Lista 1 - Exercícios - Calculo 2

1. Vetores e funções vetoriais: (a) O espaço vetorial \(\mathbb{R}^n\). (b) Funções de uma variável real à valores vetoriais. (c) Funções de várias variáveis reais à valores reais. 2. Cálculo diferencial e integral de funções de uma variável real à valores vetoriais: (a) Limite e continuidade. (b) Derivadas e integrais. (c) Comprimento de Arco. 3. Cálculo diferencial de funções de várias variáveis: (a) Limite e continuidade. (b) Derivadas parciais. 1. \(2,0\ \text{pontos}\) Seja \(\ell: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) um funcional linear, \(\vec{u} = (2,1)\) e \(\vec{v} = (-1,1)\). Sabendo que \(\ell(\vec{u}) = 4\) e \(\ell(\vec{v}) = 1\), (a) Calcule \(\ell(\vec{w})\), onde \(\vec{w} = (4,-1)\). (b) Determine \(\vec{a} \in \mathbb{R}^2\) tal que \(\ell(\vec{x}) = \vec{a} \cdot \vec{x}\), para todo \(\vec{x} \in \mathbb{R}^2\). (c) Esboce a curva de nível de \(\ell\) que passa pelo ponto \((4,-1)\). 2. \(2,0\ \text{pontos}\) Determine, caso existam, os pontos de mínimo e máximo da função \(f(x,y) = x^2 - xy + 2y^2\) no conjunto \(A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x - 2y + 1 = 0\}\). 3. \(2,0\ \text{pontos}\) Considere a curva \(\gamma(t) = (2t, t^2 - 1)\) e o ponto \(P(0,-2)\). Determine uma reta tangente à \(\gamma(t)\) que passe por \(P\). 4. \(2,0\ \text{pontos}\) A aceleração de uma partícula é dada por \(\vec{a}(t) = (4 - 6t, 2)\). Sabendo que sua posição e velocidade iniciais são \(\vec{s}_0 = (2,1)\) e \(\vec{v}_0 = (0,1)\), (a) Calcule \(\vec{s}(t)\) e \(\vec{v}(t)\). (b) Determine, na forma de uma integral, o comprimento da trajetória da partícula entre \(t_0 = 0\) e \(t_f = 1\). 5. \(2,0\ \text{pontos}\) Seja \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) uma função derivável de uma variável real a valores reais, tal que \(g(2) = 1\) e \(g'(2) = 2\). Sendo \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) dada por \(f(x,y) = x \cdot g(x^2 + y^2)\), calcule \(\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)\) e \(\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)\). 6. (\text{Questão Extra - 1,0 ponto}) Seja \(\gamma: [a,b] \to \mathbb{R}^n\) uma curva diferenciável fechada (\(\gamma(a) = \gamma(b)\)). Mostre que existe \(t_0 \in [a,b]\) tal que \(\gamma(t_0) \cdot \gamma'(t_0) = 0\). (\text{Dica: Considere a função } \varphi: [a,b] \to \mathbb{R} \text{ dada por } \varphi(t) = \|\gamma(t)\|^2\) 1. \(2,0\ \text{pontos}\) Seja \(\ell: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) um funcional linear, \(\vec{u} = (2,2)\) e \(\vec{v} = (1,-2)\). Sabendo que \(\ell(\vec{u}) = 2\) e \(\ell(\vec{v}) = 4\), (a) Calcule \(\ell(\vec{w})\), onde \(\vec{w} = (2,-1)\). (b) Determine \(\vec{a} \in \mathbb{R}^2\) tal que \(\ell(\vec{x}) = \vec{a} \cdot \vec{x}\), para todo \(\vec{x} \in \mathbb{R}^2\). (c) Esboce a curva de nível de \(\ell\) que passa pelo ponto \((2,-1)\). 2. \(2,0\ \text{pontos}\) Determine, caso existam, os pontos de mínimo e máximo da função \(f(x,y) = 2x - y\) no conjunto \(A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 = 1\}\). 3. \(2,0\ \text{pontos}\) Considere a curva \(\gamma(t) = (2t + t^2, t^2 - 1)\) e a reta \(r: y = \frac{-x}{2}\). Determine a reta tangente à \(\gamma\) e perpendicular à \(r\). 4. \(2,0\ \text{pontos}\) A aceleração de uma partícula é dada por \(\vec{a}(t) = (4\cos 2t, 4\sen 2t, 0)\). Sabendo que sua posição e velocidade iniciais são \(\vec{s}_0 = (2,1,1)\) e \(\vec{v}_0 = (0,-2,-1)\), (a) Calcule \(\vec{s}(t)\) e \(\vec{v}(t)\). (b) Determine o comprimento da trajetória da partícula entre \(t_0 = 0\) e \(t_f = \pi\). 5. \(2,0\ \text{pontos}\) Seja \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) uma função derivável de uma variável real a valores reais, tal que \(g(2) = -1\) e \(g'(2) = 1\). Sendo \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) dada por \(f(x,y) = y \cdot g(x^2 - xy)\), calcule \(\frac{\partial f}{\partial x}(-1,1)\) e \(\frac{\partial f}{\partial y}(-1,1)\). 6. (\text{Questão Extra - 1,0 ponto}) Seja \(\gamma: [a,b] \to \mathbb{R}^n\) uma curva diferenciável fechada (\(\gamma(a) = \gamma(b)\)). Mostre que existe \(t_0 \in [a,b]\) tal que \(\gamma(t_0) \cdot \gamma'(t_0) = 0\). (\text{Dica: Considere a função } \varphi: [a,b] \to \mathbb{R} \text{ dada por } \varphi(t) = \|\gamma(t)\|^2\)