Exercícios 2 - Calculo 2 - 2023-2

1. (2,0 pontos) Encontre os pontos de mínimo e máximo da função f(x, y) = x + y na elipse Ω = {(x, y) ∈ R²: x² + xy + y² ≤ 3}. 2. (2,0 pontos) Calcule o volume da região A = {(x, y, z) ∈ R³: x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + 2y ≤ z ≤ x + y + 2}. 3. (2,0 pontos) Calcule ∬_Ω xy dxdy, onde Ω = {(x, y) ∈ R²: x ≥ 0, y ≥ 0, 1 ≤ x² + y² ≤ 4}. 4. (2,0 pontos) (a) Calcule ⌠_γ (x² + y² + z²) ds, onde γ(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ 2π. (b) Seja F⃗ (x, y) = (y² − 2xy) i⃗ + (2xy − y) j⃗ . Mostre F⃗ é conservativo e calcule ⌠_(1,2)^(2,1) F⃗ ⋅ d⃗s. 5. (2,0 pontos) Seja B o círculo de raio unitário centrado na origem e γ sua fronteira orientada no sentido anti-horário. Dado F⃗ (x, y) = (x − y) i⃗ + (x + y) j⃗ (a) Calcule ⌠_γ F⃗ ⋅ d⃗s. (b) Calcule ∬_B rot F⃗ dx dy. Verifique que o Teorema de Green é satisfeito. 6. (Questão Extra - 2,0 pontos) Sendo A = {(x, y, z) ∈ R³: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ xy}, calcule ∭_A z dz dy dz.