Prova 1 Modelo a - Unidade 1 - 2023-2

Universidade Federal da Bahia Disciplina: C´alculo B C´odigo: MATA03 Professor(a): Victor Moreira Cunha Semestre: 2022.2 Discente: Turma: Matr´ıcula: C´alculo B - Unidade I Leia as Instruc¸˜oes: • A avalia¸c˜ao ´e individual e sem consulta. • Preencha o cabe¸calho da folha de prova com seus dados. • Todas as folhas anexadas devem conter o nome do aluno. • O preenchimento das respostas deve ser feito utilizando caneta (preta ou azul). 1. (2,0 pontos) Seja ℓ: R2 → R um funcional linear, ⃗u = (2, 1) e ⃗v = (−1, 1). Sabendo que ℓ(⃗u) = 4 e ℓ(⃗v) = 1, (a) Calcule ℓ(⃗w), onde ⃗w = (4, −1). (b) Determine ⃗a ∈ R2 tal que ℓ(⃗x) = ⃗a · ⃗x, para todo ⃗x ∈ R2. (c) Esboce a curva de n´ıvel de ℓ que passa pelo ponto (4, −1). 2. (2,0 pontos) Determine, caso existam, os pontos de m´ınimo e m´aximo da fun¸c˜ao f(x, y) = x2 − xy + 2y2 no conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x − 2y + 1 = 0}. 3. (2,0 pontos) Considere a curva γ(t) = (2t, t2 −1) e o ponto P(0, −2). Determine uma reta tangente `a γ(t) que passe por P. 4. (2,0 pontos) A acelera¸c˜ao de uma part´ıcula ´e dada por ⃗a(t) = (4 − 6t, 2). Sabendo que sua posi¸c˜ao e velocidade iniciais s˜ao ⃗s0 = (2, 1) e ⃗v0 = (0, 1), (a) Calcule ⃗s(t) e ⃗v(t). (b) Determine, na forma de uma integral, o comprimento da trajet´oria da part´ıcula entre t0 = 0 e tf = 1. 5. (2,0 pontos) Seja g: R → R uma fun¸c˜ao deriv´avel de uma vari´avel real a valores reais, tal que g(2) = 1 e g′(2) = 2. Sendo f : R2 → R dada por f(x, y) = x · g(x2 + y2), calcule ∂f ∂x(1, 1) e ∂f ∂y (1, 1). 6. (Quest˜ao Extra - 1,0 ponto) Seja γ : [a, b] → Rn uma curva diferenci´avel fechada (γ(a) = γ(b)). Mostre que existe t0 ∈ [a, b] tal que γ(t0) · γ′(t0) = 0. (Dica: Considere a fun¸c˜ao φ: [a, b] → R dada por φ(t) = ∥γ(t)∥2) 1