Slide - Superfícies Parametrizadas - 2023-2

Superfícies Parametrizadas 16.6 Superfícies Parametrizadas e suas Áreas 3 Superfícies Parametrizadas e suas Áreas Aqui, usaremos funções vetoriais para descrever superfícies mais gerais, chamadas superfícies parametrizadas e calcularemos suas áreas. A seguir, tomaremos a fórmula para a área de superfícies gerais e veremos como se aplica a superfícies especiais. Superfícies de Revolução 5 Superfícies Parametrizadas (1 de 7) De modo muito semelhante à nossa descrição de curvas espaciais por uma função vetorial r(t ) de um único parâmetro t, podemos descrever uma superfície por uma função vetorial r(u, v) de dois parâmetros u e v. Suponhamos que ( ) ( ) ( ) ( ) = + + , , , , u v x u v y u v z u v i j 1 r k seja uma função a valores vetoriais definida sobre uma região D do plano uv. 6 Superfícies Parametrizadas (2 de 7) Então x, y e z, os componentes de funções de r, serão funções das duas variáveis u e v com domínio D. O conjunto de todos os pontos (x, y, z) em ℝ3 tal que ( ) ( ) ( ) = = = , , , x x u v y y u v z z u v 2 e (u, v) varia ao longo de D, é chamado de superfície parametrizada S e as Equações 2 são denominadas equações parametrizadas de S. 7 Superfícies Parametrizadas (3 de 7) Cada escolha de u e v resulta um ponto em S; fazendo todas as escolhas, temos todos os pontos de S. Em outras palavras, a superfície é traçada pela ponta do vetor posição r(u, v) enquanto (u, v) se move ao longo da região D. (Veja a Figura 1.) Figura 1 Uma superfície parametrizada 8 Exemplo 1 Identifique e esboce a superfície com equação vetorial r 𝑢𝑢, 𝑣𝑣 = 2 cos 𝑢𝑢 i + 𝑣𝑣𝑣 + 2 sen 𝑢𝑢 k Solução: As equações paramétricas para essa superfície são 𝑥𝑥 = 2 cos 𝑢𝑢 𝑦𝑦 = 𝑣𝑣 𝑧𝑧 = 2 sen𝑢𝑢 9 Exemplo 1 – Solução (1 de 2) Então, para qualquer ponto (x, y, z) da superfície, temos 𝑥𝑥2 + 𝑧𝑧2 = 4 cos2 𝑢𝑢 + 4 sen2 𝑢𝑢 = 4 Isso significa que todas as seções transversais paralelas ao plano xz (isto é, com y constante) são circunferências de raio 2. 10 Exemplo 1 – Solução (2 de 2) Uma vez que y = v e não existe restrição ao valor de v, a superfície é um cilindro circular de raio 2 cujo eixo é o eixo y (veja a Figura 2). Figura 2 11 Superfícies Parametrizadas (4 de 7) Se uma superfície parametrizada S é dada por uma função vetorial r(u, v), então existem duas famílias de curvas úteis contidas em S, uma família com u constante e outra com v constante. Essas famílias correspondem a retas verticais e horizontais no plano uv. 12 Superfícies Parametrizadas (5 de 7) Se mantivermos u constante, impondo u = u0, então r(u0, v) se torna uma função vetorial com um único parâmetro v que define uma curva C1 sobre S. (Veja a Figura 4.) Figura 4 13 Superfícies Parametrizadas (6 de 7) Da mesma forma, se mantivermos v constante tomando v = v0, obteremos a curva C2 dada por r(u, v0) que está sobre S. Chamamos essas curvas curva da grade. (No Exemplo 1, exemplificando, as curvas da grade obtidas tornando u constante são linhas horizontais, enquanto as curvas da grade obtidas com v constante são circunferências.) Na verdade, quando um computador elabora em gráfico uma superfície parametrizada, que normalmente apresenta a superfície traçando as curvas da grade, como podemos ver no exemplo a seguir. 14 Exemplo 2 Use um computador para traçar o gráfico da superfície r 𝑢𝑢, 𝑣𝑣 = 2 + sen 𝑣𝑣 cos 𝑢𝑢, 2 + sen 𝑣𝑣 sen 𝑢𝑢, 𝑢𝑢 + cos 𝑣𝑣 Quais são as curvas da grade com u constante? Quais têm v constante? 15 Exemplo 2 – Solução (1 de 3) Traçamos o pedaço da superfície com os parâmetros delimitados por 0 ≤ u ≤ 4π, 0 ≤ v ≤ 2π na Figura 5. Figura 5 16 Exemplo 2 – Solução (2 de 3) Esse gráfico tem a aparência de um tubo espiral. Para identificarmos as curvas da grade, escrevemos as equações paramétricas correspondentes: 𝑥𝑥 = 2 + sen 𝑣𝑣 cos 𝑢𝑢 𝑦𝑦 = 2 + sen 𝑣𝑣 sen 𝑢𝑢 𝑧𝑧 = 𝑢𝑢 + cos 𝑣𝑣 Se v é constante, então sen v e cos v são constantes, portanto, as equações paramétricas se assemelham às da hélice. Assim, as curvas de grade com v constante são as curvas em espiral na Figura 5. 17 Exemplo 2 – Solução (3 de 3) Deduzimos que as curvas de grade com u constante devem ser curvas que parecem círculos na figura. Maior evidência dessa afirmação é que, se mantivermos u constante, u = u0 , então as equações z = u0 + cos v mostram que os valores de z variam de u0 − 1 até u0 + 1. 18 Exemplo 4 Determine uma representação parametrizada da esfera 2 2 2 2 x y z a + + = Solução: A esfera tem uma representação simples ρ = a em coordenadas esféricas, então vamos escolher os ângulos parâmetros. φ e θ das coordenadas esféricas como 19 Exemplo 4 – Solução (1 de 3) Tomando ρ = a nas equações para conversão de coordenadas esféricas para coordenadas retangulares, obtemos 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 sen 𝜙𝜙 cos 𝜃𝜃 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 sen 𝜙𝜙 sen 𝜃𝜃 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 cos 𝜙𝜙 como equações parametrizadas da esfera. A equação vetorial correspondente é r 𝜙𝜙, 𝜃𝜃 = 𝑎𝑎 sen 𝜙𝜙 cos 𝜃𝜃𝜃 + 𝑎𝑎 sen 𝜙𝜙 sen 𝜃𝜃𝑣 + 𝑎𝑎 cos 𝜙𝜙 k 20 Exemplo 4 – Solução (2 de 3) Temos 0 ≤ 𝜙𝜙 ≤ 𝜋𝜋 e 0 ≤ 𝜃𝜃 ≤ 2𝜋𝜋, de modo que o domínio dos parâmetros é o retângulo D = [0, π] × [0, 2π]. As curvas da grade com φ constante são as circunferências de latitude constante (incluindo o equador). 21 Exemplo 4 – Solução (3 de 3) As curvas da grade com q constante são os meridianos (semicircunferências), que ligam os polos Norte e Sul (veja a Figura 7). Figura 7 22 Superfícies Parametrizadas (7 de 7) OBSERVAÇÃO Vimos no Exemplo 4 que as curvas de grade para uma esfera são curvas de latitude e longitude constantes. Para uma superfície parametrizada geral, estamos realmente fazendo um mapa e as curvas da grade são semelhantes a linhas de latitude e longitude. Descrever um ponto sobre uma superfície parametrizada (como o da Figura 5) dando valores específicos de u e v é como dar a latitude e a longitude de um ponto. 16 Cálculo Vetorial 24 Superfícies de Revolução (1 de 2) As superfícies de revolução podem ser representadas na forma parametrizada. Por exemplo, vamos considerar a superfície S obtida pela rotação da curva y = f (x), a ≤ x ≤ b, sobre o eixo x, onde f (x) ≥ 0. Seja θ o ângulo de rotação, como mostrado na Figura 12. Figura 12 25 Superfícies de Revolução (2 de 2) Se (x, y, z) é um ponto em S, então Portanto, tomamos x e θ como parâmetros e olhamos as Equações 3 como equações paramétricas de S. O domínio do parâmetro é dado por a ≤ x ≤ b, 0 ≤ θ ≤ 2π . 3 X = x y = f(x)cosθ z = f(x)sen θ 26 Exemplo 8 Encontre equações paramétricas para a superfície gerada pela rotação da curva y = sen x, 0 ≤ x ≤ 2p sobre o eixo x. Use essas equações para o gráfico da superfície de revolução. Solução: Das Equações 3, as equações paramétricas são 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = sen 𝑥𝑥 cos 𝜃𝜃 𝑧𝑧 = sen 𝑥𝑥 sen 𝜃𝜃 e o domínio do parâmetro é 0 ≤ x ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ 2π. 27 Exemplo 8 – Solução Usando um computador para traçar essas equações e girar a imagem, obtemos o gráfico da Figura 13. Figura 13 29 Planos Tangentes (1 de 3) Agora vamos determinar o plano tangente a uma superfície parametrizada S determinada por uma função vetorial ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , u v x u v y u v z u v = + + r i j k em um ponto P0 com vetor posição r(u0, v0). 30 Planos Tangentes (2 de 3) Se mantivermos u constante usando u = u0, então r(u0, v) torna-se uma função vetorial do parâmetro único v e define uma curva de grade C1 em S. (Veja a Figura 14.) O vetor tangente a C1 em P0 é obtido tomando-se a derivada parcial de r em relação a v: ( ) ( ) ( ) ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ 0 0 0 0 0 0 , , , v x y z u v u v u v v v v j 4 r i k Figura 14 31 Planos Tangentes (3 de 3) Da mesma forma, se mantivermos v constante tomando v = v0, obteremos a curva da grade C2 dada por r(u, v0) que está sobre S, e cujo vetor tangente em P0 é ( ) ( ) ( ) ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ 0 0 0 0 0 0 , , , u x y z u v u v u v u u u j 5 r i k Se ru × rv não é 0, então a superfície S é dita suave (sem “bicos”). Para uma superfície suave, o plano tangente é o que contém os vetores tangentes ru e rv, e ru × rv é o vetor normal ao plano tangente. 32 Exemplo 9 Determine o plano tangente à superfície com equações paramétricas 2 2 , , 2 x u y v z u v = = = + no ponto (1, 1, 3). Solução: Primeiro, vamos calcular os vetores tangentes: 2 u x y z u u u u ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ = + r i j k i k 2 2 v x y z v v v v ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ = + r i j k j k 33 Exemplo 9 – Solução (1 de 2) Assim, o vetor normal ao plano tangente é 2 0 1 0 2 2 2 4 4 u v u v v u uv × = = − − + i j k r r i j k Observe que o ponto (1, 1, 3) corresponde aos valores dos parâmetros u = 1 e v = 1, de forma que o vetor normal ali é −2 i − 4 j + 4 k 34 Exemplo 9 – Solução (2 de 2) Portanto, uma equação do plano tangente em (1, 1, 3) é −2(x − 1) − 4(y − 1) + 4(z − 3) = 0 ou x + 2y − 2z + 3 = 0 36 Área da Superfície (1 de 8) Definiremos agora a área de uma superfície parametrizada S geral dada pela Equação 1. Para simplificar, vamos considerar inicialmente uma superfície cujo domínio dos parâmetros D é um retângulo, que dividiremos em sub-retângulos Rij. 37 Área da Superfície (2 de 8) Vamos escolher ( ) ∗ ∗ i , j u v como o canto inferior esquerdo do retângulo Rij. (Veja Figura 16 A imagem do sub-retângulo Rij é o retralho Sij. a Figura 16.) 38 Área da Superfície (3 de 8) A parte Sij da superfície S que corresponde a Rij é chamada retalho e tem um ponto Pij com vetor posição ( ) ∗ ∗ i , j u v r como um de seus cantos. Sejam r𝑢𝑢∗ = r𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑖𝑖 ∗, 𝑣𝑣𝑗𝑗 ∗ e r𝑣𝑣∗ = r𝑣𝑣 𝑢𝑢𝑖𝑖 ∗, 𝑣𝑣𝑗𝑗 ∗ os vetores tangentes em Pij calculados pelas Equações 5 e 4. 39 Área da Superfície (4 de 8) A Figura 17(a) mostra como os dois lados do retalho que se encontram em Pij podem ser aproximados por vetores. Esses vetores, por sua vez, podem ser aproximados pelos vetores ser aproximadas pelos quocientes de diferenças. Δ𝑢𝑢r𝑢𝑢∗ e Δ𝑣𝑣r𝑣𝑣∗ porque as derivadas parciais podem Figura 17(a) Aproximando um retalho por um paralelogramo 40 Área da Superfície (5 de 8) Assim, aproximamos Sij pelo paralelogramo determinado pelos vetores Δ𝑢𝑢r𝑢𝑢∗ e Δ𝑣𝑣 r𝑣𝑣∗. Esse paralelogramo está representado na Figura 17(b) e está contido no plano tangente a S em Pij. Figura 17(b) Aproximando um retalho por um paralelogramo 41 Área da Superfície (6 de 8) A área desse paralelogramo é ( ) ( ) u v u v u v u v ∗ ∗ ∗ ∗ ∆ × ∆ = × ∆ ∆ r r r r e, então, uma aproximação da área de S é 1 1 m n u v i j u v ∗ ∗ = = × ∆ ∆ ∑∑ r r 42 Área da Superfície (7 de 8) A intuição nos diz que essa aproximação fica melhor à medida que aumentamos o número de sub-retângulos e reconhecemos a soma dupla como a soma de Riemann para a integral dupla . u v D du dv ∫∫ r × r 43 Área da Superfície (8 de 8) Isso justifica a seguinte definição: 6 Definição Se uma superfície parametrizada suave S é dada pela equação ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , u v x u v y u v z u v u v D = + + ∈ r i j k e S é coberta uma única vez quando (u, v) abrange todo o domínio D dos parâmetros, então a área da superfície de S é ( ) u v D A S dA = ∫∫ r × r onde r𝑢𝑢 = 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑢𝑢 i + 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝑣 + 𝜕𝜕𝑧𝑧 𝜕𝜕𝑢𝑢 k r𝑣𝑣 = 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑣𝑣 i + 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑣𝑣 𝑣 + 𝜕𝜕𝑧𝑧 𝜕𝜕𝑣𝑣 k 44 Exemplo 10 Determine a área da esfera de raio a. Solução: No Exemplo 4 encontramos a representação parametrizada 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 sen 𝜙𝜙 cos 𝜃𝜃 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 sen 𝜙𝜙 sen 𝜃𝜃 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 cos 𝜙𝜙 onde o domínio dos parâmetros é ( ) { } , | 0 , 0 2 D φ θ φ π θ π = ≤ ≤ ≤ ≤ 45 Exemplo 10 – Solução (1 de 3) Vamos calcular primeiro o produto cruzado dos vetores tangentes: r𝜙𝜙 × r𝜃𝜃 = i 𝑣 k 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜙𝜙 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝜕𝜕𝜙𝜙 𝜕𝜕𝑧𝑧 𝜕𝜕𝜙𝜙 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜃𝜃 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝜕𝜕𝜃𝜃 𝜕𝜕𝑧𝑧 𝜕𝜕𝜃𝜃 = i 𝑣 k 𝑎𝑎 cos 𝜙𝜙 cos 𝜃𝜃 𝑎𝑎 cos 𝜙𝜙 sen 𝜃𝜃 −𝑎𝑎 sen 𝜙𝜙 −𝑎𝑎 sen 𝜙𝜙 sen 𝜃𝜃 𝑎𝑎 sen 𝜙𝜙 cos 𝜃𝜃 0 46 Exemplo 10 – Solução (2 de 3) = 𝑎𝑎2 sen2 𝜙𝜙 cos 𝜃𝜃𝜃 + 𝑎𝑎2 sen2 𝜙𝜙 sen𝜃𝜃𝑣 + 𝑎𝑎2 ssn 𝜙𝜙 cos𝜙𝜙𝜙 Logo, Uma vez que sen 𝜙𝜙 ≥ 0 for 0 ≤ 𝜙𝜙 ≤ 𝜋𝜋. 48 Área de Superfície do Gráfico de uma Função 49 Área de Superfície do Gráfico de uma Função (1 de 2) Para o caso especial de uma superfície S com equação z = f (x, y), onde (x, y) está em D e f tem derivadas parciais contínuas, tomamos x e y como parâmetros. As equações paramétricas são ( ) , x x y y z f x y = = = assim, x y f f x y   ∂ ∂   = + = +     ∂ ∂     r i k r j k e ∂ ∂ ∂ × = = − − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 0 0 1 x y f f f x x y f y 7 i j k r r i j k 50 Área de Superfície do Gráfico de uma Função (2 de 2) Então, temos     ∂ ∂ ∂ ∂     × = + + = + +         ∂ ∂ ∂ ∂         2 2 2 2 1 1 x y f f z z x y x y r r 8 e a fórmula de área da superfície na Definição 6 fica ( )   ∂ ∂   = + +     ∂ ∂     ∫∫ 2 2 1 D z z A S dA x y 9 51 Exemplo 11 Determine a área da parte do paraboloide 2 2 z x y = + que está abaixo do plano z = 9. Solução: O plano intercepta o paraboloide no círculo 2 2 9, 9. x y z + = = Portanto, a superfície dada fica acima do disco D com centro na origem e raio 3 (veja a Figura 18.) Figura 18 52 Exemplo 11 – Solução (1 de 2) Usando a Fórmula 9, temos ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 4 D D D z z A dA x y x y dA x y dA   ∂ ∂   = + +     ∂ ∂     = + + = + + ∫∫ ∫∫ ∫∫ 53 Exemplo 11 – Solução (2 de 2) Convertendo para coordenadas polares, obtemos ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 0 0 2 3 2 0 0 3 2 1 2 8 3 0 1 4 1 4 2 1 4 37 37 1 6 A r r dr d d r r dr r π π θ θ π π = + = +  = +  = − ∫ ∫ ∫ ∫