Modelos Probabilísticos: Distribuição Normal e suas Propriedades

MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Distribuição Normal ou Gaussiana A distribuição normal possui papel relevante tanto na probabilidade quanto na inferência estatística e suas aplicações se estendem pela Física Economia Pesquisa Operacional etc Definição 1 Seja X Ω RX uma variável aleatória contínua vac cujo conjunto de valores possíveis RX R Dizemos que X segue uma distribuição normal com parâmetros μ R e σ² 0 se sua função densidade de probabilidade fdp é dada por fx 1 2πσ² exμ²2σ² x R Notação X Nμ σ² Gráfico Na figura abaixo temos o gráfico da fdp de uma vac X Nμ σ² sendo μ 5 e σ² 2 Propriedades de uma Distribuição Normal P1 Verificase que a função f apresentada na Definição 1 satisfaz às seguintes condições i fx 0 x e ii fxdx 1 sendo de fato uma função densidade de probabilidade fdp Propriedades de uma Distribuição Normal P2 Se X Nμσ² então EX μ e VarX σ² P3 A fdp de X atinge seu valor máximo em x μ Logo ModaX μ Propriedades de uma Distribuição Normal P4 O gráfico de f é simétrico em torno de x μ Isso significa que fμ x fμ x para todo x ℝ sendo a reta x μ o eixo de simetria do gráfico Propriedades de uma Distribuição Normal P5 Usando o fato de que a função f é simétrica em torno de x μ segue que PX μ PX μ 050 Consequentemente MedianaX μ Propriedades de uma Distribuição Normal P6 Sobre a concavidade do gráfico da fdp f de X Nμσ² x μ σ e x μ σ são abscissas dos pontos de inflexão A e B do gráfico de f se μ σ x μ σ o gráfico de f possui concavidade voltada para baixo se x μ σ ou x μ σ o gráfico de f possui concavidade voltada para cima Propriedades de uma Distribuição Normal P7 Comparação de distribuições normais segundo os parâmetros μ e σ² X₁ Nμ₁σ₁² e X₂ Nμ₂σ₂² com μ₁ μ₂ e σ₁² σ₂² Propriedades de uma Distribuição Normal P7 Comparação de distribuições normais segundo os parâmetros μ e σ² X₁ Nμ₁ σ₁² e X₂ Nμ₂ σ₂² com μ₁ μ₂ e σ₁² σ₂² Propriedades de uma Distribuição Normal P7 Comparação de distribuições normais segundo os parâmetros μ e σ² X₁ Nμ₁ σ₁² e X₂ Nμ₂ σ₂² com μ₁ μ₂ e σ₁² σ₂² Propriedades de uma Distribuição Normal P8 Seja X uma variável aleatória contínua tal que X Nμ σ² Se μ 0 e σ² 1 dizemos que X possui distribuição normal padrão ou normal reduzida Comumente usamos a letra Z para denotar uma va possuir tal característica e indicamos por Z N0 1 Sendo assim se Z N0 1 então a fdp de Z se reduz a fz frac1sqrt2pi ez²2 z ℝ Propriedades de uma Distribuição Normal P9 Se Z N0 1 e I a b é um intervalo da reta real então Pa Z b ab 12π ez²2 dz Fato importante A integral ab 12π ez²2 dz está bem definida pois a função que figura no integrando é contínua Porém o seu cálculo apresenta uma dificuldade operacional pois a função real fz 12π ez²2 não possui primitiva Sendo assim é necessário recorrer a métodos de integração numérica ou tabelas estatísticas quando tivermos por objetivo obter probabilidades relacionadas à variáveis aleatórias que seguem uma distribuição normal Tabela de uma va normal padrão livro texto Propriedades de uma Distribuição Normal P10 Se X Nμσ² então a variável aleatória Z X μ σ possui distribuição normal padrão ou seja Z X μ σ N01 Exemplo 1 Seja Z uma variável aleatória contínua tal que Z N01 determine a P0 Z 173 b PZ 0 c PZ 173 d PZ 173 e P1 Z 0 f P1 Z 1 g PZ 250 h P2 Z 106 i P047 Z 173 j o número real c tal que PZ c 09495 Exemplo 1a Solução Consultando a Tabela III livro texto obtemos P0 Z 173 045818 Exemplo 1b Solução Sabendo que a área total é igual a 1 e que a curva da normal padrão é simétrica em torno de 0 temos que PZ 0 05 Exemplo 1c Solução Temos que PZ 173 PZ 0 P0 Z 173 05 045818 095818 Exemplo 1d Solução Temos que PZ 173 PZ 0 P0 Z 173 05 045818 004182 Exemplo 1e Solução Por simetria temos que P1 Z 0 P0 Z 1 034134 Exemplo 1g Solução Temos que PZ 250 P250 Z 0 PZ 0 P0 Z 250 PZ 0 049379 05 099379 Exemplo 1f Solução Por simetria temos que P1 Z 1 2 P0 Z 1 2 034134 068268 Exemplo 1h Solução Temos que P2 Z 106 P2 Z 0 P0 Z 106 P0 Z 2 P0 Z 106 047725 035543 083268 Exemplo 1i Solução Temos que P047 Z 173 P0 Z 173 P0 Z 047 045818 018082 027736 Exemplo 1j Solução Temos que PZ c 09495 05 P0 Z c 09495 P0 Z c 04495 c 164 Bibliografia Estatística Básica 7ª edição Wilton O Bussab e Pedro A Morettin 2011 Editora Saraiva Noções de Probabilidade e Estatística 4ª edição Marcos N Magalhães e Antonio C P de Lima 2002 Edusp Probabilidade Aplicações à Estatística 2ª edição Paul L Meyer 1995 LTC Augusto Cury Não há um normal que não seja anormal e nenhum anormal que não seja passível de ser um mestre