Lista1-2023 1

− A´rea de regi˜oes no plano CA´LCULO B LISTA 1 (1) Esboce a regi˜ao limitada pelas curvas indicadas e encontre sua ´area: (a) y = x; y = √ 3 x (b) 3y − x = 8; y = | x| (c) y = x2 − 3x; y = 0; x = 5 (d) y = (x − 2)2; y = x (e) y = |x|; y = x2 − 2 (f) x = 1 − y2; x = y2 − 1 (2) Esboce a regi˜ao R e encontre sua ´area: (a) R = {(x, y) ∈ R2; x2 − 1 ≤ y ≤ 0} (b) R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ y ≤ | sen x|, 0 ≤ x ≤ 2π} (c) R = {(x, y) ∈ R2; √ x ≤ y ≤ 3, 0 ≤ x ≤ 1} (d) R = {(x, y) ∈ R2; x2 − 1 ≤ y ≤ x + 1} (e) R = {(x, y) ∈ R2; x ≥ 0, x3 − x ≤ y ≤ −x2 + 5x} (3) Represente a ´area da regi˜ao R por uma integral: (a) R ´e a regi˜ao no primeiro quadrante limitada pelo eixo x, pela reta y = √ 3x e pelo c ´ırculo x2 + y2 = 4. (b) R ´e a regi˜ao de interse¸c˜ao dos c´ırculos x2 + y2 = 4 e (x − 2)2 + (y − 2)2 = 4. (4) Encontre a ´area da regi˜ao limitada pela par´abola y = x2, pela reta tangente a esta par ´abola em (1, 1) e pelo eixo Ox. (5) Encontre o nu´mero b tal que a reta y =√b divi√d a a regi˜ao limitada pelas curvas y = x2 e y = 4 em duas regi˜oes com ´areas iguais. (Dica: b b = b3) (6) Determine m de modo que a ´area da regi˜ao acima da reta y = mx e abaixo da par´abola y = 2x x2 seja 36. (7) Encontre os valores de c tais que a ´area da regi˜ao delimitada pelas par´abolas y = x2 − c2 e y = c2 − x2 seja 576. 1 2 − { ≤ ≤ } Volumes (1) Determine o volume do s´olido S tal que: (a) A base de S ´e um c´ırculo de raio a, e as se¸c˜oes transversais p erp endiculares `a um eixo da base s˜ao quadrados. (b) A base de S ´e a regi˜ao parab´olica R = (x, y ); x2 y 1 , e as se¸c˜oes transversais p erp en- diculares ao eixo y s˜ao triˆangulos equil´ateros com um lado na base. (c) A base de S ´e a regi˜ao limitada p ela par´ab ola y = 1 x2 e p elo eixo x, e as sec¸˜oes transversais p erp endiculares ao eixo x s˜ao triˆangulos is´osceles com altura igual `a base. (d) S ´e um tetraedro com trˆes faces p erp endiculares entre si e as trˆes arestas p erp endiculares entre si com comprimentos de 3cm, 4cm e 5cm. (e) S ´e uma calota de uma esfera de raio r e altura h. (f) S ´e uma pirˆamide regular com altura h = 9 e base quadrada de lado ℓ = 4. (2) Encontre o volume comum de dois cilindros circulares, cada um com raio r, se os eixos dos cilindros se intersectam em ˆangulos retos. (3) Utilize o m´etodo das sec˜oes transversais para determinar o volume do s´olido gerado pela rota¸c˜ao da regi˜ao limitada por: 1 (a) y = ; x = 1; x = 2; y = 0, em torno do eixo x. x 2 (b) y = x 3 ; x = 1; y = 0, em torno do eixo y. (c) y = x2; y = 4, ao redor da reta y = 4. (d) y = x4; y = 1, ao redor da reta y = 2. (e) y = √ ln x; y = 0; x = e, em torno do eixo x. (f) y = cosh x; y = x2; x = −1; x = 1, em torno do eixo x. (g) y = ex + 1; x = 0; x = 1, y = 1, em torno do eixo x. (4) Utilize o m´etodo da casca cil´ındrica para determinar o volume do s´olido gerado pela rota¸c˜ao da regi˜ao limitada por: 1 (a) y = ; x = 1; x = 2; y = 0, em torno do eixo y. x (b) y = 3 + 2x − x2; x + y = 3, em torno do eixo y. (c) y = 4(x − 2)2; y = x2 − 4x + 7, em torno do eixo y. (d) y = ln(x); x = 1; x = 2; y = 0, em torno do eixo y. (e) y = ln x; y = 0; x = e, em torno do eixo y. 3 − Comprimento de gr´aficos e centr ´oide (f) y = √ x; y = 0; x = 1, em torno do eixo y. 2 (g) y = 1 + x2 ; x = 1; x = 2, em torno do eixo y. 2 (h) y = 1 + x 2 ; y = x2; x = 1; x = 2, em torno do eixo y. (5) Calcule o volume do s´olido de revoluc¸˜ao gerado pela rota¸c˜ao da regi˜ao limitada por: (a) x = y − y2; x = 0; 0 ≤ y ≤ 1 em torno do eixo y. (b) y = x; x = 2; x = 4; y = 0, ao redor da reta x = 1. (c) y = √ x − 1; y = 0; x = 5, em torno da reta y = 3. (d) x + y = 3; x = 4 − (y − 1)2, em torno do eixo x. (e) x = 2y2, y ≥ 0, x = 2, em torno da reta y = 2. (f) y = x + 1, y = 0, x = 0, x = 2, em torno do eixo x. (6) Seja S o toro gerado pela rotac¸˜ao do c´ırculo (x R)2 + y2 = r2 ao redor do eixo y. Construa as integrais que representam o volume do S, pelo m´etodo das se¸c˜oes transversais e pelo m´etodo das cascas cil´ındricas. (7) Considere a regi˜ao R limitada pelas curvas y = √ x, y = 0 e x = c > 0. (a) Encontre o valor de c para o qual o s´olido obtido pela rota¸c˜ao de R em torno do eixo x tenha volume igual a 8π. (b) Para c = 4, encontre b > √ c de modo que o s´olido obtido pela rotac¸˜ao de R em torno da reta y = b tenha volume igual a 8π. (1) Calcule o comprimento das curvas: (a) y = x2 ln x 2 − 4 ; 2 ≤ x ≤ 4 y4 1 (c) x = 1 √ 8 + 4y2 ; 1 ≤ y ≤ 2 (b) x = 3 y(y − 3); 1 ≤ y ≤ 9 π (d) y = ln(cos x); 0 ≤ x ≤ 3 (2) Mostre que o comprimento da curva y = da regi˜ao limitada pela curva. 1 ex 4 + e−x em qualquer intervalo ´e igual ao valor da ´area (3) Determine o centr´oide da regi˜ao limitada por: (a) y = 4 − x2, y = 0; −2 ≤ x ≤ 2 (b) y = √ x, y = 3, x = 0 (c) x = y2 − 2y, y = x (d) x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4; x ≥ 0, y ≥ 0 (e) y = ex, x = 0, x = 1, y = 0 (f) y = x + 2, y = x2 4 A´rea de superf ´ıcies π (g) y = sen x, y = cos x; 0 ≤ x ≤ 4 (h) y = x, y = 1 , y = 0, x = 2 x (4) Utilize o Teorema de Pappus-Guldin para determinar: (a) o volume do s´olido de revoluc¸˜ao gerado pela rota¸c˜ao do hex´agono regular inscrito no c´ırculo (x − 2)2 + y2 = 1 ao redor do eixo y. (b) o volume do s´olido de revoluc¸˜ao gerado pela rotac¸˜ao do triˆangulo com v´ertices nos pontos (2, 3), (2, 5), (5, 4) ao redor do eixo x. (c) o centr´oide da regi˜ao A = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}. (1) Determine a ´area da superf´ıcie de revolu¸c˜ao gerada pela rota¸c˜ao das curvas: ex + e−x (a) y = ; −1 ≤ x ≤ 1; em torno do eixo x. 2 y3 (b) x = ; 0 ≤ y ≤ 1; em torno do eixo y. 3 (c) y = 1 − x; 0 ≤ x ≤ 1; em torno do eixo y. (d) y = 3 √ x − 2; 2 ≤ x ≤ 6; em torno do eixo x. π (e) y = cos(2x); 0 ≤ x ≤ 6 ; em torno do eixo x. (f) y = 1 − x2; 0 ≤ x ≤ 1; em torno do eixo y. (2) Determine a integral que representa do elips´oide gerado pela rotac¸˜ao da curva em torno do eixo x. x2 y2 9 + 4 = 1; y ≥ 0, 5 3 Volumes √ 4 − y ∫ √ A´rea de regi˜oes no plano GABARITO (1) (a) √ 1, (b) 8, (c) 2 79, (d) 6 9, (e) 2 20, (f ) 3 8; (2) (a) 3 4, (b) 4, (c) 3 7. (d) 3 9, (e) 2 16; (3) (a) 3 ∫ y 0 2 − √ 3 ∫ 2 √ √ 1 2 0 12 (1) (a) 16a3 3 , (b) √ 3 , (c) 2 , (d) 10, (e) πh2(r 15 h), (f ) 48; (2) 3 16r3 3 ; (3) (a) π, (b) 2 3π, (c) 4 512π, 15 208π π 27π 3 π 76π 27π (d) 45 ; (4) (a) 2 , (b) 2 , (c) 16π, (d) 4π ln 2 − 2 π; (5) (a) 30, (b) 3 , (c) 24π, (d) , (e) dy. (b) ( 4 − x2) − (2 − 4x − x2)dx; (4) ; (5) 43 ; (6) −4; (7) 6, −6. 8 − 6 ∫ ∫ √ (1) (a) 6 + ln 2 , (b) 32 , (c) 33 , (d) ln(2 + √ 3); (3) (a) 0, 8 , (b) 27 , 9 , c 3 , 3 , (d) 28 , 28 , (e) , e + 1 , (f ) 1 , 8 , (g) √ , √ , (h) , 5 2 13π 3 , (f ) 26π 3 ; (6) vol(S) = 8πR r r2 − y2dy; vol(S) = 0 R+r R−r 4πx√ r2 − (x − R)2dx. Comprimento de gr´aficos e centr´oide 4 1 e − 1 4 3 16 2 5 π √ 2 − 4 1 4( 2 − 1) 4( 2 − 1) 5 10 4 5 2 8 3(1 + 2 ln 2) 6(1 + 2 ln 2) 9π 9π √ (b) 24π, (c) 8 , 8 . A´rea de superf ´ıcie (1) (a) π (e2 + 4 − e−2), (b) π (2 √ 2 − 1), (c) π √ 2, (d) 49π, (e) π √ 3 + π ln(2 + √ 3) , (f ) π(5 √ 5 − 1) ; (2) (a) 2 9 8 π 3 81 − 5x2dx, 2 4 6 9 0 ; (4) (a) 6 3π, 3π 3π