Integrais de Superfície e Superfícies Parametrizadas

16 Cálculo Vetorial 167 Integrais de Superfície 3 Integrais de Superfície A relação entre integral de superfície e área de superfície é semelhante àquela entre a integral de linha e o comprimento de arco Suponha que f seja uma função de três variáveis cujo domínio inclui uma superfície S Definiremos a integral de superfície de f sobre S de tal forma que no caso em que f x y z 1 o valor da integral de superfície seja igual à área da superfície de S Começamos com superfícies parametrizadas e trataremos em seguida o caso especial onde S é o gráfico de uma função de duas variáveis Superficies Parametrizadas 5 Superfícies Parametrizadas 1 de 6 Suponha que a superfície S tenha equação vetorial u v x u v y u v z u v u v D r i j k Vamos admitir inicialmente que o domínio dos parâmetros D seja um retângulo e vamos dividilo em subretângulos Rij com dimensões Δu e Δv Então a superfície S é dividida em retalhos correspondentes Sij como na Figura 1 Figura 1 6 Superfícies Parametrizadas 2 de 6 Calculamos f em um ponto ij P de cada retalho multiplicamos pela área ΔSij do retalho e formamos a soma de Riemann 1 1 m n ij ij i j f P S A seguir tomamos o limite quando o número de retalhos aumenta e definimos a integral de superfície de f na superfície S como 1 1 lim m n ij ij m n i j S f x y z dS f P S 1 Observe a analogia com a definição de integral de linha e também a analogia com a definição de integral dupla 7 Superfícies Parametrizadas 3 de 6 Para calcularmos a integral de superfície na Equação 1 aproximamos a área do retalho ΔSij pela área de um paralelogramo aproximador no plano tangente Em nossa discussão sobre a área de superfície fizemos a aproximação ij u v S u v r r onde u v x y z x y z u u u v v v r i j k r i j k são os vetores tangentes em um canto de Sij 8 Superfícies Parametrizadas 4 de 6 Se as componentes são contínuas e ru e rv são não nulos e não paralelos no interior de D pode ser mostrado da Definição 1 mesmo quando D não é retangular que u v S D f x y z dS f u v dA r r r 2 Compare com a fórmula para a integral de linha b C a f x y z ds f t t dt r r 9 Superfícies Parametrizadas 5 de 6 Observe também que 1 u v S D dS dA A S r r A Fórmula 2 permite calcular uma integral de superfície convertendoa em uma integral dupla sobre o domínio do parâmetro D Ao usar essa fórmula lembrese de que f ru v é avaliado ao escrever x xu v y yu v e z zu v na fórmula f x y z 10 Exemplo 1 Calcule a integral de superfície 2 S x dS onde S é a esfera unitária 2 2 2 1 x y z Solução Utilizamos a representação parametrizada 𝑥 sen 𝜙 cos 𝜃 𝑦 sen 𝜙 sen 𝜃 𝑧 cos 𝜙 0 𝜙 𝜋 0 𝜃 2𝜋 isto é r𝜙 𝜃 sen 𝜙 cos 𝜃 i sen 𝜙 sen 𝜃 j cos 𝜙 k Podemos obter que r𝜙 r𝜃 sen 𝜙 11 Exemplo 1 Solução Portanto pela Fórmula 2 12 Superfícies Parametrizadas 6 de 6 As integrais de superfície têm aplicações semelhantes àquelas das integrais que estudamos anteriormente Por exemplo se uma folha fina digamos uma folha de alumínio tiver a forma de uma superfície S e se a densidade massa por unidade de área no ponto x y z for px y z então o total da massa da folha será S m x y z dS e o centro de massa será lj𝑥 lj𝑦 lj𝑧 onde 1 1 1 S S S x x x y z dS y y x y z dS z z x y z dS m m m Gráficos de Funções 14 Gráficos de Funções 1 de 3 Qualquer superfície S com equação z gx y pode ser considerada uma superfície parametrizada com equações parametrizadas x x y y z g x y e então temos x y g g x y r i k r j k De modo que x y g g x y r i 3 r j k e 2 2 1 x y z z x y r r 15 Gráficos de Funções 2 de 3 Logo nesse caso a Fórmula 2 se torna 2 2 1 S D z z f x y z dS f x y g x y dA x y 4 Existem fórmulas análogas para quando for mais conveniente projetar S no plano yz ou no plano xz Por exemplo se S for a superfície com equação y hx z e D for sua projeção no plano xz então 2 2 1 S D y y f x y z dS f x h x z z dA x z 16 Exemplo 2 Calcule S y dS onde S é a superfície 2 z x y 0 x 1 0 y 2 Veja a Figura 2 Figura 2 17 Exemplo 2 Solução Uma vez que 𝑧 𝑥 1 e 𝑧 𝑦 2𝑦 a Fórmula 4 dá 3 2 2 2 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 2 2 1 2 4 3 0 1 1 1 4 2 1 2 13 2 2 1 2 3 S D z z y dS y dA x y y y dy dx dx y y dy y 18 Gráficos de Funções 3 de 3 Se S é uma superfície suave por partes ou seja uma união finita de superfícies suaves S1 S2 Sn que se interceptam somente ao longo de suas fronteiras então a integral de superfície de f sobre S é definida por 1 n S S S f x y z dS f x y z dS f x y z dS EXEMPLO 3 Calcule S z dS onde S é a superfície cujo lado S1 é dado pelo cilindro x² y² 1 cujo fundo S2 é o círculo x² y² 1 no plano z 0 cujo topo S3 é a parte do plano z 1 x que está acima de S2 SOLUÇÃO A superfície S é mostrada na Figura 3 trocamos a posição usual dos eixos para enxergar melhor S Para S1 usamos como parâmetros θ e z veja o Exemplo 5 da Seção 166 e escrevemos suas equações parametrizadas como x cos θ y sen θ z z onde 0 θ 2π e 0 z 1 x 1 cos θ Portanto r₀ rₓ i j k cos θ i sen θ j e r₀ rₓ cos²θ sen²θ 1 Então a integral de superfície em S1 é S1 z dS D r₀ rₓ dA ₀²π ₀¹cosθ z dz dθ ₀²π ¹₂1 cos θ² dθ ¹₂ ₀²π 1 2 cos θ ¹₂1 cos 2θ dθ ¹₂32 θ 2 sen θ ¹4 sen 2θ₂π₀ ³π₂ Como S₂ está no plano z 0 temos S₂ z dS S₂ 0 dS 0 A superfície superior S₃ se encontra acima do disco D e faz parte do plano z 1 x Assim tomando gx y 1 x na Fórmula 4 e convertendo para coordenadas polares temos S₃ z dS D 1 x 1 zx² zy² dA ₀²π ₀¹ 1 r cos θ 1 1 0 r dr dθ 2 ₀²π ₀¹ r r² cos θ dr dθ 2 ₀²π 12 13 cos θ dθ 2 θ2 sen θ3₀²π 2 π Portanto S z dS S₁ z dS S₂ z dS S₃ z dS 3π2 0 2 π 32 2π Superfícies Orientadas 25 Superfícies Orientadas 1 de 9 Para definir integrais de superfície de campos vetoriais precisamos descartar superfícies não orientáveis tais como a faixa de Möbius mostrada na Figura 4 Nomeado assim por causa do geômetra alemão August Möbius 17901868 Figura 4 Uma faixa de Möbius 26 Superfícies Orientadas 2 de 9 Você pode construir uma tomando uma faixa retangular longa de papel dando lhe uma meiatorção e juntando as arestas curtas como na Figura 5 Figura 5 Construção de uma faixa de Möbius 27 Superfícies Orientadas 3 de 9 Se uma formiga andasse sobre uma faixa de Möbius começando no ponto P ela acabaria do outro lado da faixa ou seja com sua parte de cima apontando para o sentido oposto Então se a formiga continuasse a andar na mesma direção ela acabaria de volta no mesmo ponto P sem ter nunca cruzado uma aresta se você construiu uma faixa de Möbius tente desenhar uma linha a lápis pelo meio Portanto uma faixa de Möbius realmente tem apenas um lado Daqui para a frente consideraremos somente as superfícies orientáveis com dois lados 28 Superfícies Orientadas 4 de 9 Começaremos com uma superfície S que tenha um plano tangente em todos os pontos x y z em S exceto nos pontos da fronteira Existem dois vetores normais unitários n1 e n2 n1 em x y z Veja a Figura 6 Figura 6 29 Superfícies Orientadas 5 de 9 Se for possível escolher um vetor normal n em cada ponto x y z de modo que n varie continuamente sobre S então S é chamada superfície orientada e a escolha dada de n fornece S com uma orientação Existem duas possíveis orientações para qualquer superfície orientada veja a Figura 7 Figura 7 As duas orientações de uma superfície orientável 30 Superfícies Orientadas 6 de 9 Para uma superfície z gx y dada como o gráfico de g usamos a Equação 3 e vemos que a orientação induzida é dada pelo vetor normal unitário 2 2 1 g g x y g g x y i j k n 5 Como a componente na direção de k é positiva isso fornece a orientação ascendente da superfície 31 Superfícies Orientadas 7 de 9 Se S for uma superfície orientada suave dada na forma parametrizada pela equação vetorial ru v então ela está automaticamente associada à orientação do vetor normal unitário u v u v r r r 6 n r e a orientação oposta é dada por n Por exemplo no Exemplo 1664 nós encontramos a representação parametrizada r𝜙 𝜃 𝑎 sen 𝜙 cos 𝜃 i 𝑎 sen 𝜙 sen 𝜃 j 𝑎 cos 𝜙 k para a esfera 2 2 2 2 x y z a 32 Superfícies Orientadas 8 de 9 Então encontramos que r𝜑 r𝜃 𝑎2 sen2 𝜙 cos 𝜃 i 𝑎2 sen2 𝜙 sen 𝜃 j 𝑎2 sen 𝜙 cos 𝜙 k e r𝜙 r𝜃 𝑎2 sen 𝜙 Assim a orientação induzida por r é definida pelo vetor normal unitário n r𝜙 r𝜃 r𝜙 r𝜃 sen 𝜙 cos 𝜃 i sen 𝜙 sen 𝜃 j cos 𝜙 k 1 𝑎 r𝜙 𝜃 Observe que n aponta na mesma direção que o vetor posição ou seja para fora da esfera veja a Figura 8 Figura 8 Orientação positiva 33 Superfícies Orientadas 9 de 9 A orientação oposta para dentro poderia ser obtida veja a Figura 9 se tivéssemos trocado a ordem dos parâmetros porque r r r r Figura 8 Orientação positiva Figura 9 Orientação negativa Para uma superfície fechada isto é uma superfície que seja a fronteira de uma região sólida E a convenção é que a orientação positiva é aquela para a qual os vetores normais apontam para fora de E e os vetores normais que apontam para dentro correspondem à orientação negativa veja as Figuras 8 e 9 34 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais Fluxo 35 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais Fluxo 1 de 11 Suponha que S seja uma superfície orientada com vetor unitário normal n e imagine um fluido com densidade ρx y z e campo de velocidade vx y z que flui através de S Pense em S como uma superfície imaginária que não impede o fluxo de fluido tal como uma rede de pesca por um fluxo Nesse caso a taxa de fluxo massa por unidade de tempo por unidade de área é dada pelo campo vetorial ρv Veja a Figura 10 Figura 10 36 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais Fluxo 2 de 11 Se dividirmos S em pequenos retalhos Sij como na Figura 11 compare com a Figura 1 Figura 11 Figura 1 37 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais Fluxo 3 de 11 então Sij é aproximadamente plana de modo que podemos aproximar a massa de fluido que passa por Sij na direção da normal n por unidade de tempo pela quantidade A Sij v n onde ρ v e n são avaliados em algum ponto em Sij Recordese de que o componente do vetor de n é ρv n 38 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais Fluxo 4 de 11 Somando essas quantidades e tomando o limite obtemos de acordo com a Definição 1 a integral de superfície da função ρv n sobre S S S dS x y z x y z x y z dS v n v 7 n e ela é interpretada fisicamente como a vazão através de S Se escrevermos F ρv então F também é um campo vetorial ℝ3 e a integral da Equação 7 fica S dS F n 39 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais Fluxo 5 de 11 Uma integral de superfície dessa forma aparece frequentemente em física mesmo quando F não é ρv e é denominada integral de superfície ou integral de fluxo de F em S 8 Definição Se F for um campo vetorial contínuo definido sobre uma superfície orientada S com vetor normal unitário n então a integral de superfície de F sobre S é S S d dS F S F n Essa integral é também chamada fluxo de F através de S Em palavras a Definição 8 diz que a integral de superfície de um campo vetorial sobre S é igual à integral de superfície de sua componente normal em S 40 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais Fluxo 6 de 11 Se S é uma função vetorial dada por ru v então n é dado pela Equação 6 da Definição 8 e da Equação 2 temos u v u v S S u v u v u v D d dS u v dA r r F S F r r r r F r r r r r onde D é o domínio dos parâmetros Assim temos u v S D d dA F S F r r 9 41 Exemplo 4 Determine o fluxo do campo vetorial Fx y z z i y j x k por meio da esfera unitária 2 2 2 1 x y z Solução Como no Exemplo 1 utilizamos a representação parametrizada r𝜙 𝜃 sen 𝜙 cos 𝜃 i sen 𝜙 sen 𝜃 j cos 𝜙 k 0 𝜙 𝜋 0 𝜃 2𝜋 Então 𝐹r𝜙 𝜃 cos 𝜙 i sen 𝜙 sen 𝜃 j sen 𝜙 cos 𝜃 k e r𝜙 r𝜃 sen2 𝜙 cos 𝜃 i sen2 𝜙 sen 𝜃 j sen 𝜙 cos 𝜙 k 42 Exemplo 4 Solução Então Fr𝜙 𝜃 r𝜙 r𝜃 cos 𝜙 sen2 𝜙 cos 𝜃 sen3 𝜙 sen2 𝜃 sen2 𝜙 cos 𝜙 cos 𝜃 e pela Fórmula 9 o fluxo é pelos mesmos cálculos que no Exemplo 1 43 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais Fluxo 7 de 11 4 3 representa a vazão através da esfera unitária em unidade de massa Se por exemplo o campo vetorial do Exemplo 4 é um campo de velocidade descrevendo o escoamento de um fluido de densidade 1 então a resposta No caso de uma superfície S dada por um gráfico z g x y podemos considerar x e y como parâmetros e usar a Equação 3 para escrever x y g g P Q R x y F r r i j k i j k por unidade de tempo 44 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais Fluxo 8 de 11 Logo a Fórmula 9 se torna S D g g d P Q R dA x y 1 F S 0 Essa fórmula pressupõe uma orientação ascendente de S para uma orientação descendente multiplicamos por 1 Fórmulas semelhantes podem ser trabalhadas se S é dada por y hx z ou x ky z Exemplo 5 S1 F dS D P gx Q gy R dA D y2x x2y 1 x² y² dA D 1 4xy x² y² dA ²π ₀ ¹ ₀ 1 4r²cosθ senθ r²r dr dθ ²π ₀ ¼ cosθ senθ dθ ¼2π 0 π2 O disco S2 é orientado para baixo então seu vetor normal unitário é n k e temos F dS F k dS z dA D 0 dA 0 uma vez que z 0 em S2 Finalmente calculamos pela definição S F dS como a soma das integrals de superfície de F sobre as partes S1 e S2 F dS F dS F dS π2 0 π2 48 Embora tenhamos exemplificado a integral de superfície de um campo de vetores com seu uso em mecânica dos fluidos esse conceito também aparece em outras situações físicas 49 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais Fluxo 9 de 11 Por exemplo se E é um campo elétrico veja o Exemplo 1615 então a integral de superfície S E d S chamase a fluxo elétrico de E através da superfície S Uma importante lei de eletrostática é a Lei de Gauss que diz que a carga total englobada por uma superfície S é 0 S Q E d S 11 onde ε0 é uma constante denominada permissividade no vácuo que depende das unidades usadas No sistema SI 𝜀0 88542 1012𝐶2N m2 50 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais Fluxo 10 de 11 Portanto se o campo vetorial F do Exemplo 4 representa um campo elétrico podemos concluir que a carga envolvida por S é 4 0 3 Q Outra aplicação de integrais de superfície ocorre no estudo de fluxo de calor Suponha que a temperatura em um ponto x y z em um corpo seja ux y z Então o fluxo de calor é definido como o campo vetorial K u F onde K é uma constante determinada experimentalmente chamada condutividade da substância 51 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais Fluxo 11 de 11 A taxa de transmissão de calor através da superfície S no corpo é então dada pela integral de superfície S S d K u d F S S Tomando o centro da bola como origem temos ux y z Cx² y² z² onde C é a constante de proporcionalidade Então o fluxo de calor é Fx y z Ku KC2xi 2yj 2zk onde K é a condutividade do metal Em vez de usar a parametrização usual da esfera dada no Exemplo 4 observamos que o vetor normal à esfera x² y² z² a² que aponta para fora é n 1a xi yj zk e assim F n 2KCa x² y² z² A temperatura u em uma bola metálica é proporcional ao quadrado da distância do centro da bola Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera S de raio a e centro no centro da bola