Slide - Teorema de Green - 2023-2

16 Cálculo Vetorial 16.4 Teorema de Green Teorema de Green 4 5 Teorema de Green (1 de 4) Seja C uma curva fechada simples e seja D a região delimitada por C, como mostrado na Figura 1. (Assumimos que D é constituído por todos os pontos dentro de C, bem como todos os pontos de C.) Figura 1 6 Teorema de Green (2 de 4) Ao enunciarmos o Teorema de Green, usamos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples C refere-se ao sentido anti-horário de C, percorrido uma só vez. Assim, se C é dada pela função vetorial r(t ), a ≤ t ≤ b, então a região D está sempre do lado esquerdo quando r(t ) percorre C. (Veja a Figura 2.) Figura 2 (a) Orientação positiva (b) Orientação negativa 7 Teorema de Green (3 de 4) Teorema de Green Seja C uma curva plana simples, fechada, contínua por partes, orientada positivamente, e seja D a região delimitada por C. Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D, então C D Q P P dx Qdy dA x y   ∂ ∂ + = −   ∂ ∂   ∫ ∫∫ 8 Exemplo 1 Calcule 4 , C x dx + xy dy ∫ onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de (0, 0) a (1, 0), de (1, 0) a (0, 1) e de (0, 1) a (0, 0). Solução: Apesar desta integral poder ser calculada pelos métodos usuais da Seção 16.2, isso envolveria o cálculo de três integrais separadas sobre os três lados do triângulo. Em vez disso, vamos usar o Teorema de Green. Observe que a região D englobada por C é simples e que C tem orientação positiva (veja a Figura 4). Figura 4 9 Exemplo 1 – Solução Se tomarmos ( ) 4 , P x y = x e Q(x, y) = xy, então teremos ( ) ( ) ( ) 4 1 1 0 0 1 1 2 0 0 1 2 0 1 3 0 0 1 2 1 1 2 1 1 6 1 6 C D x y x y Q P x dx xy dy dA x y y dy dx y dx x dx x − = − =   ∂ ∂ + = −   ∂ ∂   = −   =     = −  = − −  = ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 10 Teorema de Green (4 de 4) No Exemplo 1, consideramos que a integral dupla era mais fácil de calcular que a integral de linha. Mas às vezes é mais simples calcular a integral de linha, e, nesses casos, usaremos o Teorema de Green na ordem inversa. Por exemplo, se sabemos que P(x, y) = Q(x, y) = 0 sobre uma curva C, então o Teorema de Green fornece 0 C D Q P dA P dx Qdy x y   ∂ − ∂ = + =   ∂ ∂   ∫∫ ∫ não importando quais os valores das funções P e Q em D. 11 Determinando Áreas com o Teorema de Green 12 Determinando Áreas com o Teorema de Green (1 de 4) Outra aplicação da direção inversa do Teorema de Green está no cálculo de áreas. Como a área de uma região D é tais que 1 ∫∫D dA, desejamos escolher P e Q 1 Q P x y ∂ − ∂ = ∂ ∂ Existem várias possibilidades: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 0 , , 2 1 , , 0 , 2 P x y P x y y P x y y Q x y x Q x y Q x y x = = − = − = = = 13 Determinando Áreas com o Teorema de Green (2 de 4) Assim, o Teorema de Green dá as seguintes fórmulas para a área de D: = = − = − ∫ ∫ ∫ 1 2 C C C A x dy y dx x dy y dx 5 Exemplo 3 Determine a área delimitada pela elipse \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\). Solução: A elipse tem equações paramétricas \(x = a \cos t\) e \(y = b \sin t\), onde \(0 \le t \le 2\pi\). Usando a terceira fórmula da Equação 5, temos \(A = \frac{1}{2} \int_{C} xdy - ydx\) \(= \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (a \cos t)(b \cos t)dt - (b \sin t)(-a \sin t)dt\) \(= \frac{ab}{2} \int_{0}^{2\pi} dt = \pi ab\) 15 Determinando Áreas com o Teorema de Green (3 de 4) A Fórmula 5 pode ser usada para explicar como funcionam os planímetros. Um planímetro é um engenhoso instrumento mecânico inventado no século XIX para medir a área de uma região seguindo o traçado de sua fronteira. 16 Determinando Áreas com o Teorema de Green (4 de 4) A Figura 5 mostra o funcionamento de um planímetro polar: o polo é fixo e, como o traçador é movido ao longo da curva limite da região, a roda desliza parcialmente e parcialmente rola perpendicular ao braço do traçador. O planímetro mede a distância a que a roda gira e é proporcional à área da região fechada. Figura 5 Um planímetro polar Keuffel e Esser 17 Versões estendidas do Teorema de Green 18 Versões estendidas do Teorema de Green (1 de 6) Apesar de termos demonstrado o Teorema de Green somente para o caso particular onde D é simples, podemos estendê-lo agora para o caso em que D é a união finita de regiões simples. Por exemplo, se D é uma região como a mostrada na Figura 6, então podemos escrever 1 2, D D D = U onde D1 e D2 são ambas simples. Figura 6 19 Versões estendidas do Teorema de Green (2 de 6) A fronteira de 𝐶𝐶1 ∪ 𝐶𝐶3e a fronteira de 𝐷𝐷2é 𝐶𝐶2 ∪ −𝐶𝐶3 ; portanto, aplicando o Teorema de Green separadamente, obtemos ( ) 1 3 1 2 3 2 C C D C C D Q P P dx Qdy dA x y Q P P dx Qdy dA x y −   ∂ ∂ + = −   ∂ ∂     ∂ ∂ + = −   ∂ ∂   ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ U U 20 Versões estendidas do Teorema de Green (3 de 6) Se somarmos essas duas equações, as integrais de linha sobre C3 e -C3 se cancelam e obtemos 1 2 C C D Q P P dx Qdy dA x y   ∂ ∂ + = −   ∂ ∂   ∫ ∫∫ U que é o Teorema de Green para 1 2, D D D = U uma vez que sua fronteira é 𝐶𝐶 = 𝐶𝐶1 ∪. O mesmo tipo de argumentação nos permite estabelecer o Teorema de Green para qualquer união finita de regiões simples que não se sobreponham (veja a Figura 7). Figura 7 21 Exemplo 4 Calcule 2 3 , C y dx + xy dy ∫ onde C é o limite da região semianular D contida no semiplano superior entre os círculos 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2 = 1 e 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2 = 4. Solução: Observe que, apesar de D não ser simples, o eixo y divide em duas regiões simples (veja a Figura 8). Em coordenadas polares, podemos escrever ( ) { } , |1 2, 0 D r r θ θ π = ≤ ≤ ≤ ≤ Figura 8 Exemplo 4 – Solução Portanto, o Teorema de Green fornece \(\oint_{C} y^2dx + 3xydy = \iint_{D} \left[\frac{\partial}{\partial x}(3xy) - \frac{\partial}{\partial y}(y^2)\right]dA\) \(= \iint_{D} ydA\) \(= \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} (r \sin \theta)rdrd\theta\) \(= \int_{0}^{\pi} \sin \theta d\theta \int_{1}^{2} r^2 dr\) \(= \left[-\cos \theta\right]_{0}^{\pi} \left[\frac{1}{3}r^3\right]_{1}^{2} = \frac{14}{3}\) 23 Versões estendidas do Teorema de Green (4 de 6) O Teorema de Green pode ser aplicado para regiões com furos, ou seja, regiões que não são simplesmente conexas. Observe que a fronteira C da região D na Figura 9 é constituída por duas curvas fechadas simples C1 e C2. Assumimos que estas curvas de contorno são orientadas de modo que a região D está sempre do lado esquerdo enquanto a curva C é percorrida. Assim, o sentido anti-horário é positivo para a curva exterior e C1, mas no sentido horário para o interior da curva C2. Figura 9 24 Versões estendidas do Teorema de Green (5 de 6) Se dividirmos D em duas regiões D′ e D″, pela introdução das retas mostradas na Figura 10, e então aplicarmos o Teorema de Green a cada uma das regiões D′ e D″, obteremos D D D D D Q P Q P Q P dA dA dA x y x y x y P dx Qdy P dx Qdy ∂ ∂       ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − = − + −       ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂       = + + + ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ′ ″ ′ ″ Figura 10 25 Versões estendidas do Teorema de Green (6 de 6) Como as integrais de linha sobre a fronteira comum são em sentidos opostos, elas se cancelam e obtemos 1 2 C C C D Q P dA P dx Qdy P dx Qdy P dx Qdy x y   ∂ − ∂ = + + + = +   ∂ ∂   ∫∫ ∫ ∫ ∫ que é o Teorema de Green para a região D.