Exercícios Vetores e Funções Vetoriais-2022 2

Vetores e Fun¸c˜oes Vetoriais 1 O espa¸co vetorial Rn 1.1 O espa¸co Rn O espa¸co vetorial Rn representa o conjunto de n-uplas ordenadas de n´umeros reais {⃗x = (x1, x2, . . . , xn): xi ∈ R}, munido das opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e produto por escalar. Defini¸c˜ao 1 (Adi¸c˜ao e produto por escalar de vetores). Sejam ⃗u,⃗v ∈ Rn vetores, com ⃗u = (u1, u2, . . . , un) e ⃗v = (v1, v2, . . . , vn), e λ ∈ R um escalar. A soma de vetores ´e definida por: ⃗u + ⃗v = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn). e o produto de um vetor por escalar ´e definido por: λu = (λu1, λu2, . . . , λun). No caso dos espa¸cos vetoriais R2 e R3, os vetores e suas opera¸c˜oes podem ser in- terpretados geometricamente a partir do plano e espa¸co cartesiano. Por esta raz˜ao, daremos foco especial neste curso `a esses dois casos. No entanto, os conceitos b´asicos podem ser generalizados para mais dimens˜oes, mesmo que as interpreta¸c˜oes geom´etricas sejam perdidas. A soma e o produto por escalar de vetores satisfazem as seguintes propriedades: • Propriedades da soma: Comutatividade ⃗u + ⃗v = ⃗v + ⃗u. Associatividade (⃗u + ⃗v) + ⃗w = ⃗u + (⃗v + ⃗w). Elemento neutro Para todo vetor ⃗v, temos ⃗v +⃗0 = ⃗v. Elemento oposto Para todo ⃗v, existe um vetor −⃗v tal que ⃗v + (−⃗v) = ⃗0. • Propriedades do produto por escalar: Associatividade (αβ)⃗v = α(β⃗v). Multiplica¸c˜ao por 1 Para todo vetor ⃗v, 1 · ⃗v = ⃗v. Distributiva (α + β)⃗v = α⃗v + β⃗v e α(⃗u + ⃗v) = α⃗u + α⃗v. De fato, essas propriedades definem a estrutura de espa¸cos vetoriais, e s˜ao a base para o estudo de vetores. 1 1.2 Produto escalar e norma Definigao 2 (Produto Escalar). Dados os vetores ti = (U1, U2,...,Un) CU = (U1, V2,---,Un); o produto escalar entre eles € o ntimero real u-U definido por: UV = UyzVy + Ugve + +++ + UnUn. e Dados os vetores v,v,w € R” e o escalar A € R, o produto escalar admite as seguintes propriedades: Comutatividade u-v =VU- Uw. Bilinearidade U-(64+w) =U-04+U-w, U- (av) = a(t: v). (U+0)-W=U-W4+8U-U, (at) -v=a(u-v). Positividade Para todo tu 4 0, temos: u-u>O0, caso @ = 0, temos 0-0 = 0. A partir do produto escalar, podemos definir a norma de um vetor, que nos permite medir distancias em R”. Definigao 3 (Norma). Dado tv € R", definimos a norma de ti como: iil = View = yu + ub + Fwd. Com os conceitos de norma e produto escalar de vetores, podemos agora definir e calcular o Angulo formado por vetores em R”. Primeiramente, mostraremos a Desigual- dade de Schwarz: Teorema 1 (Desigualdade de Schwarz). Dados t,v € R” quaisquer, tem-se: Ju - O] < [full [fel]. Deste modo, o ntmero real laa esta entre —1 e 1. Deste modo, existe um tinico ull |lv U-v , x * 6 € [0,7] tal que cos@ = Taal Este é, por definicao, o Angulo formado entre os ull |v vetores u e U. Para o caso de vetores no plano ou espacgo, mostra-se pela lei dos cossenos que esta definicao é condizente com o conceito geométrico usual de angulo. 2 Defini¸c˜ao 4 (ˆAngulo entre vetores). Dados ⃗u,⃗v ∈ Rn, o ˆangulo entre ⃗u e ⃗v ´e definido como o ˆangulo θ ∈ [0, π] tal que: cos θ = ⃗u · ⃗v ∥⃗u∥ ∥⃗v∥, em particular, ⃗u e ⃗v s˜ao ditos perpendiculares, ou ortogonais, se ⃗u · ⃗v = 0. • Dados os vetores ⃗u,⃗v ∈ Rn e o escalar λ ∈ R, a norma admite as seguintes propriedades: Positividade ∥u∥ ≥ 0, e ∥u∥ = 0 se e somente se ⃗u = ⃗0. Escalonamento ∥λ⃗u∥ = |λ| ∥u∥. Desigualdade Triangular ∥⃗u + ⃗v∥ ≤ ∥⃗u∥ + ∥⃗v∥. 1.3 No¸c˜oes de Topologia no Rn Defini¸c˜ao 5 (Bola Aberta). Dado o ponto x0 ∈ Rn e r > 0 ∈ R, a bola aberta de centro x0 e raio r ´e definida por: Br(x0) = {x ∈ Rn : ∥x − x0∥ < r} No plano cartesiano (R2), uma bola aberta corresponde aos pontos interiores ao c´ırculo de centro x0 e raio r. No espa¸co cartesiano (R3), aos pontos interiores `a esfera de centro x0 e raio r. A bola aberta Br(x0) pode ser interpretada como uma vizinhan¸ca do ponto x0, cujo tamanho ´e dado pelo seu raio r > 0. Um ponto x0 ´e dito interior `a uma conjunto A quando todos os pontos na vizinhan¸ca de x0 pertencem `a A. Formalmente, temos: Defini¸c˜ao 6 (Ponto Interior). Seja A ⊂ Rn. Um ponto x ∈ A ´e dito ponto interior de A (x ∈ int(A)) se existe ε > 0 tal que Bε(x0) ⊂ A. Defini¸c˜ao 7 (Conjunto Aberto). Um conjunto A ⊂ Rn ´e dito aberto se todos os seus pontos s˜ao interiores, ou seja int(A) ⊂ A. Veremos agora o conceito de ponto de acumula¸c˜ao, importante para o estudo de limites no Rn: Defini¸c˜ao 8 (Ponto de Acumula¸c˜ao). Seja A ⊂ Rn, x ∈ Rn ´e um ponto de acumula¸c˜ao de A se toda bola aberta de centro x contiver ao menos um ponto y ̸= x pertencente `a A. Dizer que x ´e um ponto de acumula¸c˜ao de A significa dizer que existem pontos de A, distintos de x, arbitrariamente pr´oximos de x. Note que para que x seja ponto de acumula¸c˜ao de A ele n˜ao precisa pertencer `a A. Exerc´ıcios 1. Sejam ⃗u = (1, −1, 0, 2) e ⃗v = (−3, 0, −2, 1). Calcule: 3 a) 2⃗u + ⃗v. b) (⃗u + ⃗v) · (⃗u − ⃗v). c) ∥⃗u∥2 − ∥⃗v∥2. d) ∥3⃗u − 2⃗v∥. 2. Sejam ⃗u = (1, −1, 0, 1) e ⃗v = (0, 2, 0, −1). Se poss´ıvel, expresse ⃗w como uma combina¸c˜ao linear de ⃗u e ⃗v: a) ⃗w = (2, 0, 0, 1) b) ⃗w = (1, 0, 0, 0) c) ⃗w = (2, 2, 0, 0) d) ⃗w = (−1, 2, 0, 1) 3. Sejam ⃗e1,⃗e2 ∈ Rn vetores ortogonais, com ∥⃗e1∥ = 2 e ∥⃗e2∥ = 3. Sejam ⃗u = ⃗e1+2⃗e2 e ⃗v = 2⃗e1 − ⃗e2. Calcule ∥⃗u∥, ∥⃗v∥ e ⃗u · ⃗v. 4. No espa¸co Rn, a distˆancia entre os pontos A e B ´e definida como a norma do vetor ⃗v = B − A. Em cada caso, calcule a distˆancia entre A e B. a) A(1, 2) e B(−2, 3). b) A(0, 1, −1) e B(2, 1, 2). c) A(−1, 2, 0, 1) e B(2, 0, 1, 1). d) A(1, 1, 1, −1, −1) e B(0, 0, 2, 1, 2). 5. Determine k ∈ R tal que (k, 0, 0, 0) ∈ R4 seja equidistante de A(−1, 2, 0, 1) e B(2, 0, 1, 1). 6. Dados p,⃗v ∈ Rn, a equa¸c˜ao param´etrica da reta que passa por p e tem dire¸c˜ao ⃗v ´e dada por r: x = p + λ⃗v, onde λ ∈ R ´e o parˆametro. Determine equa¸c˜oes param´etricas para as seguintes retas: a) Reta que passa por A(−1, 2, 0) e tem dire¸c˜ao ⃗v = (−1, 0, 1). b) Reta que passa pela origem e ´e per- pendicular `a ⃗u = (1, 1, 0) e ⃗v = (0, −1, 2). c) Reta que passa por A(−1, 1, 2, 1) e ´e paralela ao eixo x. d) Reta que passa pelos pontos A(1, 3, −2, 1) e B(2, −1, 4, 0). 7. Dados p,⃗n ∈ Rn, o (hiper-)plano que passa por p e ´e perpendicular `a ⃗n ´e definido pelo conjunto de pontos x = (x1, . . . , xn) que satisfazem ⃗n · (x − p) = 0. Esta ´e chamada de equa¸c˜ao geral do (hiper-)plano. Determine equa¸c˜oes gerais para os seguintes (hiper-)planos: a) Plano que passa por A(2, 1, 0) e ´e perpendicular `a ⃗n = (1, 2, −1). b) Reta que passa por A(1, −1) e ´e per- pendicular `a ⃗n = (−2, 1). c) Plano que passa por A(1, 2, 1) e ´e pa- ralelo `a ⃗u = (1, 0, 1) e ⃗v = (0, −1, 2). d) Hiper-plano que passa pela origem e ´e perpendicular `a ⃗n = (−1, 1, −2, 1) 4 8. Dado C = (q,...,¢n) € R° er > 0 € R, a (n-)esfera de centro C e raio r é definida como o conjunto de pontos cuja distancia 4 C' é igual a r. Mostre que X= (#1,...,2n) pertence a esta (n-)esfera se e somente se: So (ai _ cj)? = r?, i=1 9. Dados w,v € R”, mostre que |/u — v|| > | ||u|| — lll] |. (Dica: Aplique a desigualdade triangular em ti = (uw — ¥) + Uv) 2 Funcoes uma variavel real a valores vetoriais Uma fungao de uma varidvel real a valores vetoriais 6 uma funcao Ff’: A — R” cujo dominio é um subconjunto de R (A C R). Por simplicidade, vamos supor que o dominio A é um intervalo. A funcao F associa, portanto, a cada numero real t € A um unico vetor F(t) € R”. Geometricamente, tais fungdes definem curvas em R”. O conjunto Im F = {F(t) € R": t € A} 6a imagem de F’,, também chamada de trajetéria, pois podemos pensar na funcgdéo F(t) como descrevendo a posigéo de um corpo no espaco R”, em fungao do tempo t € R. A partir de um sistema de coordenadas do R”, podemos representar, para cada t € A, o vetor F(t) a partir de suas componentes, de modo que: onde F;: A > R, i =1...n sao as funcdes componentes de F. Exemplo 1. Seja F: [0,27] — R? dada por F(t) = (cost, sent). As fungdes compo- nentes de F' sao as fungdes x(t) = cost e y(t) = sent. A imagem de F é€ a circunferéncia centrada na origem e de ratio 1. De fato, note que x(t)? + y(t)? = 1. Dizemos que F(t) € uma parametrizacao desta circunferéncia. Exemplo 2. Seja F: R — R® dada por F(t) = (t,t, t?). As fungdes componentes de f sao x(t) =t, y(t) =te z(t) =?. Note que a imagem de F esta contida no plano a: x = y. A projecao de F' sobre o plano xz é€ a pardbola x =t, z = t?, e sua projecao sobre o plano yz € a parabola y = t, z=. Ezxemplo 3. Seja F: R — R® dada por F(t) = (cost, sent,t). As funcdes componentes de F sao x(t) = cost, y(t) = sent e z(t) =t. A imagem de F é uma hélice circular reta. A projegao de F(t) sobre o plano xy descreve a circunferéncia x = cost, y = sent, enquanto a projecao sobre o eixo z descreve um movimento uniforme z = t. 5 (cost, sent) A (tt0) 2 3 y, ww 2 Figura 1: Curvas F(t) = (cost, sent) e F(t) = (t,t,t?), Exemplos 1 e 2, respectiva- mente. Exemplo 4. Seja F: R, — R? dada por F(t) = (e-tcost,etsent). As fungées componentes de F sdo x(t) = e‘cost e y(t) =e ‘sent. Note que temos F(t) = e'(cost, sent), e portanto: || F(t) || = V/(e-tcos t)? + (e~tsent)? =e. A medida que t varia em (0, +oo|, F(t) gira em torno da origem, com sua distancia da origem tendendo a zero a medida que t + +o0. Temos portanto uma espiral. ° ) y oa ee a (cost, sen t, t) os (e ‘cost, e‘sent) Figura 2: Curvas F(t) = (cost, sent,t) e F(t) = (e'cost, e~'sent), Exemplos 3 e 4, respectivamente. Ezxemplo 5. Uma funcdo F: R — R” € dita afim se existem p,v € R” tats que F(t) =p+tv. Neste caso, a imagem de F é a reta que passa pelo ponto p € R" e tem direcgao v € R”. A partir das operacoes vetoriais, podemos definir operacdes com funcoes vetoriais: 6 Defini¸c˜ao 9 (Opera¸c˜oes com fun¸c˜oes vetoriais). Sejam F, G: A → Rn fun¸c˜oes de uma vari´avel real a valores em Rn e h: A → R uma fun¸c˜ao de uma vari´avel real `a valores reais. Definimos as seguintes fun¸c˜oes: Soma A fun¸c˜ao F + G: A → Rn ´e dada por: (F + G)(t) = F(t) + G(t) Produto por escalar A fun¸c˜ao hF : A → Rn ´e dada por: (hF)(t) = h(t)F(t) Produto escalar A fun¸c˜ao F · G: A → R ´e dada por: (F · G)(t) = F(t) · G(t) Exerc´ıcios 1. Esboce as imagens das seguintes fun¸c˜oes: a) F(t) = (3 + t, 1 − 2t). b) F(t) = (1 + t, t2 − 2). c) F(t) = (2sen t, cos t). d) F(t) = (sec t, tg t). e) F(t) = (et, e2t). f) F(t) = (a cos t, b sen t), a, b > 0 ∈ R. g) F(t) = (1 + t, −t, 2 + t). h) F(t) = (cos t, cos t, √ 2sen t). i) F(t) = (t, −t, et). j) F(t) = (1 + sec t, 2, tg t) k) F(t) = (cos t, sen t, e−t), t ≥ 0. l) F(t) = (cos t, sen t, cos 2t). 2. Sejam F(t) = (cos t, sen t, t) e G(t) = (1, t, t2). Calcule a) 2F(t) − G(t). b) F(t) · G(t). c) et F(t). d) ∥F(t)∥. 3. Dadas as fun¸c˜oes F(t) = (a cos t, b sen t) e G(t) = (−b sen t, a cos t), mostre que (F · G)(t) = 0 para todo t ∈ R. Interprete geometricamente. 4. Mostre que as fun¸c˜oes F : [0, π] → R2, F(t) = (cos t, sen t), G: [−π, π] → R2, G(t) = (sen t, cos t) e H : [−1, 1] → R2, H(t) = (t, √ 1 − t2) tˆem a mesma imagem. Dizemos que F, G e H s˜ao parametriza¸c˜oes distintas do mesmo conjunto. 5. Sejam F : B → Rn e h: A → R, onde A, B ⊂ R e Im h ⊂ B. A fun¸c˜ao composta F ◦ h ´e definida por: (F ◦ h)(t) = F(h(t)), ∀t ∈ A Em cada caso, calcule F ◦ h: 7 a) F(t) = (t,1-t,1) e h(t) =e. c) F(t) = (cost,sent) e h(t) = arcsent. b) F(t) = (t,t, t?) e h(t) = cost. d) F(t) = (t,t,e’) e h(t) = Int. 6. Dadas as funcgdes F,G: A > R?, 0 produto vetorial entre F(t) e G(t) é a funcao F x G: A— R? definida por: i j ki (Fx G)(t) = F(t) x Gt) =|Fi(t) Fo(t) Fa(t)|, Vte A. Gi(t) G2(t) Gs(t) Em cada caso, calcule F’ x G: a) F(t) = (1,t, -t) e G(t) = (2t, -t, 2). b) F(t) = (t+ 1,2 -#,t) e G(t) = (1,0, 1). c) F(t) = (cost, sent,1) e G(t) = (cost, sent, —1). d) F(t) =e (cost, sent,0) e G(t) = (sent, cost, 0). 7. A distancia entre a curva y: 1 C R > R” ec o ponto P € R é definida como a menor distancia entre um ponto Q € Imvy da trajetéria de y e o ponto P. Ou seja: d,p = min |/y(t) ~ P| Em cada caso, determine o ponto y(to) da trajetéria de y mais proéximo de P e calcule a distancia entre y e P. a) y(t) = (cost, sent) e P(2,1). c) y(t) = (1 +t, 2t, 2 —t) e P(—1,0,1). b) y(t) = (t,t?) e P(1, -1). d) y(t) = (cost, sent, cost) e P(0,0,1). (Dica: Minimizar \|y(t) — P\|’ é equivalente & minimizar ||y(t) — P|) 8. Considere a reta r: y(t) = R+tv, R,v € R", eo ponto P € R". a) Mostre que ||y(t) — P||? = At? + Bt+C, onde A = jd’, B = RP ve 2 c= [RP . b) Mostre que o ponto Q € r da reta mais préximo de P é dado por Q = 7(to), RP.o onde to = VT: I!" c) Mostre que OP é perpendicular a reta r. Interprete geometricamente. 8 3 Fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis reais `a valores reais Uma fun¸c˜ao de v´arias vari´aveis reais `a valores reais ´e uma fun¸c˜ao f : A → R, cujo dom´ınio A ⊂ Rn ´e um subconjunto do Rn. A fun¸c˜ao f associa a cada n-upla ordenada x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ A um ´unico n´umero f(x) ∈ R. Cada coordenada xi ∈ R representa uma vari´avel da fun¸c˜ao. Consideraremos primeiro os casos de fun¸c˜oes de duas e trˆes vari´aveis, isto ´e, quando o dom´ınio A ´e um subconjunto do R2 e R3, respectivamente. Nestes casos, podemos visualizar geometricamente as fun¸c˜oes, o que nos ajuda a entendˆe-las. Veremos, no entanto, que os mesmos conceitos podem ser aplicados para o caso geral A ⊂ Rn, n > 3, embora a intui¸c˜ao geom´etrica seja at´e certo ponto perdida. 3.1 Fun¸c˜oes de duas vari´aveis reais `a valores reais Uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis reais `a valores reais ´e uma fun¸c˜ao f : A ⊂ R2 → R que associa a cada par ordenado (x, y) ∈ A um ´unico z = f(x, y) ∈ R. ´E comum representarmos uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis como: (x, y) → z, z = f(x, y), onde x e y s˜ao vari´aveis independentes e z ´e vari´avel dependente, pois depende dos valores de x e y. Exemplo 6. Seja f(x, y) = x2 + xy + y2. Calcule. a) f(−1, 2). f(−1, 2) = (−1)2 + (−1) · 2 + 22 = 1 − 2 + 4 = 3. b) f(t, −t), t ∈ R. f(t, −t) = (t)2 + t · (−t) + (−t)2 = t2 − t2 + t2 = t2. 9 Por simplificagao, 6 comum nao especificar o dominio da fungao f(x,y), ficando entao implicito que se trata do maior dominio onde a regra que define a funcao faz . ~ L + aa, sentido. Por exemplo, dada a fungao f(x,y) = ory seu dominio é Dr = {(x,y) € ay R?: 24 yt. . VU TX ; ~ Exemplo 7. Seja f(x,y) = ———. O dominio desta fungao € Dz = {(x,y) € vI-y R?: y>—a2, y <1}. Exemplo 8. Considere a fungao z = f(x,y) definida implicitamente pela relagao: et+yt2 = R, z>0. Explicitando a varidvel dependente em relacao as independentes, temos z = ,/R? — x? — y?. Logo, 0 domtnio desta fungao € 0 cfreulo Dy = {(x,y) € R*: a? +y° < R?}. O grafico da funcao de duas varidveis f: A C R? > R 6 0 subconjunto do R? dado por: Gp = {(z,y, 2): 2 = f(x,y), (x,y) € A} Deste modo, o grafico da fungao é o lugar geométrico descrito por (2, y, f(x, y)) quando (x,y) percorre o dominio de f. Entretanto, a representacao geométrica do grafico de uma funcao de duas varidveis pode ser bem dificil, envolvendo visao espacial e desenho tridimensional. Uma outra forma, mais simples, de interpretar geometricamente fungoes de duas varidveis 6 através de suas curvas de nivel. Dada a funcéo f: AC R? > RekeR,a curva de nivel de f correspondente ao nivel z = k 6 0 subconjunto do R? dado por: Cy(k) = {(@, y) EA: f(x,y) = k}, ou seja, 6 o conjunto de pontos nos quais a funcao vale k € R. Note que f é, por definicao, constante em cada curva de nivel. Exemplo 9. Seja f(x,y) =1—x-y. O grafico desta fungao é 0 planoa: z=1—x-y, que passa pelos pontos A(1,0,0), B(0,1,0) e C(0,0,1), e é perpendicular ao vetor 7 = (1, 1,1). As curvas de nivel de f sao retas paralelas, de equacoes rp: x+y =1—k, KER. Por exemplo, a curva de nivel correspondente ao nivelk = 0 €aretarg: x+y =1, que passa pelos pontos P(1,0) e Q(0,1). Exemplo 10. Seja f(x,y) = «7+ y?. A curva de ntvel desta funcao, correspondente ao ntvelk > 0 ER, € uma circunferéncia centrada na origem e de raio Vk: Cr(k) = {(z,y) € R?: a? +y? =k}. 10 Figura 3: Curva de n´ıvel e gr´afico da fun¸c˜ao f(x, y) = 1 − x − y, Exemplo 9. Para k = 0, a curva de n´ıvel se resume `a origem (0, 0), e para k < 0 n˜ao temos curvas de n´ıvel (os conjuntos Cf(k) s˜ao vazios). Para determinar o gr´afico da fun¸c˜ao, note que a interse¸c˜ao dele com o plano y = 0 ´e a par´abola z = x2 contida no plano xz. Como as curvas de n´ıvel s˜ao circunferˆencias centradas na origem, o gr´afico de f ´e obtido a partir da rota¸c˜ao desta par´abola em torno do eixo z. Figura 4: Curva de n´ıvel e gr´afico da fun¸c˜ao f(x, y) = x2 + y2, Exemplo 10. Exemplo 11. Seja f(x, y) = xy. A curva de n´ıvel desta fun¸c˜ao, correspondente ao n´ıvel k ̸= 0 ∈ R, ´e a hip´erbole xy = k. Para k = 0, a curva de n´ıvel se resume aos eixos coordenados (x = 0 e y = 0). Para visualizar o gr´afico da fun¸c˜ao, vamos considerar os valores de f sobre as retas γ1(t) = (t, t) e γ2(t) = (t, −t). Temos f(γ1(t)) = t2 e f(γ2(t)) = −t2, logo a fun¸c˜ao forma par´abolas de concavidades opostas sobre estas retas. O gr´afico ´e portanto um paraboloide hiperb´olico (sela). 11 . k=2 1B2 k=l 0.5 oe . k=0 - “peal Figura 5: Curva de nivel e grafico da fungao f(x,y) = ry, Exemplo 11. Exemplo 12. Seja f: A+R, f(x,y) =2r+y, onde A= {(z,y) € R?: 2? +y? < 1}. Vamos tentar determinar geometricamente os valores de maximo e minimo de f em A. Primeiramente, note que as curvas de nivel de f sao retas paralelas, da forma 2x +y =k, onde k € R € o nivel correspondente. Sendo kmax € kmin os valores de mdximo e minimo de f em A, note que as retas 2x + y = kmax € 20 + Y = kmin devem tangenciar o circulo x? + y? <1. Deste modo, obtemos os valores de méximo kmax = V5, associado ao ponto (tm,ym) = 2 1 2 1 —, — }, e de minimo kin = —V5, associado ao ponto (%msYm) = (-.-). (7 v5 . | V5 V5 = ¢ max e decresce z a c cresce 1 c=1 c=0 y=~2x c min Figura 6: Curva de nivel e grafico da funcao f(x,y) = 2x+ y definida em A = {(z, y) € R?: 2? +y? < 1}, Exemplo 12. 12 3.2 Funcoes de trés variaveis reais a valores reais Uma funcao de trés varidveis reais & valores reais é uma funcao f: A C R® — R que associa a cada tripla ordenada (x,y,z) € A um tinico w = f(z,y,z) € R. O grafico de tal fungao é dado por: G; ={(a,y,2z,w) € RB’: w= f(z,y,2), (x,y,z) € A}. Sendo estes graficos subconjuntos do R*, nao é possivel representa-los geometrica- mente. Portanto, para termos uma visao geométrica de tais fungdes devemos recorrer as superficies de nivel, extensao do conceito de curva de nivel para o caso de trés varidveis: S(k) = {(2, y, 2) EA: f(x,y, 2) = k}. A superficie de nivel associada ao nivel k € R representa, portanto, o lugar geométrico dos pontos do R® nos quais a funcdo vale k. Novamente, f é por definicao constante em cada superficie de nivel. Exemplo 13. Seja f(x,y, z) =x+y+z. As superficies de nivel de f sao planos para- lelos, de equacoes an: x+y+z=k. Por exemplo, a superficie de nivel correspondente ak=0 €0 planoag:x+y+z=0, que passa pela origem e € perpendicular ao vetor nm = (1,1,1). O grafico desta fungao é 0 hiperplano w = x +y+2z. No entanto, como ele esté contido no R*, nao conseguimos visualizd-lo diretamente. Exemplo 14. Seja f(x,y,z) = 2? + y? + 27. A superficie de nivel correspondente a k>0€R é uma esfera centrada na origem e de raio Vk: Cr(k) = {(z,y,2) €R®: a? +y? 4+ 2? =k}. Para k = 0, a superficie de ntvel se resume a origem (0,0,0), e para k < 0 nao temos superficies de nivel (os conjuntos S;(k) sao vazios). Note também que, para y = z = 0, a fungdo descreve a parabola w = f(x,0,0) = x? no plano xw. Podemos interpretar o grafico desta funcao como uma extensdo do paraboloide de revolugdo z = x2 + y? para quatro dimensées. Exercicios 1. Determine e esboce os dominios das seguintes funcoes: v 2 a) f(x,y) = ——. d) f(x,y) = In(y — 2°). ) fle = aes ) Flay) = Inly = 2%) b) f(z,y) = Vy — 2a +1. e) f(zy,z)= Vl-ay— 2. y 2-2 c L,Y) = 4/7. f x,y,z) = ——. ) fan = 4 ) Fley,2) == 2. Esboce as curvas de nivel das seguintes funcoes: 13 a) f(t,y) = 2x —y. f) f(v,y) =a? +y? — 4x + 2y. 2 2 b) f(x,y) =e". g) f(z,y) =a? +a2y4+y?. c) f(x,y) = 2? — 2y. h) f(y) - 2 L,y)=—. d) f(x,y) = 4a? +y?. 2 e) f(x,y) =2* —y? +2. i) f(a,y) = sen(a + y). 3. Esboce os graficos das seguintes funcoes: a) f(t,y) =2e-y+1. ce) fz yaa? ty’. b) f(w,y) = Va? +y?. f) flay) =e) ce) f(zy=Vl-2-y. 8) f(t,y) =a? +ay+y’. d) f(x,y) =a? + 2y?—2%—4dy+2. — h) f(x,y) = sen(x + y). 4. Esboce as as superficies de nivel de f para os niveis k € R especificados. a) f(x,y, z) =2x-—yt+24+1, k=0,k=1lek=2. 1 b) f(a,y,2z) = 1-2? — y? — 2?, k=0,k=5ek=1 c) f(a,y,z)=27?4+2y?-2, k=-l,k=Ock=1. d) f(az,y,z)=2?+y?-2, k=0,k=-lek=1. 5. Seja f: AR, f(x,y, z) = x#+2y+z, onde A = {(x,y,z) € R®: a? +y?4+2? < 1}. Determine geometricamente os pontos de maximo e minimo de f em A. (Dica: Veja o Exemplo 12) 6. Sejam y: CR—- R" e f: AC R" — R, onde Imy C A. A fungao composta yp =f oy é definida por: p(t) = f(y(t)), vt el Em cada caso, calcule e interprete y = f 07. a) f(z,y=a?+ayt+y’, y(t)=(1+t,2). b) f(z,y)=xy, — 7(t) = (cost, sent). c) f@yy=rtytl, yH)=(,t). d) f(z,y) =2?+y?—-2x7-6y, y(t) = (14 cost,34 sent). 7. Determine os pontos de minimo e maximo da funcao f(x,y) = 2? + ry + y? sobre a circunferéncia A = {(z,y) € R?: 2? +y? = 1}. (Dica: Considere a fungao composta y(t) = f(y(t)), onde y(t) = (cost, sent) ) 8. Determine, caso existam, os pontos de minimo e maximo de f sobre a curva y. 14 a) f(ay)=a?+y", y(t) =(1+t,2—-t). b) f(a,y) =2x-—y4+1, — y(t) = (2cost, sent). c) f@y)=r-y, y(t) =(1—t,2t), te [0,1]. d) f(z,y)=2xe’, y(t) = (t,t), t€ [-2,2]. e) f(z,y,z)=2?+y?—27, (tt) = (cost, cost, sent). 9. Considere a funcao f(x,y) = 2? + ry + 9. x a) Mostre que o ponto de minimo de f sobre a reta x = 2 6 P (xo, -=). b) Mostre que o ponto de minimo de f sobre a reta y = yo 6 Q (—%. yo) c) Conclua que caso f admita ponto de minimo local, este deve ser a origem. d) Utilize a mudanga de varidvel . _ , 1 , para mostrar que a origem é de fato ponto de minimo de f(z, y). 10. Considere a fungao f(x,y) = 2? + 4ry + y?. a) Mostre que o ponto de minimo de f sobre a reta x = 2g 6 P (a, —229). b) Mostre que o ponto de minimo de f sobre a reta y = yo 6 Q (—2yo, Yo). c) Utilizando os valores de f(x,y) sobre a curva y(t) = (t,—t), mostre que a origem nao é ponto de minimo local de f. Conclua que f nao admite qualquer ponto de minimo local. 11. Uma fungao @: R” — R é chamada de funcional linear se, para quaisquer x, y € IR” eX ER, tem-se: U(x +y) = E(x) + ey) C(Ar) = AE(a). Mostre que se 2: R” — R é um funcional linear, e dado x = (21,...,2,) qualquer, tem-se: , C(x) = So a xj =a-zZ, i=1 onde a; = &(e;) sao os valores do funcional nos vetores da base canonica. Interprete geometricamente o vetor a = (a@1,...,@,) € R”. 15