Exercícios Funções de uma Variável Real e Valores Vetoriais Curvas-2022 2

Funções de uma variável real a valores vetoriais. Curvas 1 Limite e continuidade Nesta seção vamos estender os conceitos de limite e continuidade para funções F : \mathbb{R} \to técnicos vectores \mathbb{R}^n de variáveis reais a valores vetoriais. Definição 1 (Limite). Seja F : I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n e t_0 um ponto de acumulação de I. Dizemos que F(t) tende a L \in \mathbb{R} quando t tende à t_0, e escrevemos \lim_{t \to t_0} F(t) = L, se para todo \varepsilon > 0 dado, existir \delta > 0 tal que: 0 < |t - t_0| < \delta, t \in I \quad \Rightarrow \quad \| F(t) - L \| < \varepsilon. Note que esta definição é análoga à de limite de funções f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} vista em cálculo A. No entanto, estando se tratando de vetores, o módulo | \cdot | é substituído pela norma \| \cdot \| do espaço \mathbb{R}^n. Uma vizinhança do vetor L \in \mathbb{R}^n é portanto uma bola aberta de centro L e raio \varepsilon > 0: B_{\varepsilon}(L) = \{ y \in \mathbb{R}^n : \| y - L \| < \varepsilon \}. No caso real (n = 1), esta bola aberta se resume ao intervalo aberto (L - \varepsilon, L + \varepsilon), e recuperamos a definição anterior de limite. Deste modo, dizemos que \lim_{t \to t_0} F(t) = L se para todo \varepsilon > 0, não importa o quão pequeno, existir \delta > 0 tal que F(t) permanece na vizinhança B_{\varepsilon}(L) de L quando t percorre o intervalo (t_0 - \delta, t_0 + \delta), t \neq t_0, t \in I. O próximo teorema formaliza a ideia de que F(t) tender à L \in \mathbb{R}^n quando t \to t_0 é equivalente à distância \| F(t) - L \| tender a zero. Teorema 1. Seja F : I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n e L \in \mathbb{R}^n. Tem-se: \lim_{t \to t_0} F(t) = L \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{t \to t_0} \| F(t) - L \| = 0. A partir deste resultado, lembrando que para todo x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n, | x_i | \leq \sum_{i=1}^{n} | x_i |, temos o seguinte corolário, que nos diz que F(t) tende à L se e somente se cada componente de F tender à respectiva componente de L. Corolário 1. Seja F(t) = (F_1(t), \ldots, F_n(t)) uma função de uma variável real a valores vetoriais e L = (L_1, \ldots, L_n) \in \mathbb{R}^n. Então: \lim_{t \to t_0} F(t) = L \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{t \to t_0} F_i(t) = L_i, \quad i = 1 \ldots n. Finalmente, a definição de continuidade de funções F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n é análoga ao caso de funções de \mathbb{R} em \mathbb{R}. Definição 2 (Continuidade). Seja F : I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n e t_0 \in I. Dizemos que F é contínua em t_0 se \lim_{t \to t_0} F(t) = F(t_0). Note que, do Corolário 1, F(t) é contínua em t_0 se e somente se cada uma de suas componentes o for. Exercícios 1. Calcule. a) \lim_{t \to 0} \left( e^t - \frac{1}{t} , \cos^2 t \right) . b) \lim_{t \to 0} \left( \frac{\sin t}{t}, t^2 - 1, e^t \right) . c) \lim_{t \to 1} \left( \frac{t - 1}{t^2 + 1} , \sqrt{t - 1} , \ln t \right) . d) \lim_{t \to 2} \left( \frac{t^2 - 4}{t - 2} , 2t - 1, \frac{t^3 - 8}{t - 2} \right) . 2. Em cada caso, calcule \lim_{h \to 0} \frac{F(t_0 + h) - F(t_0)}{h} . a) F(t) = (1 + t, t^2 - t), \quad t_0 = 1. b) F(t) = (\cos t, \sin t), \quad t_0 = 0. c) F(t) = (t, 2t, e^t), \quad t_0 = 0. d) F(t) = (1 - t, \sqrt{t, t^3 + 1}), \quad t_0 = 2. 3. Sejam F, G : I \to \mathbb{R}^n e h : I \to \mathbb{R}, I \subset \mathbb{R}, com \lim_{t \to t_0} F(t) = a, \lim_{t \to t_0} G(t) = b e \lim_{t \to t_0} h(t) = k. Mostre que: a) \lim_{t \to t_0} [F(t) + G(t)] = a + b. b) \lim_{t \to t_0} h(t) F(t) = k a. c) \lim_{t \to t_0} F(t) \cdot G(t) = a \cdot b. d) \lim_{t \to t_0} F(t) \times G(t) = a \times b, \quad (n = 3). 4. Sejam F, G : I \to \mathbb{R}^n e h : I \to \mathbb{R}, I \subset \mathbb{R}, funções contínuas em t_0 \in I. Prove que as funções F + G, hF, F \cdot G e, para n = 3, F \times G, também são contínuas em t_0. 5. Sendo F : I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n e L \in \mathbb{R}^n, dizemos que \lim_{t \to \infty} F(t) = L se, para todo \varepsilon > 0, existe M \in \mathbb{R} tal que: t > M, \quad t \in I \quad \Rightarrow \quad \| F(t) - L \| < \varepsilon. Mostre que: a) \lim_{t \to \infty} F(t) = L \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{t \to \infty} \| F(t) - L \| = 0. b) \lim_{t \to \infty} F(t) = L \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{t \to \infty} F_i(t) = L_i, \quad i = 1 \ldots n. 6. Calcule. a) \lim_{t \to \infty} \left( 1 + \frac{t^2}{1 - t^2, e^{-t}} \right) . b) \lim_{t \to \infty} \left( \sqrt{t^2 + 1 - t, te^{-t}} \right) . c) \lim_{t \to \infty} \left( \frac{t^2 - 2t}{t^3 + 2} \cdot \frac{\sin t}{t} \right) . d) \lim_{t \to \infty} \left( \frac{(t + 1)(t - 2)}{2t^2} , e^t \cos t \right) . 7. Sejam F, G : I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n. Suponha que \lim_{t \to t_0} F(t) = \vec{0} e existe M > 0 \in \mathbb{R} tal que \| G(t) \| \leq M para todo t \in I. Mostre que \lim_{t \to t_0} F(t) \cdot G(t) = 0. 8. Seja F : [a, b] \to \mathbb{R}^n uma função contínua definida em um intervalo fechado. Prove que existe M > 0 \in \mathbb{R} tal que \| F(t) \| \leq M, para todo t \in [a, b]. (Dica: Aplique o Teorema de Weierstrass para cada componente de F(t)) 2 Derivada Nesta seção, definiremos e estudaremos as derivadas de funções F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n de uma variável real à valores vetoriais. Definição 3 (Derivada). Seja F : I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n e t_0 \in I. O limite \frac{dF}{dt}(t_0) = \lim_{t \to t_0} \frac{F(t) - F(t_0)}{t - t_0}, caso exista, é chamado de derivada de F em t_0. Se F(t) admite derivada em t_0 \in I, dizemos que F é derivável em t_0. Dizemos, simplesmente, que uma função é diferenciável se ela for diferenciável em todos os pontos de seu domínio. A partir das propriedades de limites de funções vetoriais, temos o seguinte teorema, que associa a derivada de F(t) com as derivadas de cada uma de suas funções componentes. Teorema 2. Sejam F : I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n, F(t) = (F_1(t), \ldots, F_n(t)), t_0 \in I. Então F é diferenciável em t0 se e somente se cada uma de suas funções componentes F_i : I \to \mathbb{R} o for. Neste caso, tem-se: F'(t_0) = (F'_1(t_0), F'_2(t_0), \ldots, F'_n(t_0)) Note que, assim como no caso de funções reais, podemos, a partir de uma função diferenciável F : I \to \mathbb{R}^n, definir sua função derivada F' : I \to \mathbb{R}^n como F'(t) = \frac{dF}{dt}(t) = \lim_{h \to 0} \frac{F(t + h) - F(t)}{h} . A partir da função derivada, podemos também calcular derivadas de ordem superior. Por exemplo, se F' for diferenciável em t_0 ∈ I, então a segunda derivada de F em t_0 é definida por: F''(t_0) = (F')'(t_0) = lim_{t→t_0} F'(t) - F'(t_0) / t - t_0. Vamos agora interpretar geometricamente a derivada F'(t_0). Note que, para cada t ∈ I, a reta s: F(t_0) + λ(F(t) - F(t_0) / t - t_0), que passa por F(t) e F(t_0), é secante à curva F(t). Ao fazermos t → t_0, temos então a reta tangente à curva no ponto F(t_0): t: F(t_0) + λF'(t_0). A derivada F'(t_0) é portanto um vetor tangente à curva F no ponto F(t_0). Fisicamente, se consideramos s(t) como a posição de uma partícula se movendo no plano ou espaço, a derivada v(t) = s'(t) será seu vetor velocidade. A derivada segunda a(t) = v'(t), por sua vez, nos fornece seu vetor aceleração. Exercícios 1. Em cada caso, calcule dF/dt e d²F/dt². a) F(t) = (1 + 2t, 2 - t, 3t). b) F(t) = (t² - t, 2t - 1, t² + 1). c) F(t) = (cos t, sen t, t). d) F(t) = (ln(t² + 1), ³√t, 2t - 1, e^{t²}). e) F(t) = (e^{-t}cos t, e^{t}sen t). f) F(t) = s_0 + tv_0 + t²/2 a, s_0, v_0, a ∈ ℝⁿ. 2. Em cada caso, determine a equação da reta tangente à F(t) no ponto F(t_0). a) F(t) = (t, t²), t_0 = 1. b) F(t) = (cos t, sen t), t_0 = π/3. c) F(t) = (e^{-t}cos t, e^{-t}sen t), t_0 = 0. d) F(t) = (t, -t, t²), t_0 = -1. e) F(t) = (cos t, sen t, t), t_0 = 0. f) F(t) = (2t, t² - 1, 2 - t, t³), t_0 = 2. 3. Considere que a posição de uma partícula em função do tempo é dada por s̄(t) = (Rcos(ωt), Rsen(ωt)), onde R, ω ∈ ℝ são constantes. a) Esboce a trajetória desta partícula e interprete fisicamente R e ω. b) Calcule v̄(t) = ds̄/dt(t) e ā(t) = d²s̄/dt²(t), e mostre que v̄(t) · ā(t) = 0, ∀t ∈ ℝ. c) Sendo v(t) = ||v̄(t)|| e a(t) = ||ā(t)||, mostre que v = ωR e a = v²/R. 4. Sejam F̄, Ḡ : ℝ → ℝⁿ funções diferenciáveis, e k ∈ ℝ uma constante. Mostre que as funções F̄ + Ḡ e kF̄ também são diferenciáveis, e tem-se: d/dt(F̄ + Ḡ) = dF̄/dt + dḠ/dt, d/dt(kF̄) = k dF̄/dt. 5. Sejam F̄, Ḡ : A → ℝⁿ e h : A → ℝ funções deriváveis em A ⊂ ℝ. a) Mostre que a função hF̄: A → ℝⁿ é derivável, e tem-se: d/dt(hF̄) = dh/dtF̄ + h dF̄/dt. b) Mostre que a função F̄ · Ḡ : A → ℝ é derivável, e tem-se: d/dt(F̄ · Ḡ) = dF̄/dt · Ḡ + F̄ · dḠ/dt. c) Sendo n = 3, mostre que a função F̄ × Ḡ : A → ℝ³ é derivável, e tem-se: d/dt(F̄ × Ḡ) = dF̄/dt × Ḡ + F̄ × dḠ/dt. 6. Sejam u : I → ℝ ∈ F̄ : J → ℝⁿ funções deriváveis, com I, J ⊂ ℝ e Im u ⊂ J. Mostre que a função composta H̄ : I → ℝ, H̄(t) = F̄(u(t)) é derivável, e dH̄/dt = dF̄/du du/dt. onde dF̄/du é calculada em u = u(t). Esta é a regra da cadeia para derivada da composta de uma função de ℝ em ℝ e uma função de ℝ em ℝⁿ. 7. Seja F : I ⊂ ℝ → ℝⁿ derivável, tal que ||F(t)|| = k, para todo t ∈ I, onde k ∈ ℝ é uma constante. Prove que F(t) · F'(t) = 0, para todo t ∈ I. Interprete geometricamente. (Dica: Derive a função φ(t) = ||F(t)||²) 8. Considere uma partícula que se move pelo espaço com sua posição dada por s(t). Suponha que sua velocidade v(t) = s'(t) tem norma constante, ou seja ||v(t)|| = v_0, ∀t ∈ I, v_0 ∈ ℝ constante. Mostre que sua aceleração a(t) = s''(t) é perpendicular à velocidade, isto é a(t) · v(t) = 0, para todo t ∈ I. 9. Considere a curva γ: I ⊂ ℝ → ℝⁿ e o ponto P ∈ ℝⁿ. Seja Q = γ(t_0) o ponto de γ mais próximo de P. Mostre que o seguimento PQ é perpendicular à reta tangente à γ em Q, ou seja PQ̄ · γ'(t_0) = 0. (Dica: Minimize a função φ(t) = ||γ(t) - P||²) 10. Considere a curva s̄: I → ℝⁿ, com v̄(t) = ds̄/dt(t) ≠ 0̄ para todo t ∈ I. Sejam v(t) = ||v̄(t)|| e T̄(t) = v̄(t)/v(t) a norma e o versor de v̄(t), respectivamente. a) Mostre que ā = dv̄/dt = v dT̄/dt + dv/dt T̄. (Dica: Aplique a regra de derivação do produto à v̄ = v T̄) b) Mostre que T̄ e dT̄/dt são ortogonais. Interprete os termos ā = dv̄/dt e ā = dv/dt T̄. 11. Seja f : ℝ² → ℝ, f(x, y) = x² + y², γ(t) = (x(t), y(t), z(t)), onde z(t) = f(x(t), y(t)), e t_0 ∈ ℝ tal que γ(t_0) = (1, 1, 2). a) Mostre que dz/dt = 2x dx/dt + 2y dy/dt. b) Mostre que γ'(t_0) é perpendicular à n̄ = (-2, -2, 1). Conclua que a reta tangente à γ em γ(t_0) está contida no plano α : -2x - 2y + z + 2 = 0. Esboce no mesmo sistema cartesiano o gráfico de f(x, y) e o plano α. O que podemos dizer deste plano? 12. Considere a matriz A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \ 3 & -4 \end{pmatrix} e as curvas γ_1(t) = e^{-t}(1, 1) e γ_2(t) = e^{-2t}(2, 3). a) Mostre que as curvas γ_1(t) e γ_2(t) são tais que γ'_i(t) = Aγ_i(t), i = 1, 2. b) Dados c_1, c_2 ∈ ℝ, mostre que a curva γ(t) = c_1γ_1(t) + c_2γ_2(t) também é tal que γ'(t) = Aγ(t). c) Uma partícula se move no plano de modo que sua velocidade é dada, em função de sua posição, por \( \vec{v} = A\vec{s} \). Sabendo que sua posição inicial é \( s(0) = (1, 2) \), determine sua trajetória. 3 Integrais 3.1 Primitivas Veremos agora como estender o conceito de primitivas para funções vetoriais. Definição 4 (Primitiva). Dada a função \( F: I \rightarrow \mathbb{R}^n \), onde \( I \subset \mathbb{R} \) é um intervalo, chamamos de primitiva de \( F \) em \( I \) uma função \( G: I \rightarrow \mathbb{R}^n \) tal que \[ G'(t) = F(t), \quad \forall t \in I. \] Note que, como podemos computar as derivadas de funções vetoriais componente à componente, dizer que \( G(t) = (G_1(t), \ldots, G_n(t)) \) é primitiva de \( F(t) = (F_1(t), \ldots, F_n(t)) \) é equivalente a dizer que cada componente de \( G \) é uma primitiva da componente correspondente de \( F \), ou seja \( G_i^{fix}(t) = F_i(t'subeq). O próximo teorema mostra que, assim como no caso unidimensional, duas primitivas de uma mesma funciona vetorial, definidas em um intervalo, sempre diferem por uma constante. Teorema 3. Seja \( F: I \rightarrow \mathbb{R}^n \), onde \( I \subset \mathbb{R} \) é um intervalo, e considere \( G, H: I \rightarrow \mathbb{R}^n \) tais que \( G'(t) = H'(t) = F(t) \) para todo \( t \in I \). Deste modo, existe \( k \in \mathbb{R}^n \) tal que \[ H(t) = G(t) + k, \quad \forall t \in I \] Deste modo, a integral indefinida de uma função \( F: I \rightarrow \mathbb{R}^n \) é dada por: \[ \int F(t) \, dt = G(t) + k, \] onde \( G(t) \) é uma primitiva qualquer de \( F(t) \) e \( k \in \mathbb{R}^n \) é uma constante. A integral indefinida corresponde a uma forma geral das primitivas da função. Fisicamente, podemos obter a posição de uma partícula a partir da integral indefinida da velocidade, ou a velocidade a partir da integral da aceleração. Nestes casos, a constante \( k \in \mathbb{R}^n \) é calculada com base nas chamadas condições de contorno, como por exemplo a posição inicial. Exemplo 1. Uma partícula se move pelo plano com velocidade \( \vec{v}(t) = (1 + t, t^2) \). Sabendo que sua posição inicial é \( \vec{s}_0 = (1, -1) \), determine \( \vec{s}(t) \). Temos que \( \vec{s}(t) = \int \vec{v}(t) \, dt = \left( t + \frac{t^2}{2}, \frac{t^3}{3} \right) + \vec{k} = \left( t + \frac{t^2}{2} + k_1, \frac{t^3}{3} + k_2 \right) \). Pela condição de contorno, \( \vec{s}(0) = (k_1, k_2) = (1, -1) \Rightarrow k_1 = 1, k_2 = -1 \), logo, \( \vec{s}(t) = \left( t + \frac{t^2}{2} + 1, \frac{t^3}{3} - 1 \right) \). Exemplo 2. Uma bola é lançada do topo de um morro de 4m de altura, com uma velocidade de 10m/s, formando um ângulo \( \theta \) com a horizontal (\( \cos \theta = 0,6, \sin \theta = 0,8 \)). Sendo a aceleração da gravidade de 10m/s², determine equações horárias para a velocidade e posição da bola. Sendo a aceleração dada por \( \vec{a}(t) = (0, -10) \) e as condições iniciais \( \vec{s}_0 = (0, 4) \) e \( \vec{v}_0 = (6,8) \), temos: \( \vec{v}(t) = \int \vec{a}(t) \, dt = (0, -10t) + \vec{k} = (k_1, -10t + k_2), \) \( \vec{s}(t) = \int \vec{v}(t) \, dt = (k_1t, -5t^2 + k_2t) + \vec{\ell} = (k_1t + \ell_1, -5t^2 + k_2t + \ell_2). \) Das condições de contorno, \( \vec{v}(0) = \vec{k} = (6, 8) \) e \( \vec{s}(0) = \vec{\ell} = (0, 4) \). Deste modo: \( \vec{v}(t) = (6, 8 - 10t), \) \( \vec{s}(t) = (6t, 4 + 8t - 5t^2). \) 3.2 Integral de Riemman Seja \( \vec{F}: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^n \) uma função vetorial, \( P: a = t_0 < t_1 < \cdots < t_m = b \) uma partição do intervalo \([a, b]\) e, para cada \( i = 1 \ldots m \), \( c_i \) um ponto qualquer do sub-intervalo \([t_{i-1}, t_i]\). Definimos a soma de Riemann de \( \vec{F} \) relativa à partição \( P \) e pontos \( c_i \) como o vetor: \[ \vec{S} = \sum_{i=1}^{m} \vec{F}(c_i) \Delta t_i. \] Considerando partições cada vez mais ‘finas’, dizemos que a soma de Riemann tende ao vetor \( \vec{L} \in \mathbb{R}^n \) quando a amplitude da partição \(|P| = \max \Delta t_i \) tende a zero, e escrevemos: \[ \lim_{|P| \to 0} \sum_{i=1}^{m} \vec{F}(c_i)\Delta t_i = \vec{L} \] se, para todo \( \varepsilon > 0 \) dado, existir \( \delta > 0 \), independente da escolha dos \( c_i \in [t_{i-1}, t_i] \), tal que \[ \left\| \sum_{i=1}^{m} \vec{F}(c_i)\Delta t_i - \vec{L} \right\| < \varepsilon, \] para toda partição \( P \) de \([a, b]\) com \(|P| < \delta \). Este limite \( \vec{L} \), quando existe, denomina-se integral (de Riemann) de \( \vec{F} \) em \([a, b]\). Assim, por definição: \[ \int_{a}^{b} \vec{F}(t) \, dt = \lim_{|P| \to 0} \sum_{i=1}^{m} \vec{F}(c_i)\Delta t_i. \] a) \int_{0}^{1} \left(t\,\vec{i} + e^{t}\,\vec{j}\right) dt. b) \int_{1}^{2} \left(\frac{1}{t}\vec{i} - \sqrt{t}\vec{j}\right) dt. c) \int_{-1}^{1} \left(t \cos t \vec{i} - t \sen t \vec{j}\right) dt. d) \int_{0}^{1} \left(t\vec{i} + 4t\vec{j} + t^{2}\vec{k}\right) dt. e) \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{1 + x^{2}} \vec{i} + \frac{x}{1 + x^{2}}\vec{j}\right) dt. f) \int_{0}^{\pi/4} \left(t^{2}\vec{i} - j^{2} + tg\,t\vec{k}\right) dt. 4. Calcule as seguintes integrais impróprias. a) \int_{1}^{\infty} \left(\frac{1}{t^{2}}\vec{i} + \frac{1}{t\sqrt{t}}\vec{j}\right) dt. b) \int_{0}^{\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{t}}\vec{i} - \frac{1}{t + 1}\vec{j}\right) dt. c) \int_{0}^{\infty} 2e^{-t}\vec{i} + \frac{1}{1 + t^{2}}\vec{j}\right) dt. d) \int_{-1}^{0} \left(\frac{1}{t^{2}}\vec{i} - \frac{1}{t^{3}}\vec{j}\right) dt. 5. Sejam \vec{F}(t) = t\,\vec{i} + j + e^{t}\vec{k} e \bar{G}(t) = \vec{i} + j + \bar{k}. Calcule a) \int_{0}^{1} [\vec{F}(t) \cdot \bar{G}(t)]dt. b) \int_{0}^{1} [\vec{F}(t) \times \bar{G}(t)]dt. 6. Sejam \vec{F}, \bar{G} : [a, b] \to \mathbb{R}^{n} funções integráveis, k \in \mathbb{R} uma constante. Mostre que: \int_{a}^{b} [\vec{F}(t) + \bar{G}(t)] dt = \int_{a}^{b} \vec{F}(t) dt + \int_{a}^{b} \bar{G}(t) dt. b) \int_{a}^{b} k\vec{F}(t) dt = k \int_{a}^{b} \vec{F}(t) dt. 7. Seja \vec{F}: [a, b] \to \mathbb{R}^{n} uma função integrável e \vec{v} \in \mathbb{R}^{n} constante. Mostre que: a) \left[\vec{v} \cdot \vec{F}(t)\right]dt = \vec{v} \cdot \int \vec{F}(t) dt. b) \left[\vec{v} \times \vec{F}(t)\right]dt = \vec{v} \times \int \vec{F}(t) dt. 8. Sendo \vec{F}(t) uma força que atua sobre uma partícula. O impulso de \vec{F} no intervalo de tempo [t_{1}, t_{2}] é definido por \bar{I} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{F}(t) dt. Mostre que o impulso da força resultante que atua sobre a partícula é igual à variação da sua quantidade de movimento, ou seja \bar{I} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{F}(t) dt = m\vec{v_{2}} - m\vec{v_{1}}, onde \vec{v_{1}} e \vec{v_{2}} são as velocidades nos instantes t_{1} e t_{2}. (Dica: Pela lei de Newton, a força resultante satisfaz \vec{F} = m\vec{a}.) 9. Considere \vec{F} : [a, b] \to \mathbb{R}^{n} contínua e seja \bar{G}: [a, b] \to \mathbb{R}^{n} definida por \bar{G}(t) = \int_{a}^{t} \vec{F}(s) ds. Prove que, para todo t \in [a, b], tem-se: \frac{d\bar{G}}{dt}(t) = \vec{F}(t). 10. Seja \vec{F} : [a, b] \to \mathbb{R}^{n} uma função contínua. Prove que \left\| \int_{a}^{b} \vec{F}(t) dt\right\| \leq \int_{a}^{b} \left\| \vec{F}(t)\right\| dt. (Dica: Utilize a desigualdade triangular na soma de Riemman) 4 Comprimento de Arco Veremos agora como definir formalmente o conceito de comprimento de uma curva \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^{n}. Para tal, vamos aproximar a curva por uma coleção de segmentos de reta, os quais sabemos como calcular o comprimento. Seja então P : a = t_{0} < t_{1} < \cdots < t_{m} = b uma partição do intervalo [a, b]. Considere a poligonal de vértices P_{0} = \gamma (t_{0}), P_{1} = \gamma (t_{1}), ..., P_{m} = \gamma (t_{m}). Sendo L(\gamma, P) o comprimento desta poligonal, temos: L(\gamma, P) = \sum_{i=1}^{m} \|\gamma (t_{i}) - \gamma (t_{i-1})\| . Este comprimento pode ser visto como uma aproximação para o comprimento da curva \gamma, que melhora à medida que a partição se torna mais fina (|P| = \max \Delta t_{i} \to 0). É portanto natural definir o comprimento da curva como o limite \lim_{|P| \to 0} L(\gamma, P). Supondo \gamma = (\gamma_{1}, . . . , \gamma_{n}) derivável em [a, b], para cada i = 1 . . . m e j = 1 . . . n existe, pelo teorema do valor médio, c_{ij} \in ]t_{i-1}, t_{i}[ tal que: \gamma_{j}(t_{i}) − \gamma_{j}(t_{i-1}) = r'_{j}(c_{ij})(t_{i} − t_{i-1}, = r'_{j}(c_{ij})\Delta t_{i}. Deste modo, temos: \|\gamma(t_{i}) - \gamma(t_{i-1})\| = \sqrt{\sum_{j=1}^{n}[r'_{j}(c_{ij})]^{2}\Delta t_{i} \to \|\gamma'(t_{i})\|\Delta t_{i} 1Esta poligonal é a curva formada ao ligarmos os pontos P_{i−1} e P_{i} por segmentos de reta. onde à medida que a partição se torna mais fina, o intervalo ]t_{i-1}, t_{i}[ fica menor, e os c_{ij} tendem à t_{i}. Sendo assim, é razoável esperar que lim_{|P|\to 0} L(\gamma, P) = \lim_{|P|\to 0} \sum_{i=1}^{m} \sqrt{\sum_{j=1}^{n} [r'_{j}(c_{ij})]^{2}} \Delta t_{i} = \lim_{|P|\to 0} \sum_{i=1}^{m} \|\gamma'(c_{i})\| \Delta t_{i} = \int_{a}^{b} \|\gamma'(t)\| dt. Podemos então definir o comprimento de uma curva de classe $C^{1}$: Definição 5 (Comprimento de Arco). Seja \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^{n} uma curva de classe $C^{1}$. Definimos o comprimento L(\gamma) desta curva por L(\gamma) = \int_{a}^{b} \|\gamma'(t)\| dt. Exercícios 1. Calcule o comprimento da curva dada. a) \gamma(t) = (2t - 1, t + 1, 1 - t), \quad t \in [1, 2]. b) \gamma(t) = (R \cos t, R \sen t), \quad t \in [0, 2\pi], \quad R > 0 constante. c) \gamma(t) = (\cos t, \sen t, t), \quad t \in [0, 2\pi]. d) \gamma(t) = (e^{t}\cos t, e^{t}\sen t), \quad t \in [0, 2\pi]. e) \gamma(t) = \overrightarrow{s_{0}} + t\overrightarrow{v}, \quad t \in [t_{0}, t_{f}], \quad \overrightarrow{s_{0}}, \overrightarrow{v} \in \mathbb{R}^{n} constantes. 2. Mostre que o perímetro da elipse \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 é dado por \int_{0}^{2\pi} \sqrt{b^{2} + c^{2}\sen^{2} t} dt, onde a^{2} = b^{2} + c^{2}. (Estas integrais são chamadas de elípticas, e não podem em geral ser expressas por funções elementares.) 3. Mostre que a trajetória da curva \gamma(t) = (e^{-t}\cos t, e^{-t}\sen t), \quad t \in [0, +\infty], apesar de descrever infinitas voltas em torno da origem, tem comprimento finito. 4. Considere a função y = f(x) de uma variável real à valores reais. Mostre que o comprimento do gráfico desta função entre x = a e x = b é dado por: \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}} dx. (Dica: Considere a curva \gamma(t) = (t, f(t)).) 5. Calcule o comprimento do gráfico das seguintes funções: a) y = ax + b, x ∈ [x1, x2]. b) y = x², x ∈ [-1, 1]. c) y = ln x, x ∈ [1, e]. d) y = e^x, x ∈ [0, 1]. 6. Uma curva γ : I ⊂ R → Rⁿ se diz parametrizada por comprimento de arco se o comprimento de γ(s) no intervalo [s₀, s₁] ⊂ I é L(γ) = s₁ − s₀. a) Mostre que a curva γ : I ⊂ R → Rⁿ está parametrizada por comprimento de arco se e somente se ∥γ'(s)∥ = 1, para todo s ∈ I. b) Conclua que, se γ : I ⊂ R → Rⁿ está parametrizada por comprimento de arco, então γ′(s) e γ′(s) são perpendiculares para todo s ∈ I. 7. Seja γ : [a, b] → Rⁿ uma curva, com P = γ(a) e Q = γ(b). Mostre que o comprimento de γ no intervalo [a, b] é maior ou igual ao comprimento do segmento PQ, ou seja: ∫_a^b ∥γ′(t)∥ dt ≥ ∥Q − P∥ . Interprete a afirmação: a menor distância entre dois pontos é uma reta. (Dica: Veja a Questão 10 da Seção 3) 13