Slide - Teorema de Stokes - 2023-2

16 Cálculo Vetorial 16.8 Teorema de Stokes Teorema de Stokes (3 de 11) Como ∮C F ⋅ dr = ∮C F ⋅ T ds e ∬S curl F ⋅ dS = ∬S curl F ⋅ n dS O Teorema de Stokes nos diz que a integral de linha em torno da curva fronteira de S da componente tangencial de F é igual à integral de superfície sobre S da componente normal do rotacional de F. A curva na fronteira orientada positivamente da superfície orientada S é com frequência denotada por ∂S, de modo que o Teorema de Stokes pode ser escrito como 1 ∬S curl F ⋅ dS = ∮∂S F ⋅ dr 5 4 Teorema de Stokes (2 de 11) A orientação de S induz a orientação positiva da curva fronteira C mostrada na figura. Isso significa que, se você andar na direção positiva ao redor da curva C com sua cabeça na direção e sentido de n, então a superfície estará sempre à sua esquerda. Teorema de Stokes Seja S uma superfície orientada, suave por partes, cuja fronteira é formada por uma curva C fechada, simples, suave por partes, com orientação positiva. Seja F um campo vetorial cujas componentes têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta de ℝ3 que contém S. Então, curl C S d d ⋅ = ⋅ ∫ ∫∫ F r F S 6 Teorema de Stokes (4 de 11) Existe uma analogia entre o Teorema de Stokes, o de Green e o Teorema Fundamental do Cálculo. Como anteriormente, existe uma integral envolvendo derivadas do lado esquerdo da Equação 1 (lembre-se de que rot F é uma espécie de derivada de F) e do lado direito, envolvendo valores de F calculados somente na fronteira de S. 7 Teorema de Stokes (5 de 11) De fato, no caso especial em que a superfície S é plana e pertence ao plano xy, com orientação ascendente, o vetor normal unitário é k, a integral de superfície se transforma em uma integral dupla, e o Teorema de Stokes fica ( ) curl curl C S S d d dA ⋅ = ⋅ = ⋅ ∫ ∫∫ ∫∫ F r F S F k Essa é precisamente a forma vetorial do Teorema de Green. Assim, vemos que o Teorema de Green é realmente um caso especial do Teorema de Stokes. Exemplo 1 Calcule ∫C F ⋅ dr, onde F(x, y, z) = −y^2 i + x j + z^2 k é a curva da interseção do plano y + z = 2 com o cilindro x^2 + y^2 = 1. Oriente C no sentido anti-horário quando observado de cima. Solução: A curva C (uma elipse) está mostrada na Figura 3. 9 Exemplo 1 – Solução (1 de 3) Apesar de C ∫ F⋅d r poder ser calculada diretamente, é mais simples usar o Teorema de Stokes. Vamos inicialmente calcular ( ) 2 2 curl 1 2y x y z y x z ∂ ∂ ∂ = = + ∂ ∂ ∂ − i j k F k O Teorema de Stokes nos permite escolher qualquer superfície (orientada, suave por partes) com fronteira C. Entre as muitas superfícies possíveis nesse caso, a escolha mais conveniente é a região elíptica S no plano y + z = 2 cuja fronteira é C. 10 Exemplo 1 – Solução (2 de 3) Se orientarmos S para cima, em seguida, C tem a orientação induzida positiva. A projeção D de S no plano xy é o disco 2 2 1 x + y ≤ e, portanto, usando a equação S D g g d P Q R dA x y   ∂ ∂ ⋅ = − − +   ∂ ∂   ∫∫ ∫∫ F S com z = g (x, y) = 2 - y, temos ( ) ( ) 2 1 0 0 curl 1 2 1 2 sin C S D d d y dA r r dr d π θ θ ⋅ = ⋅ + + = + ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ F r F S Exemplo 1 – Solução (3 de 3) = ∫0^2π [r^2/2 + 2/3 r^3 sen θ]₀¹ dθ = ∫0^2π (1/2 + 2/3 sen θ) dθ = 1/2 (2π) + 0 = π 12 Teorema de Stokes (6 de 11) De forma geral, se S1 e S2 forem superfícies orientadas com uma mesma fronteira orientada C e se ambas satisfizerem as hipóteses do Teorema de Stokes, então ⋅ = ⋅ = ⋅ ∫∫ ∫ ∫∫ 1 2 curl curl C S S d d d r F S 3 F S F Esse fato é útil quando é difícil integrar sobre uma superfície, mas fácil de integrar sobre a outra.