Slide - o Teorema do Divergente - 2023-2

16 Cálculo Vetorial 16.9 O Teorema do Divergente 3 O Teorema do Divergente (1 de 10) Escrevemos o Teorema de Green na versão vetorial ( ) div , C D ds x y dA ⋅ = ∫ ∫∫ F n F onde C é a fronteira positivamente orientada da região do plano D. Se quisermos estender esse teorema para campos de vetores em ℝ3, podemos fazer a suposição de que ( ) ⋅ = ∫∫ ∫∫∫div , , S E dS F x y z dV 1 F n onde S é a superfície fronteira da região sólida E. 4 O Teorema do Divergente (2 de 10) A Equação 1 é verdadeira sob hipóteses apropriadas e é chamada Teorema do Divergente. Observe sua semelhança com os Teoremas de Green e de Stokes, pois ele relaciona a integral da derivada de uma função (div F, nesse caso) sobre uma região com a integral da função original F sobre a fronteira da região. Enunciaremos e demonstraremos o Teorema do Divergente para regiões E que são, simultaneamente, dos tipos 1, 2 e 3 e que chamamos de regiões sólidas simples. (Por exemplo, as regiões delimitadas por elipsoides ou caixas retangulares são simples regiões sólidas.) 5 O Teorema do Divergente (3 de 10) A fronteira de E é uma superfície fechada e usaremos a convenção de que a orientação positiva é para fora, ou seja, o vetor normal unitário n apontará para fora de E. O Teorema do Divergente Seja E uma região sólida simples e seja S a superfície fronteira de E, orientada positivamente (para fora). Seja F um campo vetorial cujas funções componentes tenham derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contenha E. Então, div S E d dV ⋅ = ∫∫ ∫∫∫ F S F Portanto, o Teorema do Divergente afirma que, sob as condições dadas, o fluxo de F pela fronteira de E é igual à integral tripla da divergência de F em E. 6 Exemplo 1 Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = z i + y j + x k sobre a unidade esférica 2 2 2 1. x y z + + = Solução: Primeiro calcularemos o divergente de F: ( ) ( ) ( ) div 1 z y x x y z ∂ ∂ ∂ = + + = ∂ ∂ ∂ F A esfera unitária S é a fronteira da bola unitária B dada por 2 2 2 1. x y z + + ≤ 7 Exemplo 1 – Solução Então, o Teorema do Divergente dá o fluxo como ( ) ( ) 3 div 1 4 1 3 4 3 S B B d dV dV V B π π ⋅ = = = = = ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ F S F 8 O Teorema do Divergente (4 de 10) Vamos considerar a região E que está entre as superfícies fechadas S1 e S2, onde S1 está dentro de S2. Sejam n1 e n2 as normais apontando para fora de S1 e S2. Então, a fronteira de E é S = S1 ∪ S2 e a sua normal n é dada por n = −n1 em S1 e n = n2 em S2. (Veja a Figura 3.) Figura 3 9 O Teorema do Divergente (5 de 10) Aplicando o Teorema do Divergente para S, obtemos ( ) ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ − + ⋅ = − ⋅ + ⋅ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 1 2 1 2 1 2 div E S S S S S S dV d dS dS dS d d F F S F n F n F 7 F n F S S 10 Exemplo 3 Consideramos o campo elétrico ( ) 3 E x = εQ x x onde a carga elétrica Q está localizada na origem e é um vetor , , z = x y x posição. Use o Teorema do Divergente para mostrar que o fluxo elétrico de E através de qualquer superfície fechada S2 que inclui a origem é 2 4 S d πεQ ⋅ = ∫∫E S 11 Exemplo 3 – Solução (1 de 3) A dificuldade é que não temos uma equação explícita para S porque S é qualquer superfície fechada envolvendo a origem. Seja S1 uma esfera centrada na origem e com raio a, onde a é pequeno o suficiente para que S1 esteja contida na região interna a S. Nesse caso, a Equação 7 fornece = − ⋅ + ⋅ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ 1 div E S S dV d E d 8 E E S S Você pode constatar que div E = 0. Dessa forma, de (8) temos 1 S S d d ⋅ = ⋅ ∫∫ ∫∫ E S E S 12 Exemplo 3 – Solução (2 de 3) O ponto importante nesse cálculo é que podemos calcular a integral de superfície sobreS1 porque S1 é uma esfera. O vetor normal em x é x/|x|. Portanto, 3 4 2 2 Q Q Q Q a ε ε ε ε   ⋅ = ⋅ = ⋅ = =       x E n x x x x x x x uma vez que a equação de S1 é x = .a 13 Exemplo 3 – Solução (3 de 3) Assim, temos ( ) ε ε ε π πε ⋅ = ⋅ = = = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ 2 1 2 2 2 2 1 1 4 4 S S S Q Q Q d d dS A S a Q a a a E S E n S Isso mostra que o fluxo elétrico de E é 4πεQ através de qualquer superfície que contenha a origem. [Esse é um caso especial da Lei de Gauss para uma única carga.]. A relação entre ε e ε0 é ( ) 0 1 .] 4 ε πε = 14 O Teorema do Divergente (6 de 10) Outra aplicação do Teorema do Divergente aparece no escoamento de fluidos. Seja v(x, y, z) o campo de velocidade de um fluido com densidade constante ρ. Então, F = ρv é a taxa de vazão do fluido por unidade de área. 15 O Teorema do Divergente (7 de 10) Se P0(x0, y0, z0) é um ponto no fluido e Ba é uma bola com centro em P0 e raio muito pequeno a, então div F(P) ≈ div F(P0) para todos os pontos em Ba, uma vez que div F é contínuo. Aproximamos o fluxo sobre a fronteira esférica Sa como segue: ( ) ( ) ( ) 0 0 div div div a S B B a a a d dV P dV P V B ⋅ = ≈ = ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ F S F F F Essa aproximação se torna melhor à medida que a → 0 e sugere que ( ) ( ) = → ⋅ ∫∫ 0 0 1 div lim a a Sa P d V B F S 9 F 16 O Teorema do Divergente (8 de 10) A Equação 9 diz que div F(P0) é a taxa líquida de fluxo para o exterior por unidade de volume em P0. (Essa é a razão para o nome divergente.) Se div F(P) > 0, o fluxo líquido é exteriormente perto de P e P é chamado uma fonte. Se div F(P) < 0, o escoamento total perto de P é para dentro e P é denominado sorvedouro. 17 O Teorema do Divergente (9 de 10) Para o campo vetorial da Figura 4, parece que os vetores que terminam próximo de P1 são menores que os vetores que iniciam perto do mesmo ponto P1. Figura 4 Campo vetorial F = 𝑥𝑥2i + 𝑦𝑦2j 18 O Teorema do Divergente (10 de 10) Então, o fluxo total é para fora perto de P1, assim div F(P1) > 0 e P1 é uma fonte. Por outro lado, perto de P2, os vetores que chegam são maiores que os que saem. Aqui o fluxo total é para dentro, assim div F(P2) < 0 e P2 é um sorvedouro. Podemos usar a fórmula para F para confirmar essa impressão. Uma vez que 2 2 x y = + F i j, temos div F = 2x + 2y, que é positivo quando y > −x. Assim, os pontos acima da linha y = −x são fontes e os que estão abaixo são sorvedouros.