Slide - Teorema Fundamental Linhas - 2023-2

16 Cálculo Vetorial Independência do Caminho Conservação de Energia 24 4 O Teorema Fundamental das Integrais de Linha 5 O Teorema Fundamental das Integrais de Linha (1 de 1) Se consideramos o vetor gradiente ∇f de uma função f de duas ou três Variáveis como uma espécie de derivada de f, então o teorema seguinte pode ser visto como uma versão do Teorema Fundamental do Cálculo para as integrais de linha. 2 Teorema Seja C uma curva suave dada pela função vetorial r(t ), a ≤ t ≤ b. Seja f uma função diferenciável de duas ou três variáveis cujo vetor gradiente é contínuo em C. Então, ( ( ) ) ( ( ) ) C f d f b f a ∇ ⋅ = − ∫ r r r ∇f 6 Exemplo 1 Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional ( ) 3 F x = − mMG x x ao mover uma partícula de massa m do ponto (3, 4, 12) para o ponto (2, 2, 0) ao longo da curva suave por partes C. Solução: Sabemos que F é um campo vetorial conservador e, de fato, F = ∇f, onde ( ) 2 2 2 , , mMG f x y z x y z = + + 7 Exemplo 1 – Solução Portanto, pelo Teorema 2, o trabalho realizado é ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2, 2, 0 3, 4,12 2 2 3 4 12 1 1 13 2 2 C C W d f d f f mMG mMG mMG = ⋅ = ∇ ⋅ = − = − + + +   = −     ∫ ∫ F r r 9 Independência do Caminho (1 de 7) Suponha que C1 e C2 sejam curvas suaves por partes (denominadas caminhos) que têm o mesmo ponto inicial A e o mesmo ponto final B. Sabemos que, em geral, 1 2 . C C d d ⋅ ≠ ⋅ ∫ ∫ F r F r Entretanto, comentamos na 1 2 C C f d f d ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∫ ∫ r r sempre que ∇f for contínua (veja a Figura 2). Em outras palavras, a integral de linha de um campo vetorial conservativo depende somente das extremidades da curva. Observação 2 que 10 Independência do Caminho (2 de 7) Em geral, se F for um campo vetorial contínuo com domínio D, dizemos que a integral de linha é independente do caminho se C ∫ F ⋅d r 1 2 C C d d ⋅ = ⋅ ∫ ∫ F r F r para qualquer caminho C1 e C2 em D que tenham os mesmos pontos iniciais e finais. Com essa terminologia, podemos dizer que as integrais de linha de campos vetoriais conservativos são independentes do caminho. Uma curva é denominada fechada se seu ponto final coincide com seu ponto inicial, ou seja, r(b) = r(a) (Veja a Figura 3.) Figura 3 Uma curva fechada 11 Independência do Caminho (3 de 7) Se C ∫ F ⋅d r é independente do caminho em D e C é uma curva fechada em D, podemos escolher quaisquer dois pontos A e B sobre C e olhar C como composta por um caminho C1 de A a B seguido de um caminho C2 de B a A. (Veja a Figura 4.) Figura 4 12 Independência do Caminho (4 de 7) Então, 1 2 1 2 0 C C C C C d d d d d − ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ F r F r F r F r F r já que C1 e −C2 têm os mesmos pontos inicial e final. Por outro lado, se é verdade que 0 C ⋅d = ∫ F r sempre que C for um caminho fechado em D, podemos demonstrar a independência do caminho da seguinte forma. Tome quaisquer dois caminhos C1 e C2 de A a B em D e defina C como a curva constituída por C1 seguida por −C2. 13 Independência do Caminho (5 de 7) Então, 1 2 1 2 0 C C C C C d d d d d − = ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ F r F r F r F r F r e, assim, 1 2 . C C d d ⋅ = ⋅ ∫ ∫ F r F r Assim, demonstramos o seguinte teorema: 3 Teorema C ∫ F ⋅d r é independente do caminho em D se e somente se 0 C ⋅d = ∫ F r para todo caminho fechado C em D. Como sabemos que a integral de linha de qualquer campo vetorial conservativo F é independente do caminho, segue que 0 C ⋅d = ∫ F r para qualquer caminho fechado. 14 Independência do Caminho (6 de 7) A interpretação física é que o trabalho realizado por qualquer campo de força conservativo para mover um objeto ao redor de um caminho fechado é 0. O teorema a seguir diz que todos os campos vetoriais independentes do caminho são conservativos. Ele foi enunciado e demonstrado para curvas planas, mas existe uma versão espacial desse teorema. Admita que D seja aberto, o que significa que para todo ponto P em D existirá uma bola aberta com centro em P inteiramente contida em D. Além disso, vamos supor que D seja conexo por caminhos: isso significa que quaisquer dois pontos em D podem ser ligados por um caminho que se encontra em D. 15 Independência do Caminho (7 de 7) 4 Teorema Suponha que F seja um campo vetorial contínuo em uma região aberta conexa por caminhos D. Se então F é um campo vetorial conservativo em D, ou seja, existe uma função f tal que ∇f = F. C ∫ F ⋅d r for independente do caminho em D, 16 Campos Vetoriais Conservativos e Funções Potencial 17 Campos Vetoriais Conservativos e Funções Potencial (1 de 5) A questão permanece: como é possível saber se um campo vetorial F é conservativo ou não? Suponha que saibamos que F = P i + Q j é conservativo, onde P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Então existe uma função f tal que F = ∇f, ou seja, 𝑃𝑃 = 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 e 𝑄𝑄 = 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 18 Campos Vetoriais Conservativos e Funções Potencial (2 de 5) Portanto, pelo Teorema de Clairaut, 2 2 P f f Q y y x x y x ∂ ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 5 Teorema Se F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y), j é um campo vetorial conservativo, onde P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio D, então em todos os pontos de D temos P Q y x ∂ = ∂ ∂ ∂ A recíproca do Teorema 5 só é verdadeira para um tipo especial de região. 19 Campos Vetoriais Conservativos e Funções Potencial (3 de 5) Para explicarmos isso, precisamos do conceito de curva simples, que é uma curva que não se autointercepta em nenhum ponto entre as extremidades. [Veja a Figura 7; r(a) = r(b) para uma curva fechada simples, mas r(t1) ≠ r(t2) quando hen a < t1 < t2 < b.] Figura 7 Tipos de curvas 20 Campos Vetoriais Conservativos e Funções Potencial (4 de 5) No Teorema 4, precisamos de região conexa por caminhos. Para o próximo teorema, precisaremos de uma condição mais forte. Uma região simplesmente conexa no plano é uma região conexa por caminhos D tal que toda curva fechada simples em D inclui apenas os pontos que estão em D. Observe a partir da Figura 8 que, intuitivamente falando, uma região simplesmente conexa não contém nenhum buraco e não podem consistir em duas regiões separadas. Figura 8 21 Campos Vetoriais Conservativos e Funções Potencial (5 de 5) Para regiões simplesmente conexas podemos agora enunciar a recíproca do Teorema 5, que fornece um processo conveniente para verificar se um campo vetorial em ℝ2 é conservativo. 6 Teorema Se F = P i + Q j é um campo vetorial conservativo, onde P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio D, então em todos os pontos de D temos 𝜕𝜕𝑃𝑃 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝜕𝜕𝑄𝑄 𝜕𝜕𝜕𝜕 em todo o 𝐷𝐷 Então F é conservativo. 22 Exemplo 2 Determine se o campo vetorial fornecido é ou não conservativo. (a) F(x, y) = (x − y) i + (x − 2) j (b) = + + 2 − 2 ( , ) (3 2 ) ( 3 ) x y xy x y F i j Solução: (a) Sejam P(x, y) = x - y e Q(x, y) = x - 2. Então, ∂ ∂ = − = ∂ ∂ 1 1 P Q y x Como ∂ ≠ ∂ ∂ ∂ , P Q y x F pelo Teorema 5, F não é conservativo. 23 Exemplo 2 – Solução (b) Seja P(x, y) = 3 + 2xy e 2 2 ( , ) 3 . Q x y x y = − Então, ∂ ∂ = = ∂ ∂ 2 P Q x y x Além disso, o domínio de F é o plano inteiro 𝐷𝐷 = ℝ2 , que é aberto e Simplesmente conexo. Portanto, podemos aplicar o Teorema 6 e concluir que F é conservativo. 25 Conservação de Energia (1 de 5) Vamos aplicar as ideias deste capítulo a um campo de força contínuo F que move um objeto ao longo de um caminho C dado por r(t ), a ≤ t ≤ b, onde r(a) = A é o ponto inicial e r(b) = B é o ponto terminal de C. De acordo com a Segunda Lei do Movimento de Newton, a força F(r(t )) a um ponto em C está relacionada com a aceleração a(t ) = r″(t ) pela a equação ( ( ) ) ( ) t m t = F r r″ Assim, o trabalho realizado pela força sobre o objeto é ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) b b C a a W d t t dt m t t dt = ⋅ = ⋅ = ⋅ ∫ ∫ ∫ F r F r r r r ′ ″ ′ 26 Conservação de Energia (2 de 5) ( ) ( ) 2 b a m d t t dt dt ′ ′   = ⋅   ∫ r r ( ) ( ) 2 2 2 2 b b a a m d m t dt t dt   ′ ′ = =     ∫ r r (Teorema Fundamental do Cálculo) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 m b a = − r r ′ ′ Portanto, ( ) ( ) = − 2 2 1 1 2 2 W m b m a 15 v v onde v = r′ é a velocidade. 27 Conservação de Energia (3 de 5) A quantidade ( ) 2 1 , 2 m v t ou seja, a metade da massa multiplicada pelo ( ) ( ) = − W K B K A 16 que diz que o trabalho realizado pelo campo de forças ao longo do caminho C é igual à variação da energia cinética nas extremidades de C. Agora vamos admitir que F seja um campo de forças conservativo, ou seja, podemos escrever F = ∇f. quadrado da velocidade escalar, é chamada energia cinética do objeto. Portanto, podemos reescrever a Equação 15 como 28 Conservação de Energia (4 de 5) Em física, a energia potencial de um objeto no ponto de (x, y, z) é definida como P(x, y, z) = -f (x, y, z), portanto temos F = -∇P. Então, pelo Teorema 2, temos ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) F C C W d P d P b P a P A P B   = ⋅ = − ∇ ⋅ = − −   = − ∫ ∫ r r r r 29 Conservação de Energia (5 de 5) Comparando essa equação com a Equação 16, vemos que P(A) + K(A) = P(B) + K(B) que diz que, se um objeto se move de um ponto A para outro B sob a influência de um campo de forças conservativo, então a soma de sua energia potencial e sua energia cinética permanece constante. Essa é a chamada Lei da Conservação de Energia e é a razão pela qual o campo vetorial é denominado conservativo.