Avaliação-2022 2

1. (2,0 pontos) Encontre os pontos de minimo ou maximo da funcao f(x,y) = y - x² no circulo \( OMEGA = \{ (x,y) \in \Re^2; \; x² + y² \leq 1 \}.\) 2. (2,0 pontos) Calcule \(\iint_\OMEGA f(x,y) \,dx\,dy, com \; \OMEGA = \{ (x,y) \in \Re^2; x² + y² \leq 2y \}. \) 3. (2,0 pontos) Calcule o volume do solido entre os graficos de z = \sqrt{x^2 + y^2} e z = 2 e dentro da regiao \( 0 \leq 5 \leq \pi/2. \) 4. (2,0 pontos) Sendo \( 5:1 \rightarrow\Re^2-\{(0,0)\} \rightarrow\Re \), dado \(\varphi(x,y) = \int_0^1(txcost - ytsint)dt. \) Mostre (!) O campo vetor \(F(x,y) = 2(y-e^y)\hat{i} + \varphi(x,y)\hat{j} \) e conservativo ou nao. (b) Calcule \(\oint_{\partial \Omega} \varphi \, dx \) 5. (2,0 pontos) Sendo \( F = (xz)\hat{i} + (y^2 - xy)\hat{j} + (xy)\hat{k} \) onde \(\Omega = \{ (x,y,z); x^2 + y^2 + z^2 \ge 1\) Calcule \(\int_\partial \Omega F \cdot \hat{n} \, dS. \) nas formas orientadas ao sentido da normal externa.