Teorema de Bayes e Probabilidade Total em Corridas de Fórmula 1

Probabilidade e Estatística Teorema de Bayes TURMA CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO ENG DA COMPUTAÇÃO PROFESSOR PETRUCIO A MEDEIROS BARROS UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS Instituto de Computação Teorema da Probabilidade Total Exemplo Um piloto de fórmula 1 tem 50 de probabilidade de vencer determinada corrida quando esta se realiza sob chuva Caso não chova durante a corrida sua probabilidade de vitória é de 25 Se o serviço de Meteorologia estimar em 30 a probabilidade de que chova durante a corrida qual é a probabilidade deste piloto ganhar a corrida Eventos G ganhar a corrida Ch chover NCh não chover PGCh 50 050 PGNCh 25 025 PCh 30 030 PNCh 70 070 Probabilidade do piloto ganhar a corrida com ou sem chuva PG PG Ch PG NCh PG PGCh PCh PGNCh PNCh PG 050 030 025 070 0325 ou 325 2 Exemplo Um piloto de formula 1 tem 50 de probabilidade de vencer determinada corrida quando esta se realiza sob chuva Caso nao chova durante a corrida sua probabilidade de vitoria 6 de 25 Se o servico de Meteorologia estimar em 30 a probabilidade de que chova durante a corrida Eventos G ganhar a corrida Ch chover NCh nao chover PGCh 50 050 PGNCh 25 025 PCh 30 030 PNCh 70070 a Sabendo que o piloto ganhou qual a probabilidade de ter chovido P Ch G 050 030 meee 04615 050 030025070 0325 b Sabendo que o piloto ganhou qual a probabilidade de nao ter chovido p NCh fe 025070 0175 05385 050 030025070 0325 PCh GPNCh G 04615 05385 1 s Teorema da Probabilidade Iotal Lidam com eventos sob diversas condicdes Probabilidades diferentes para cada condicao Os eventos Aj A formam uma partigao do espaco amostral O se Ndo ha eventos vazios Nao ha intersecdo entre os eventos Aunido dos eventos da partiado o espaco amostral Teorema da Probabilidade Total Partição de um espaço amostral Ω Mutuamente Excludentes PB A Probabilidade Condicional 5 Probabilidade Teorema de Bayes Nas mesmas condições do teorema anterior Calcula a Probabilidade de que tenha ocorrido um evento particular da família A dado a informação de que B ocorreu Evento A são as causas e B o efeito Conhecese o efeito e se quer reavaliar a probabilidade da causa Teorema de Bayes 6 Probabilidade Teorema de Bayes A probabilidade condicional trata a probabilidade de ocorrer um evento B sob a condição de ocorrer seu antecedente A O Teorema de Bayes trata a probabilidade de ocorrer um particular evento da família A dado a informação de ocorrer o evento B que sucede A Uma expressão algébrica com variáveis conhecidas e uma desconhecida Apesar de sua simplicidade pode nos conduzir a percepções no âmbito das previsões Trata da probabilidade de uma teoria ou hipótese ser verdadeira se tiver havido determinado acontecimento 7 Probabilidade Teorema de Bayes Exemplo 1 Uma companhia multinacional tem três fabricas que produzem o mesmo tipo de produto A fábrica I é responsável por 30 do total produzido a fábrica II produz 45 do total e o restante vem da fábrica III Cada uma das fabricas no entanto produz uma proporção de produtos que não atendem aos padrões estabelecidos pelas normas internacionais Tais produtos são considerados defeituosos e correspondem a 1 2 e 15 respectivamente dos totais produzidos por fabrica No centro de distribuição e feito o controle de qualidade da produção combinada das fabricas a Qual e a probabilidade de encontrar um produto defeituoso durante a inspeção de qualidade 8 Probabilidade Teorema de Bayes Exemplo 1 Sejam os eventos A Produto Defeituoso e Fi Produto da Fábrica i Pelo enunciado PF1 03 PF2 045 e PF3 025 PAF1 001 PAF2 002 e PAF3 0015 PA PAF1PF1 PAF2PF2 PAF3PF3 PA 03 001 045 002 025 0015 001575 Probabilidade Total 9 Exemplo 1 b Se durante a inspecao encontramos um produto defeituoso qual e a probabilidade que ele tenha sido produzido na fabrica II Aplicar Teorema de Bayes usando o item anterior para encontrar PA vary eae 002045 95714 7 PA ame hs 02s c Qual a probabilidade que ele tenha sido da fabrica I PAF1PF1 003001 PF1 A Senn RERUN TTT ats d Qual a probabilidade que ele tenha sido da fabrica III PAF3PF3 0250015 10 yO aoa 02381 e PF1A PF2A PF3A1 0571401905 02381 1 or Probabilidade Teorema de Bayes Exemplo 1 Sejam os eventos A Produto Defeituoso e Fi Produto da Fábrica i Abordagem tabular 11 Eventos Fi Probabilidade a priori PFi Probabilidade Condicionais PA Fi Probabilidade Conjunta PFi Ո A Probabilidade a posteriori PFi A F1 030 0010 000300 019048 F2 045 0020 000900 057143 F3 025 0015 000375 023810 100 001575 100000 Probabilidade Teorema de Bayes Exemplo 2 Uma caixa contém duas bolas vermelhas e três bolas azuis Duas bolas são retiradas ao acaso uma em seguida da outra e sem que a primeira tenha sido recolocada a Qual é a probabilidade de a segunda bola retirada ser vermelha dado que a primeira era azul 12 Probabilidade Teorema de Bayes Exemplo 2 Uma caixa contém duas bolas vermelhas e três bolas azuis Duas bolas são retiradas ao acaso uma em seguida da outra e sem que a primeira tenha sido recolocada b Qual é a probabilidade de a primeira bola retirada ter sido a azul dado que a segunda era vermelha 13 Probabilidade Teorema de Bayes Exemplo 3 Considere três urnas a primeira contém 10 bolas azuis e 8 vermelhas a segunda 12 bolas azuis e 6 brancas e a terceira 9 bolas vermelhas e 5 brancas a Uma urna é escolhida ao acaso e uma bola é retirada Qual a probabilidade de que essa bola seja branca b Uma urna é escolhida ao acaso e dela retirada uma bola branca Qual a probabilidade de que essa urna seja a segunda PBranca urna 2 618 PBranca urna 3 514 Purna1Purna2Purna3 13 14 6 Probabilidade Teorema de Bayes Exemplo 4 Em um determinado posto de gasolina 40 dos clientes usam gasolina comum A 35 usam gasolina aditivada B e 25 usam gasolina Premium C Dos clientes que usam gasolina comum apenas 30 enchem o tanque Dos que usam gasolina aditivada e Premium respectivamente 60 e 50 enchem o tanque a Qual é a probabilidade de o próximo cliente pedir gasolina aditivada e encher o tanque P Ga Ո E 035 060 021 b Qual é a probabilidade de o próximo cliente encher o tanque C Se o próximo cliente encher o tanque qual é a probabilidade de pedir gasolina comum E gasolina aditivada E gasolina Premium 15 Eventos Gi Probabilidade a priori PGi Probabilidade Condicionais PAGi Probabilidade Conjunta PGi Ո A Probabilidade a Posteriori PGiA Gc 040 0300 012000 026374 Ga 035 0600 021000 046154 Gp 025 0500 012500 027473 100 045500 100000 Resposta 026374 046154 027473 ou 2637 4615 2747 Probabilidade Teorema de Bayes Exemplo 5 A probabilidade de diagnosticar corretamente determinada doença rara é 070 Quando diagnosticada corretamente a probabilidade de cura é 090 Se não for diagnosticada corretamente a probabilidade de cura é 040 Se o paciente com a doença é curado qual é a probabilidade de que tenha sido diagnosticado corretamente PDCR 070 PCDCR 090 PNDCR 030 PCNDRC 040 PDCRC P C 07 09 03 04 075 PDCRC 084 16 Probabilidade Teorema de Bayes Exemplo 6 Em um colégio 5 dos homens e 2 das mulheres têm mais do que 180 m de altura Por outro lado 60 dos estudantes são homens Se um estudante é selecionado aleatoriamente e tem mais de 180m de altura qual a Probabilidade de que o estudante seja mullher Calcular 17 Probabilidade Teorema de Bayes Exemplo 7 Em uma cidade em que o teste do bafômetro é obrigatório 25 dos motoristas têm o hábito de dirigir depois de beber Quando testados 99 dos motoristas que beberam positivam para álcool No entanto 17 dos motoristas que não bebem também positivam no bafômetro Você é um agente da lei Qual é a probabilidade de uma pessoa que positiva no bafômetro realmente ter feito uso de bebida alcoólica Os eventos bebe e não bebe serão indicados pelas letras BB e NB e o fato de positivar no bafômetro por e respectivamente P BB 18 Probabilidade Teorema de Bayes Exemplo 8 Uma urna contém cinco bolas duas são vermelhas três são azuis Uma segunda urna contém sete bolas três são vermelhas quatro são azuis Retirase uma bola ao acaso de uma das urnas Se for de cor azul qual é a probabilidade de que essa bola tenha sido retirada da primeira urna 19 Probabilidade Teorema de Bayes Exemplo 9 Em uma cidade onde carros têm que ser avaliados para controle de emissão de poluentes 25 de todos os carros testados emitem quantidades excessivas de poluentes No entanto o teste não é perfeito e pode indicar resultados errados Desta forma carros que emitem excesso de poluentes podem não ser detectados pelo teste e carros que não emitem excesso de poluentes podem ser considerados erroneamente fora do padrão de emissão Quando efetivamente testados 99 dos carros fora do padrão são detectados e 17 dos carros em bom estado são considerados fora do padrão por erro do teste Qual é a probabilidade de que um carro reprovado pelo teste emita realmente excesso de poluentes 20 Probabilidade Teorema de Bayes Exemplo 9 Considere que A é o evento de que um carro seja reprovado no teste B1 seja o evento de que ele emite quantidade excessiva de poluentes B2 seja o evento de que o carro esteja dentro das normas de emissão de poluentes Então PB1 025 PB2 075 PAB1 099 PAB2 017 Pedese para calcularmos PB1A Existe um PA vindo pelo evento B1 e um PA vindo pelo evento B2 PB1A PB1PAB1 PB1PAB1 PB1PAB2 066 21 Exemplo 10 Uma urna X tem 6 bolas brancas e 4 azuis A urna Y tem 3 bolas brancas e 5 azuis Passamse duas bolas de X para Y e a seguir retirase duas bolas de Y com reposicao Sabendose que ocorreram duas bolas azuis qual a probabilidade que duas tenham sido transferidas de X para Y 77 Tal Wall Vall ee 10 9 10 10 9000 750588864864 3066 7 1 P2A aw wa wal eer eT earn eYerare ereTaTe a7 Tal Wall Vall 10 9 10 10 9000 PAABO AD A2 10 9 10 10 9000 P2A2AP2AN 2A P2A 588 588 Ca 7D een TCH 9000 3066 ee Probabilidade Teorema de Bayes Exemplo 11 Problema de Monty Hall O problema de Monty Hall ou paradoxo de Monty Hall é um problema matemático e paradoxo que surgiu a partir de um concurso televisivo dos Estados Unidos da América chamado Lets Make a Deal exibido na década de 1970 O jogo consiste no seguinte Monty Hall o apresentador apresentava 3 portas aos concorrentes sabendo que atrás de uma delas está um carro prêmio bom e que as outras têm prêmios de pouco valor um bode 1 Na 1ª etapa o concorrente escolhe uma porta que ainda não é aberta 2 Em seguida Monty abre uma das outras duas portas que o concorrente não escolheu sabendo à partida que o carro não se encontra aí 3 Agora com duas portas apenas para escolher e sabendo que o carro está atrás de uma delas o concorrente tem que se decidir se permanece com a porta que escolheu no início do jogo e abrea ou se muda para a outra porta que ainda está fechada para então a abrir Qual é a estratégia mais lógica Ficar com a porta escolhida inicialmente ou mudar de porta 23 Probabilidade Teorema de Bayes 24 A probabilidade de ganhar o carro mantendo a porta inicialmente escolhida é 13 A probabilidade de ganhar trocando a porta inicialmente escolhida é 23 A solução usando Teorema de Bayes pode ser vista no link abaixo httpclubesobmeporgbrblogprobabilidadesoproblemademontyhal Probabilidade Teorema de Bayes Exemplo 11 Problema de Monty Hall 25 Probabilidade Teorema de Bayes Exemplo 12 Imagine que você mora com sua namoradao Voltando de uma viagem de negócios você encontra uma peça intima desconhecida na gaveta do armário Automaticamente seu cérebro irá se perguntar qual é a probabilidade de eu ter sido traído A condição encontrada é a roupa íntima encontrada a hipótese que você deseja considerar é uma traição O teorema de Bayes é a melhor forma de você abordar este constrangedor questionamento mas para isto você terá que saber algumas coisas 1 qual a probabilidade da aparição de uma roupa íntima numa condição em que a hipótese seja verdadeira ou seja em que houve mesma a traição Se ela está traindo você não seria difícil imaginar como a peça intima foi parar na gaveta Então mesmo que ela esteja te traindo você imagina que fosse mais cuidadosa Digamos que a probabilidade da peça intima aparecer como condição para a traição é de 50 2 qual a probabilidade de surgimento da peça intima numa condição em que a hipótese seja falsa Se ela não está te traindo existe alguma explicação para justificar a peça intima As explicações parecem ser insustentáveis então considere 5 26 httpswwwfm2scombrteoremadebayes Probabilidade Teorema de Bayes Exemplo 12 3 A última e mais importante é a probabilidade prévia Em quanto você estimaria a probabilidade de uma traição antes de encontrar a peça intima Temos que ser objetivos sobre esta probabilidade e esquecer a raiva momentânea Segundo um estudo do General Social Survey 147 das mulheres americanas traem Mas como somos brasileiros vamos considerar inicialmente 4 e depois refazer os cálculos considerando 30 Qual a probabilidade de uma traição levando em conta que encontramos uma peça intima no armário de casa 27 httpswwwfm2scombrteoremadebayes Exemplo 12 Probabilidade Prévia Estimativa inicial de chances de traicdo a eee Fato nova A cueca misteriosa é achada Probabilidade do surgimento da cueca com PCT50 traicao Probabilidade do surgimento da cueca sem PCS5 traicao Probabilidade Posteriori Estimativa revisada da probabilidade de PTPC T traigao considerando que achou a cueca PTPCT PCS PCT 004 050 002 002 P iO 0294129 4 004 050005096 0020048 0068 03 050 BES Para PT 30 P 08108 8108 03050005070 0150035 A probabilidade prévia é determinante para o calculo da traiao os httpswwwfm2scombrteoremadebayes Teorema da Probabilidade Total Exemplo 13 As máquinas A e B são responsáveis por 70 e 30 respectivamente da produção de uma empresa A máquina A produz 2 de peças defeituosas e a máquina B produz 8 de peças defeituosas Qual probabilidade de uma peça ser defeituosa ser colocada no mercado PA 70 070 PB 30 030 PDA 2 PDB 8 PD PDAPA PDBPB Teorema da Probabilidade Total PD 002 070 008 030 0038 ou 38 29 Teorema da Probabilidade Total Exemplo 14 Considere duas urnas Uma bola é retirada da urna A e transferida para a urna B a Qual a probabilidade da segunda bola retirada de B ser preta 30 Teorema da Probabilidade Total Exemplo 14 b Qual a probabilidade da primeira bola ser Preta sabendo que a segunda bola foi preta 𝟏 𝟖 𝟓 𝟏𝟔 31 Teorema da Probabilidade Total Exemplo 14 c Qual a probabilidade da primeira bola ser vermelha sabendo que a segunda bola foi vermelha 32 Dúvidas Obrigado e até a próxima aula 33