Slide - Rotacional e Divergente - 2023-2

16 Cálculo Vetorial 16.5 Rotacional e Divergente Rotacional 4 Rotacional (1 de 8) Se F = P i + Q j + R k é um campo vetorial em ℝ3 e as derivadas parciais de P, Q e R existem, então o rotacional de F é o campo vetorial em ℝ3 definido por     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   = − + − + −       ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂       curl R Q P R Q P y z z x x y F j 1 i k Para auxiliarmos na memorização, vamos reescrever a Equação 1 usando notação de operadores. Introduziremos o operador diferencial vetorial ∇ (“del”) como x y z ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ i j k 5 Rotacional (2 de 8) Quando ele opera sobre uma função escalar, produz o gradiente de f : f f f f f f f x y z x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = + + = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ i j k i j k Se pensarmos em ∇ como um vetor de componentes 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 , 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 e 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 , podemos também considerar o produto vetorial formal de ∇ pelo campo vetorial F como x y z P Q R ∂ ∂ ∂ ∇ × = ∂ ∂ ∂ i j k F segue: 6 Rotacional (3 de 8) = 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 − 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 i + 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 − 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 j + 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 − 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 k = rot F Assim, o modo mais fácil de lembrar a Definição 1 é pela expressão simbólica 2 rot F = ∇ × F 7 Exemplo 1 Se F 𝜕𝜕, 𝜕𝜕, 𝜕𝜕 = 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥 + 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥 − 𝜕𝜕2k,determine rot F. Solução: Usando a Equação 2, temos rot F = ∇ × F = i j k 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 −𝜕𝜕2 8 Exemplo 1 – Solução ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 2 y xyz y xz xyz xz y z x z x y y xy x yz y x x yz     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   = − − − − − + −       ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂       = − − − − + − = − + + + i j k i j k i j k 9 Rotacional (4 de 8) Lembre-se de que o gradiente de uma função f de três variáveis é um campo vetorial sobre , de modo que podemos calcular seu rotacional. ℝ3 O próximo teorema diz que o rotacional do gradiente de um campo vetorial é 0. 3 Teorema Se f é uma função de três variáveis que tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então rot ∇𝑓𝑓 = 0 10 Rotacional (5 de 8) Como um campo vetorial conservativo é da forma F = ∇ ,f o Teorema 3 pode ser reescrito como se segue. Se F é conservativo, então rot F = 0. E, assim, obtemos um modo de verificar que um campo vetorial não é conservativo. 11 Rotacional (6 de 8) Em geral, a recíproca do Teorema 3 não é verdadeira, mas o próximo teorema afirma que, se F for definido em todo o espaço, a recíproca vale. (Mais especificamente, a recíproca vale se o domínio é simplesmente conexo, ou seja, “não apresenta furos”.) 4 Teorema Se F for um campo vetorial definido sobre todo cujas funções componentes tenham derivadas parciais contínuas e rot F = 0, então F será um campo vetorial conservativo. ℝ3 12 Rotacional (7 de 8) A razão para o nome rotacional é que o vetor rotacional está associado com rotações. Outra ocorre quando F representa um campo de velocidade em mecânica dos fluidos. Partículas próximas a (x, y, z) no fluido tendem a girar em torno do eixo que aponta na direção de rot F(x, y, z), seguindo a regra da mão direita, e que comprimento do vetor rotacional é a medida de quão rápido as partículas se movem em torno desse eixo (veja a Figura 1.) Figura 1 13 Rotacional (8 de 8) Se rot F = 0 no ponto P, então o fluido é isento de rotações em P e F é chamado irrotacional em P. Nesse caso, uma pequena roda de pás inserida no fluido move-se com o fluido, mas não gira em torno do seu eixo. Divergente 15 Divergente (1 de 6) Se F = P i + Q j + R k é um campo vetorial em ℝ3, e 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 , 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 e 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 existem, então o divergente de F é a função de três variáveis definida por ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ div P Q R x y z F 9 Observe que rot F é um campo vetorial, mas div F é um campo escalar. 16 Divergente (2 de 6) Em termos do operador gradiente ( ) ( ) ( ) ∇ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ , x y z i j k o divergente de F pode ser escrito simbolicamente como o produto escalar de ∇ e F: 10 div F = ∇ ⋅ F 17 Exemplo 4 Se ( ) 2 , , , x y z xz xyz y = + − F i j k determine div F. Solução: Pela definição de divergente (Equações 9 ou 10), temos ( ) ( ) ( ) 2 div xz xyz y x y z z xz = ∇ ⋅ ∂ ∂ ∂ = + + − ∂ ∂ ∂ = + F F 18 Divergente (3 de 6) Se F é um campo vetorial sobre ℝ3, então rot F também é um campo vetorial ℝ3. sobre 11 Teorema Se F = P i + Q j + R k é um campo vetorial sobre ℝ3 e P, Q e R têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então div rot F = 0 Como tal, podemos calcular seu divergente. O próximo teorema mostra que o resultado é 0. 19 Divergente (4 de 6) Se F(x, y, z) é a velocidade de um fluido (ou gás), então div F(x, y, z) representa a taxa de variação total (com relação ao tempo) da massa do fluido (ou gás) escoando do ponto (x, y, z) por unidade de volume. Em outras palavras, div F(x, y, z) mede a tendência de o fluido divergir do ponto (x, y, z). Se F = 0, então F é dito incompressível. Outro operador diferencial aparece quando calculamos o divergente do gradiente de um campo vetorial ∇ .f 20 Divergente (5 de 6) Se f é uma função de três variáveis, temos ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 div f f f f f x y z ∂ ∂ ∂ ∇ = ∇ ⋅ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ e essa expressão aparece tão frequentemente que vamos abreviá-la como ∇2 .f Esse operador 2 ∇ = ∇ ⋅ ∇ é chamado operador de Laplace por sua relação com a equação de Laplace 2 2 2 2 2 2 2 0 f f f f x y z ∂ ∂ ∂ ∇ = + + = ∂ ∂ ∂ 21 Divergente (6 de 6) Podemos também aplicar o laplaciano 2 ∇ a um campo vetorial F = P i + Q j + R k em termos de suas componentes: 2 2 2 2 P Q R ∇ = ∇ + ∇ + ∇ F i j k 22 Formas Vetoriais do Teorema de Green 23 Formas Vetoriais do Teorema de Green (1 de 8) Os operadores divergente e rotacional nos permitem escrever o Teorema de Green em uma versão que será útil futuramente. Consideramos uma região plana D, sua curva fronteira C e funções P e Q que satisfaçam as hipóteses do Teorema de Green. Em seguida, consideramos o campo vetorial F = P i + Q j. 24 Formas Vetoriais do Teorema de Green (2 de 8) A sua integral de linha é C C d P dx Qdy ⋅ = + ∫ ∫ F r e, considerando F um campo vetorial em ℝ3 com terceira componente 0, temos rot F = i j k 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕 𝜕𝜕, 𝜕𝜕 𝜕𝜕 𝜕𝜕, 𝜕𝜕 0 = 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 − 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 k Formas Vetoriais do Teorema de Green (3 de 8) Portanto, (rot F) \cdot k = \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) k \cdot k = \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} e podemos reescrever a equação do Teorema de Green na forma vetorial \oint_C F \cdot \, d r=\oint_C F \cdot T d s=\iint_D(\operatorname{rot} F) \cdot k \, d A 26 Formas Vetoriais do Teorema de Green (4 de 8) A Equação 12 expressa a integral de linha da componente tangencial de F ao longo de C como uma integral dupla da componente vertical rotacional F sobre a região D delimitada por C. Vamos deduzir, agora, uma fórmula semelhante, envolvendo a componente normal de F. Se C é dada pela equação vetorial ( ) ( ) ( ) t x t y t a t b = + ≤ ≤ r i j então o vetor tangente unitário é ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t y t t t t = + T i j r r ′ ′ ′ ′ 27 Formas Vetoriais do Teorema de Green (5 de 8) Você pode verificar que o vetor normal unitário externo a C é dado por ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t x t t t t = − n i j r r ′ ′ ′ ′ (Veja a Figura 4). Figura 4 28 Formas Vetoriais do Teorema de Green (6 de 8) Então, da equação ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , , b C a dx dy f x y ds f x t y t dt dt dt     = +         ∫ ∫ temos ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , b C a b a b a ds t t dt P x t y t y t Q x t y t x t t dt t t P x t y t y t dt Q x t y t x t dt ⋅ = ⋅   = −       = − ∫ ∫ ∫ ∫ F n F n r r r r ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 29 Formas Vetoriais do Teorema de Green (7 de 8) C D P Q P dy Qdx dA x y   ∂ ∂ = − = +   ∂ ∂   ∫ ∫∫ pelo Teorema de Green. Mas o integrando na integral dupla é o divergente de F. 30 Formas Vetoriais do Teorema de Green (8 de 8) Logo, temos uma segunda forma vetorial do Teorema de Green: ( ) ⋅ = ∫ ∫∫div , C D ds F x y dA 1 F n 3 Essa versão diz que a integral de linha da componente normal de F ao longo de C é igual à integral dupla do divergente de F na região D delimitada por C.