝑘) logo, o termo geral da sequência é: 𝑎𝑛 = 6 4 − 1 2𝑛 Quando 𝑛 → ∞ lim 𝑛→∞ 6 4 − 1 2𝑛 = 6 4 − 0 = 6 4 = 3 2 Logo, o limite da sequência convergente é 3/2 Também obtendo 𝑎𝑛 por indução: 𝑠1 = 1 − 1 1 + 1 = 0 Logo: 𝑎1 = 0 E: 𝑠2 = 2 − 1 2 + 1 = 1 3 Logo: 0 + 𝑎2 = 1 3 𝑎2 = 1 3 E: 𝑠3 = 3 − 1 3 + 1 = 1 2 ≈ 0,5 0 + 1 3 + 𝑎2 = 1 2 𝑎2 = 1 6 E: 𝑠4 = 4 − 1 4 + 1 = 3 5 0 + 1 3 + 1 6 + 𝑎4 = 3 5 𝑎4 = 1 10 E: 𝑠5 = 5 − 1 5 + 1 = 2 3 0 + 1 3 + 1 6 + 1 10 + 𝑎5 = 2/3 𝑎5 = 1 15 Parece que a sequência é: {𝑎} = 0, 1 3 , 1 6 , 1 10 , 1 15 , 1 21 , 1 28 , … A sequência dos denominadores parece ser: {𝑏} = 0,3,6,10,15,21,28, … E o termo geral parece ser: 𝑏𝑛 = 1 2 (𝑛2 + 𝑛) Logo, o termo geral é 𝑎1 = 0 𝑎𝑛 = 1 1 2 (𝑛2 + 𝑛) = 2 𝑛2 + 𝑛 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 2 E a soma total é: ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛=1 = lim 𝑛→∞ 𝑛 − 1 𝑛 + 1 = lim 𝑛→∞ (𝑛 − 1)′ (𝑛 + 1)′ = 1 1 = 1