Aula 14 Exercício Resolvvido-2023 1

H(0,0)=[f_{xx}(0,0)f_{xy}(0,0)f_{yx}(0,0)f_{yy}(0,0)]=[0110] =-1<0(0,0) é ponto de sela.g_{xx}=-2\cos(y)g_{xy}=g_{yx}=2\sen(y)eg_{yy}=(x^2-1)\cos(y)g_{xx}(0,0)=-2<0H(0,0)=[g_{xx}(0,0)g_{xy}(0,0)g_{yx}(0,0)g_{yy}(0,0)]=[-200-1]=2>0(0,0) é ponto de máximo local.04 Suponha que uma certa região do espaço, o potencial elétricoVseja dado porV(x,y,z)=5x^2-3xy+x^yz^2.a) Determine a taxa de variação do potencial emP(3,4,5) nadireção do vetor\vec{u}=i+j-k.\vec{u}=(1,1,-1)\|\vec{u}\|=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{3},\ \vec{u}_{0}=\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})\nablaV(x,y,z)=(10x-3y+y^2,\ -3x+x^2,\ \ \ \ \ \ y)\Rightarrow\nablaV(3,4,5)=(38,6,12)\Rightarrow\frac{\partialV}{\partial\vec{u}}(3,4,5)=\nablaV(3,4,5)\cdot\vec{u}_{0}=...=\frac{32}{\sqrt{3}}b) Em que direção\ V\ varia\ mais\ rapidamente\ em\ P?Varia\ mais\ rapidamente\ na\ direção\ do\ vetor\ gradientenablaV(3,4,5)=(38,6,12)c) Qual a taxa máxima de variação emP?\|\nablaV(3,4,5)\|=\sqrt{38^2+6^2+12^2}=...05Um galpão retangular deve ser construído em um terreno com a forma de um triângulo conforme a figura. Determinar a área máxima possível para o galpão. Área do galpão:A(x,y)=f(x,y)=xyy=ax+b\begin{cases}(x,y)=(0,10)\Rightarrow10=a\cdot0+b\Rightarrowb=10(x,y)=(20,0)\Rightarrow0=a\cdot20+10\Rightarrow-20a=10\Rightarrowa=\frac{-10}{20}\Rightarrowa=-\frac{1}{2}\end{cases}Logo,y=-\frac{1}{2}x+10\Leftrightarrow2y=-x+20\Rightarrowx+2y=20.Modelagem:\begin{cases}\max:\ f(x,y)=xy\restrição:\ x+2y=20\end{cases}Sistema (multiplicadores de Lagrange)\begin{cases}\nabla\, f=\lambda\,\nabla\,g\ g(x,y)=x+2y\end{cases}\begin{cases}\y=2\lambda\x=\lambda\g(x,y)=20\end{cases}\begin{cases}\lambda=\frac{y}{2}=\frac{x}{2}\end{cases}\Rightarrow x=2y\Rightarrowx=10{\begin{cases}x=2y\end{cases}}Substituindo\ em\ \boxtimes:2y+2y=20\Leftrightarrow4y=20\Leftrightarrow\,y=5\begin{cases}\As\ dimensões \ do \ galpão.\end{cases}Logo,\ a\ área\ máxima\ do\ galpão\ éA(10,5)=10\cdot5=50\ m^{2}.