Lista de Exercícios Resolvidos Estatística Probabilidade e Variáveis Aleatórias

1 De uma urna com 15 bolas numeradas de 1 a 15 será retirada duas bolas sem reposição Sejam A e B os conjuntos que representam os números das bolas da primeira e segunda retirada respectivamente Qual é o total de possibilidades para o par ab de números das bolas 2 Uma pesquisa foi feita com alunos de uma disciplina de estatística ministrada a distância EAD para saber quais sistemas operacionais SO eles utilizaram para cursa a disciplina Os sistemas operacionais utilizados pelos alunos foram Windows Android iOS e Linux Somente um aluno utilizou iOS e este não usou outro SO Dois alunos utilizaram o Linux e estes também não utilizaram outro SO Quinze alunos usaram Android dezoito usaram Windows e 3 usaram tanto Android quanto Windows Ao selecionar aleatoriamente um desses alunos entrevistados determine a probabilidade deste aluno usar Windows resposta com duas casas decimais 3 Seja X uma variável aleatória discreta com função de probabilidade dada na tabela a seguir Qual é a variância de X Resposta em decimal com duas casas decimais 4 Numa loja de eletrônicos a probabilidade de vender um computador de alta performance numa determinada semana é igual a 08 Qual a probabilidade de vender não mais que um computador de alta performance nas próximas 3 semanas resposta com duas casas decimais 5 Seja X uma variável aleatória associada a um experimento com probabilidade de sucesso igual à 01 Qual é a variância de X em 10 repetições deste experimentos resposta com duas casas decimais 6 Seja X uma variável aleatória com distribuição normal com média μ6 e desviopadrão igual σ1 Determine a probabilidade de X ser maior que 7 Lista de Exercícios Estatística Exercício 1 De uma urna com 15 bolas numeradas de 1 a 15 será retirada duas bolas sem reposição Sejam 𝐴 e 𝐵 os conjuntos que representam os números das bolas da primeira e segunda retirada respectivamente Qual é o total de possibilidades para o par 𝑎 𝑏 de números das bolas Solução Consideremos o par ordenado 𝑎 𝑏 Há 15 possibilidades para o primeiro elemento do par pois a urna possui 15 bolas numeradas de 1 a 15 Para cada possibilidade do primeiro elemento do par há 14 possibilidades para o segundo elemento do par pois a urna possui 14 bolas após a retirada da primeira bola Logo o total de possibilidades para o par 𝑎 𝑏 de números das bolas é de 15 14 210 Exercício 2 Uma pesquisa foi feita com alunos de uma disciplina de estatística ministrada a distância EAD para saber quais sistemas operacionais SO eles utilizaram para cursa a disciplina Os sistemas operacionais utilizados pelos alunos foram Windows Android iOS e Linux Somente um aluno utilizou iOS e este não usou outro SO Dois alunos utilizaram o Linux e estes também não utilizaram outro SO Quinze alunos usaram Android dezoito usaram Windows e 3 usaram tanto Android quanto Windows Ao selecionar aleatoriamente um desses alunos entrevistados determine a probabilidade deste aluno usar Windows Solução Se considerarmos que os 15 alunos que utilizaram Android e os 18 alunos que utilizaram Windows não incluem os 3 alunos que utilizaram tanto Android quanto Windows temos que 𝑃iOS 139 𝑃Linux 239 𝑃Android 1839 𝑃Windows 2139 𝑃Android e Windows 339 Logo 𝑃Windows 21 39 05385 5385 Se considerarmos que os 15 alunos que utilizaram Android e os 18 alunos que utilizaram Windows incluem os 3 alunos que utilizaram tanto Android quanto Windows temos que 𝑃iOS 133 𝑃Linux 233 𝑃Android 1533 𝑃Windows 1833 𝑃Android e Windows 333 Logo 𝑃Windows 18 33 05455 5455 Exercício 3 Seja 𝑋 uma variável aleatória discreta com função de probabilidade dada na tabela a seguir 𝑥 5 10 25 𝑝𝑥 03 05 02 Qual é a variância de 𝑋 Solução Temos que Var𝑋 𝑛 𝑖1 𝑥𝑖 𝜇2 𝑝 𝑥𝑖 onde 𝑥𝑖 é o iésimo valor assumido por 𝑋 𝑝 𝑥𝑖 é a probabilidade associada ao iésimo valor assumido por 𝑋 e 𝜇 é a média de 𝑋 A média de 𝑋 é dada por 𝜇 3 𝑖1 𝑥𝑖 𝑝 𝑥𝑖 5 03 10 05 25 02 115 Logo a variância de 𝑋 é dada por Var𝑋 3 𝑖1 𝑥𝑖 𝜇2 𝑝 𝑥𝑖 5 1152 03 10 1152 05 25 1152 02 5025 Portanto a variância de 𝑋 é de 5025 Exercício 4 Numa loja de eletrônicos a probabilidade de vender um computador de alta perfor mance numa determinada semana é igual a 08 Qual a probabilidade de vender não mais que um computador de alta performance nas próximas 3 semanas Solução Seja 𝑋 uma variável aleatória associada ao número de computadores de alta performance vendidos Temos que 𝑋 Binomial3 08 Logo a probabilidade de vender não mais que um computador de alta performance nas próximas 3 semanas é dada por PX 1 PX 0 PX 1 PX 0 3 0 08⁰ 02³ 0008 PX 1 3 1 08¹ 02² 0096 PX 1 0008 0096 01040 Portanto a probabilidade de vender não mais que um computador de alta performance nas próximas 3 semanas é de 1040 Exercício 5 Seja X uma variável aleatória associada a um experimento com probabilidade de sucesso igual a 010 Qual é a variância de X em 10 repetições deste experimento Solução Temos que X Binomial10 010 Logo a variância de X é dada por VarX np1 p 10 010 1 010 1 090 090 onde n 10 é o número de repetições do experimento e p 010 é a probabilidade de sucesso Portanto a variância de X em 10 repetições deste experimento é de 090 Exercício 6 Seja X uma variável aleatória com distribuição normal com média μ 6 e desviopadrão σ 1 Determine a probabilidade de X ser maior que 7 Solução Temos que X Normal6 1 Logo a probabilidade de X ser maior que 7 é dada por PX 7 1 PX 7 1 P Z 7 6 1 1 PZ 1 1 08413 01587 Portanto a probabilidade de X ser maior que 7 é de 1587