P2 - Cálculo Diferencial e Integral 3 - 2018-1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - UFCG Centro de Ciências e Tecnologia - CCT Cálculo III - UAMat Professores: Marcelo e Marco Aurélio Período: 2018.1 ALUNO(A): 21/06/2018 Prova de Segundo Estágio (1) (Valor 1,5 pts) A temperatura na posição \(x, y\) contida em uma certa região do plano-xy é dada por \[T(x, y) = x^2 e^{-y}.\] (a) Qual a direção de maior crescimento para \(T\) na posição \((2, 1)\); (b) Qual a taxa de crescimento de \(T\) na direção obtida no item anterior. (2) (Valor 1,5 pts) Dois resistores com resistências \(R_1\) e \(R_2\) estão conectados em paralelo. A resistência \(R\) equivalente é dada pela fórmula \[\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}.\] Se \(R_1 = 100\) ohms ±5% e \(R_2 = 25\) ohms ±2%, use diferenciais para estimar, em termos percentuais, o erro máximo que pode ter sido cometido no valor calculado de \(R\). (3) (Valor 1,5 pts) Encontre os pontos críticos de \(f(x, y) = 2x^3 - 6xy + 3y^2\). Classifique-os utilizando o teste da segunda derivada. (4) (Valor 2,0 pts) Utilize o multiplicador de Lagrange para determinar os valo- res máximo e mínimo de \(f(x, y, z) = xyz\) sujeita à restrição \(x^2 + y^2 + z^2 = 3\). (5) (Valor 1,5 pts) Calcule \(\iint_R \cos(x^2)\ dA\), onde \(R\) é a região delimitada pelo triângulo de vértices \((0, 0)\), \((1, 0)\) e \((1, 1)\). (6) (Valor 2,0 pts) Calcule \(\iint_R \frac{2xy}{x^2 + y^2}\ dA\), onde \(R\) é a região delimitada pelos semiplanos \(x \ge 0\), \(y \ge 0\) e pelos círculos \(x^2 + y^2 = 1\) e \(x^2 + y^2 = 4\). Boa Prova