Exercícios Limites e Derivadas de Funções de Várias Variáveis-2022 2

Limites e Derivadas de Fun¸c˜oes de V´arias Vari´aveis 1 Limite Nesta se¸c˜ao veremos como os conceitos de limite e continuidade podem ser aplicados `a fun¸c˜oes f : Rn → R de v´arias vari´aveis. Defini¸c˜ao 1 (Limite). Seja f : A ⊂ Rn → R e p ∈ Rn um ponto de acumula¸c˜ao de A. Dizemos que f tende `a L ∈ R quando x tende `a p, e escrevemos lim x→p f(x) = L, se para todo ε > 0 dado, existir δ > 0 tal que: 0 < ∥x − p∥ < δ, x ∈ A ⇒ |f(x) − L| < ε. Esta defini¸c˜ao ´e an´aloga `a de limite de fun¸c˜oes g: R → R vista em c´alculo A. No entanto, como agora a vari´avel ´e vetorial (representando v´arias vari´aveis reais), o m´odulo |x − p| ´e substitu´ıdo pela norma ∥x − p∥ do Rn. Deste modo, lim x→p f(x) = L significa que, dado ε > 0 qualquer, existe uma bola aberta Bδ(p) tal que f(x) permanece na vizinhan¸ca (L − ε, L + ε) de L quando x varia dentro da vizinhan¸ca Bδ(p) de p, com x ̸= p. O pr´oximo teorema formaliza a ideia de que, se lim x→p f(x) = L, ao nos aproximarmos de p atrav´es de qualquer curva cont´ınua γ(t), o valor de f(γ(t)) tende `a L. Teorema 1. Considere f : A ⊂ Rn → R tal que lim x→p f(x) = L, e seja γ : I ⊂ R → Rn uma curva cont´ınua em t0, com γ(t0) = p e γ(t) ̸= p, ∀t ̸= t0. Tem-se lim t→t0 f(γ(t)) = L. 1 Este teorema é muito util para verificar se determinados limites existem, uma vez que se encontrarmos duas curvas 7;(t) e y(t) nas condigdes deste teorema tais que lim f(y(t)) 4 lim f(y2(t)), entao o limite lim f(a) nao pode existir. tto toto rp As propriedades basicas dos limites de funcdes de uma varidvel real vistas em calculo A, como as propriedades operatorias, o limite da composta e o teorema do confronto, podem ser naturalmente estendidas para este caso, e suas provas sao deixadas como exercicio. Exercicios 1. Calcule, caso exista. a) lim 24+y. f) lim cry (2,9) >(,2) (2,y)+(0.0) &— Y b lim xy. ) eaten TY ; x g) lim yD: c) lim cosa —seny. (x,y) (0,0) &° + Y (2,9) +(0.n) 2 d lim e?*¥, h lim = —. ) (x,y) (0,0) ) (wy) (0,0) \/a? + y? 3 e) lim — i) lim ae (x.y) +(0,0) x? + y? (x,y) +(0,0) y — 2? 2. Seja f: A C R” > R, com lim f(x) = ae g: J C R > R uma fungao continua xL—p em a. Mostre que lim g(f(a)) = g(a) 2p Conclua que podemos ‘trocar a ordem’ do limite e uma funcao continua. 3. Sejam f,g: AC R"” > R, com lim f(x) = Le lim g(x) = G. Mostre que: “Lp “Lp a) lim[f(e) + g(a) =L +. rp b) limk f(a) =kL, k © R constante. «2p c) lim f(x)g(x) = LG. 2p x L d) lim L@) =—, casoG #0. cop g(x) G 4. Sejam f,g: A C R” > R, tais que lim f(x) = 0 e g é limitada em uma vizinhanga 2p de p, ou seja existem M,r > 0 € R tais que ||g(x)|| < M, Va € B,(p). Mostre que: lim f(x)g(x) = 0. rp 2 5. Seja f: A C R" > R, p € R”. Mostre que se lim f(x) = L > 0, entao existe Lp 0 > 0 tal que, para todo x € A 0<|jr—pil<6 => f(x) >0. 6. Sejam f,g,h: AC R" > R tais que g(x) < f(x) < h(x) em uma vizinhanga de p € R”. Prove que se lim g(x) = lim h(x) = L entao lim f(x) = L. rp xp rp 7. Seja f: R? > R tal que lim, f(x,0) = lim f(0,y) = L. Podemos garantir que xr y> lim r,y)=L? (x,y) (0,0) Hay) ; xy (Dien: Considere f(x,y) = > € Y(t) = (9) u+y 8. Calcule lim 9 727-7" onde f(x,y) =a? + y. (h,k)+(0.0) I(r, &)I| ny) 2 Continuidade A partir da definigaéo de limite, podemos definir continuidade de fungdes de varias varidveis. Definigao 2. Seja f: A C R” > Rep € A, com p ponto de acumulacao de A. Dizemos que f € continua em p se lim f(x) = f(p). 2p Dizemos simplesmente que uma fungao f é continua se ela for continua em todos os pontos de seu dominio. Os préximos resultados nos dizem que, assim como para fungoes de uma, varidvel real a valores reais, a composta de fungodes continuas é continua. Teorema 2. Sejam f: ACR" ~>Reg: BCR—-R duas funcoes tais que Im f C B. Se f for continua em p € A eg for continua em f(p) € B, entado a composta h(x) = f(g(x)) € continua em p. Teorema 3. Sejam f: ACR" > Rey: 1 CR—- R" duas funcoes tais que Imy C A. Se y for continua em to € I e f for continua em y(to) € A, entdo a composta y(t) = f(y(t)) sera continua em to. Em particular, note que dada uma funcao f: A C R” — Re um ponto p € A, se encontrarmos uma curva y: J C R > R” continua, com y(to) € p, tal que y(t) = f(y(t)) nao é continua em tp, entao f nao é continua em p. Esta é uma forma wtil de verificar a continuidade de funcoes de varias varidveis. 3 5 se (,y) # (0,0) Exemplo 1. Considere a fungdao f(x,y) = 4 v7? + y? Y "| Esta fungao 0 se (x,y) = (0,0) nao € continua em (0,0), pois se considerarmos a curva continua y(t) = (t,t), @ com- 1 posta f(y(t)) =< 2 °° t#0 nao € continua em ty = 0. 0 set=0 Exercicios 1. Mostre que as seguintes funcoes sao continuas (Dica: Utilize as propriedades operatérias do limite e o Teorema 3) —9 2,, 3 2 1 Qu + Yy a) f(w,y) = 20*y — 3y° + ay +1. e) f(x,y) = ———. /, — 72 — b) fm y)Vl- 2 —y*. boa y c) f(x,y) = ye". f) f(x,y,2) = 2% — zy. d) f(x,y) =cos(x+y)+sen(x—y). 8) f(x,y, 2) =In(a* + y? + 2”). 2. Sejam f,g: A C R” > R fungoes continuas em p € Ae k € R uma constante. Mostre que as fungoes f + 9, kf, f- ge, se g(p) 4 0, f também sao continuas g neste ponto. 3. Mostre que se f: A C R" > R for uma funcgao continua em p € A e se f(p) > 0, entao existe r > 0 tal que f(x) > 0 para todo x € A tal que ||x — p|| <r. 4. Um conjunto A C R” é dito simplesmente conexo se, dados quaisquer pontos p,q € A, existir uma curva continua y: [a,b] > A, contida em A, tal que y(a) = p e 7(b) = 4. Seja f: A > R uma fungao continua definida em um conjunto A C R” simples- mente conexo. Mostre que se p,q € A, com f(p) <m < f(q), entao existe x € A tal que f(x) =m. (Dica: Lembre-se do teorema do valor intermedidrio para fungdes continuas de uma varidvel real a valores reais.) 5. Seja f: R” — R uma fungao continua, e c € R uma constante. Prove que o conjunto S. = {x € R”: f(x) < c} é aberto. (Dica: Veja o Exercicio 4 e considere a fungao h(x) = c— f(x).) 4 3 Derivadas Parciais 3.1 Derivadas Parciais de Fun¸c˜oes de Duas Vari´aveis Nesta se¸c˜ao, vamos introduzir o conceito de derivada parcial de uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis. Seja f : A ⊂ R2 → R uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis reais `a valores reais e (x0, y0) ∈ A. Fixando y = y0, podemos estudar o comportamento de f sobre a reta γ(x) = (x, y0) atrav´es da fun¸c˜ao de uma vari´avel φ(x), dada por: φ(x) = f(γ(x)) = f(x, y0) Definimos a derivada parcial de f em rela¸c˜ao `a x no ponto (x0, y0) como a derivada de φ(x) em x = x0, isto ´e: ∂f ∂x(x0, y0) = φ′(x0) = lim x→x0 f(x, y0) − f(x0, y0) x − x0 . De modo an´alogo, se fixarmos x = x0 podemos estudar o comportamento de f sobre a reta δ(y) = (x0, y) a partir da fun¸c˜ao ψ(y), dada por: ψ(y) = f(δ(y)) = f(x0, y), e definimos a derivada parcial de f em rela¸c˜ao `a y no ponto (x0, y0) como a derivada de ψ(y) em y = y0, isto ´e: ∂f ∂y (x0, y0) = ψ′(y0) = lim y→y0 f(x0, y) − f(x0, y0) y − y0 . A partir destas defini¸c˜oes, sendo B ⊂ A o subconjunto do dom´ınio de f formado pelos pontos (x, y) onde o limite limh→0 f(x + h, y) − f(x, y) h existe, podemos definir a fun¸c˜ao ∂f ∂x : B ⊂ R2 → R, chamada de fun¸c˜ao derivada parcial de f em rela¸c˜ao `a x, que associa a cada (x, y) o n´umero ∂f ∂x(x, y). De modo an´alogo, podemos definir a fun¸c˜ao derivada parcial de f em rela¸c˜ao `a y. Note que ∂f ∂x(x, y) ´e a derivada em rela¸c˜ao `a x de f, mantendo y constante, enquanto ∂f ∂y (x, y) ´e a derivada em rela¸c˜ao `a y, mantendo x constante. Para calcular as derivadas parciais, podemos utilizar as regras usuais de deriva¸c˜ao tomando como base a vari´avel de interesse e considerando a outra como uma constante. Exemplo 2. Seja f(x, y) = x2 + 2xy − y2 − 4y. Calcule ∂f ∂x e ∂f ∂y . Para calcular ∂f ∂x, devemos considerar y constante e derivar em rela¸c˜ao `a x: ∂f ∂x = ∂ ∂x(x2 + 2xy − y2 − 4y) = 2x + 2y. 5 O Para calcular or devemos considerar x constante e derivar em relacao a y: y Of 97 5 2 OF oe ory — y? — 4y) = 2x — 2y — 4. Dy 5p it + 2ey — y° — dy) = 2a — 2y Exemplo 3. Seja z= f(x,y) dada implicitamente por x? +y?+2? =1, z>0. Calcule Of of —e., Ox Oy Para calcular as derivadas parciais, podemos primeiramente isolar o z, explicitando a fun¢ao: : z=f(@y)=V1l-v-y=(l-a’—y’)?. O 1 _ Deste modo, pelas regras de derivagao OF _ -(l—2? — y2)~2 (—22) = —__ Ox 2 [72 —y Of | -y e analogamente — = ————————.. Oy VJl—-2—¥? Alternativamente, podertamos ter chegado neste mesmo resultado trabalhando dire- tamente com a equacao implicita, derivando dos dois lados: O O an +y+2)= 5g 6h) Oz Qe + 2x — =0, r+ 22 Dn Oz x —2 Oz y e portanto — = —- = ———————... Analogamente, temos — = —=. Ox Zz /J—a2 —y? Oy Zz Temos uma interpretacao geométrica das derivadas parciais quando consideramos a intersecao do grafico da fungao com os planos y = yo € © = Xo. Ou seja, quando estudamos as curvas s,(t) = (t, yo, f(t,yo)) € Sy(t) = (%o,t, f(xo,t)). Note que os O O vetores tangentes 4 estas curvas sao U, = (1 0, TE 0, ws) e Uy = (0. 1, eto) ) xv Exemplo 4. Seja yp: R — R uma fungao derivdvel de uma varidvel real a valores reais. Considere a fungdo g: R? + R dada por g(x.y) = p(x? + y*). Verifique que Og Og “4 (1,1) = (1,1). jolt) = Fe) 2, 9 . _ Og ,, Ou Temos g(x,y) = y(u), ondeu = x*+y*. Entao, pela regra da cadeia, an 7 (wa x ou seja: Og ptr) = O(a? + y?) x O O Analogamente, CF (uy — = y'(x* + y*) 2y. Sendo assim, Oy Oy Og Og <4 (1,1) = 2y'(2) = (1,1). (tat) = 2¥'2) = 520.1) 6 z vy y Veremos agora que as derivadas parciais, embora sejam ferramentas muito uteis para o estudo de funcgoes de varias varidveis, apresentam limitacoes. Isto é decorrente do fato de que, ao calcularmos as derivadas parciais, focamos apenas 0 comportamento da fungao sobre as curvas y(t) = (t,yo) e d(t) = (x,t), nao considerando toda a vizinhanga do ponto (29, yo). O préximo exemplo aborda estas limitacoes, mostrando que a mera existéncia das derivadas parciais nao é uma boa extensao do conceito de diferenciabilidade para fungdes de varias varidveis. TY —>— se (4, 0,0 Exemplo 5. Considere a fungao f(x,y) = 4 v7? +y? (29) # ( ) Mostre que f 0 se (a, y) = (0,0) admite derivadas parciais em (0,0), mas nao é continua neste ponto. De fato, note que f(x,0) =0, Vz € R e f(0,y) = 0, Vy € R. Deste modo, tem-se Of Of — (0,0) = —(0,0) =0. 5 (0:0) = 50.0) Por outro lado, como visto no Exemplo 1, considerando a curva continua y(t) = (t,t), a composta f(7(t)) nao é continua em tp = 0. Logo f nao € continua em (0,0). 3.2. Derivadas Parciais de Funcoes de Trés ou Mais Variaveis O conceito de derivadas parciais pode ser facilmente estendido para fungoes de trés ou mais varidveis. Seja f: A C R*® > R uma funcao de trés varidveis reais 4 valores reais e (2, Yo,20) € A. Fixando y = yo e 2 = 2, podemos considerar a fungao p(x) = f(x, yo,20). A derivada parcial de f em relagéo a x no ponto (Zo, yo, Zo) ¢ entao definida como a derivada de y(x) em x = Xo, isto é: Of _ f(x, Yo, 20) — (0, Yo, 0 By (LO Yo» 20) = y'(xo) = lim Lt Yo. 20) ~ Fo, Yor 70) x r+r9 XL — Xo 7 Analogamente, definimos as derivadas parciais de f em relacao a y e a z: 0 od) ~~ XT, Yo; ~ OF (ro, yo. 20) — lim f(%0,¥; 20) — F(Xo; Yo; 20) Oy yyo Y — Yo Of : f Xo, Yo, ~ —f Xo, Yo; £0 Bz (Uo Yoo 20) = lim Fo, Yo» 2) — Ho, Yo, 20) Zz 2420 zZ—> 2 De modo geral, dada a fungao f: A C R" > Rep € A, a derivada parcial de f em relacao a x; no ponto p é dada por: O p+ hé;) — oF ey — jn LOH PE) LP) Ox; h0 h Ras a Of onde é; é o i-ésimo vetor da base canonica. Deste modo, an, representa a taxa de vi variacao de f ao longo da direcao é;. Exercicios 1. Determine as derivadas parciais das seguintes funcoes. a) f(x,y) = 2 — 3y +4. h) f(v,y) = (@’y-y?). b = 72 — Dy? . xseny ) f(a, y) = 2 — xy + 2y i) f(x,y) = —s- c) f(a,y) = 40° y? — Qary? + 2°. cos(a" + y") d) f(x,y) = senzxy. j) f(a,y, 2) = aye — yz? — xyz. e) fay) =e. k) f(a,y,2) = rer, 3,2 f) f(y) = 2%. I) f(a,y, 2) =In(a? + y? + 2). w+ ye LYZ g) f(x,y) = 2". m) I(@.9 2) = 2. Determine, em termos de x, y e z, as derivadas parciais das fungoes diferencidveis z = f(x,y) dadas implicitamente pelas equacgoes a seguir. a) 2+ nyz=2. e) y=xtgz b) (w@- 2)? + (y+2)? =1. f) (fv? + y? — 2)? + 22 =1. 2 _ 4)\2 — 42 c) (z+ 22) + (y ay = 2 g) sen(xz) = 2% —y?. uessy z I atptacqt h) ee =a? +y? +27. 3. Sendo y: R > R uma fungao diferencidvel de uma varidvel real a valores reais, determine, em termos de y e y’, as derivadas parciais das seguintes fungoes. 8 (2 2 senx a) f(x,y) = pla +ay+y"). d) row =~ (2), _ _ 42 b) f(x,y) = xp(x—y"). e) f(t,y,2) = 29(a? +y? + 2”). c) f(x,y) = (#* + y?)e(2* + y’). f) f(a,y,z) =e" plu +y + 2) g(z,y) 4. Considere a fungao f(x,y) = / h(t) dt, onde g e h sao fungoes diferencidveis de uma varidvel real a valores reais e a € R é uma constante. Mostre que: of Og Of Og wt —h a a —h a 5 Or) = hala) a (ey), Dy (x,y) = h(g(x,y)) Dy (x, y) 5. Determine as derivadas parciais das seguintes fungoes. a2+y2 y—x? a) f(x,y) = | e dt. c) f(a,y) = | Vv 2t — t? dt. 0 0 ay yo, b) flew) = [ Vv14+# dt. d) F(e.y) = f e dt. 0 2 9 Of 9 ~ 6. Seja f: R* > R tal que Ba y) = 0 para todo (x,y) € R*. Mostre que f nao xv depende de zx, ou seja que existe y: R > R tal que f(x,y) = v(y), V(z,y) € R?. (Dica: Mostre que, dado yo € R, a fungao h(x) = f(x, yo) € constante. ) ; 2 of of 2 7. a) Seja f: R° > R tal que By (tr) = By (rY) = 0 para todo (z,y) € R’. Mostre que f é constante. O O O O b) Sejam fg: R? > B tais que Sh (2,4) = 58(0,y) © S4(0,y) = 52(c.), para todos (x,y) € R?. Mostre que f(x,y) = g(x,y) para todos (x,y) € R?. 8. Determine uma fungao f(z, y) tal que OF _ 327y” — 327 — by OF _ 2a (1 — eW +9")) a) OF 2a 8y + 4y3 — 6x ° 3f Qy(1 — eH 40) a Of x OF _ y cos(xy) + cos(y”) 4) dc pty + 2a In(x + y) b) Git oy" Of x Qy Oy = xcos(xy) — 2xy sen(y*) 3y = a+y + T+, 9. Seja f: A Cc R? > R uma funcao que admite derivadas parciais em (x9, yo) € A, e o ponto P(x0, yo, f(%o, yo)) pertencente ao grafico de f. 9 a) Considere a curva ¥,(t) = (t, yo, f(t, yo)), obtida pela intersecao do grafico de f com o plano y = yo. Mostre que a reta tangente a 7, em P é Of T,: P+A(1,0, (20, + ( Dx (Xo ws) b) Considere a curva ¥,(t) = (xo, t, f(t, yo)), obtida pela intersecao do grafico de f com o plano x = %. Mostre que a reta tangente a 7, em P é Of Ty: P + Lt (0. 1, By (2 w)) c) Mostre que a equagao do plano determinado pelas retas T), e T, é O O z— f(X0, Yo) = a 0, ys) (x — 20) + 5p (eo a) (y — Yo) 10