Teorema da Divergência e sua Aplicação em Campos Vetoriais

3 O Teorema da Divergência 1 de 10 Escrevemos o Teorema de Green na versão vetorial div C D ds x y dA F n F onde C é a fronteira positivamente orientada da região do plano D Se quisermos estender esse teorema para campos de vetores em ℝ3 podemos fazer a suposição de que div S E dS F x y z dV 1 F n onde S é a superfície fronteira da região sólida E 4 O Teorema da Divergência 2 de 10 A Equação 1 é verdadeira sob hipóteses apropriadas e é chamada Teorema da Divergência Observe sua semelhança com os Teoremas de Green e de Stokes pois ele relaciona a integral da derivada de uma função div F nesse caso sobre uma região com a integral da função original F sobre a fronteira da região Enunciaremos e demonstraremos o Teorema da Divergência para regiões E que são simultaneamente dos tipos 1 2 e 3 e que chamamos de regiões sólidas simples Por exemplo as regiões delimitadas por elipsoides ou caixas retangulares são simples regiões sólidas 5 O Teorema da Divergência 3 de 10 A fronteira de E é uma superfície fechada e usaremos a convenção de que a orientação positiva é para fora ou seja o vetor normal unitário n apontará para fora de E O Teorema da Divergência Gauss Seja E uma região sólida simples e seja S a superfície fronteira de E orientada positivamente para fora Seja F um campo vetorial cujas funções componentes tenham derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contenha E Então div S E d dV F S F Portanto o Teorema da Divergência afirma que sob as condições dadas o fluxo de F pela fronteira de E é igual à integral tripla da divergência de F em E 6 Exemplo 1 Determine o fluxo do campo vetorial Fx y z z i y j x k sobre a unidade esférica 2 2 2 1 x y z Solução Primeiro calcularemos o divergente de F div 1 z y x x y z F A esfera unitária S é a fronteira da bola unitária B dada por 2 2 2 1 x y z 7 Exemplo 1 Solução Então o Teorema da Divergência dá o fluxo como 3 div 1 4 1 3 4 3 S B B d dV dV V B F S F 11 O Teorema da Divergência 4 de 10 Vamos considerar a região E que está entre as superfícies fechadas S1 e S2 onde S1 está dentro de S2 Sejam n1 e n2 as normais apontando para fora de S1 e S2 Então a fronteira de E é S S1 S2 e a sua normal n é dada por n n1 em S1 e n n2 em S2 Veja a Figura 3 Figura 3 12 O Teorema da Divergência 5 de 10 Aplicando o Teorema da Divergência para S obtemos 1 2 1 2 1 2 div E S S S S S S dV d dS dS dS d d F F S F n F n F 7 F n F S S 13 Exemplo 3 Consideramos o campo elétrico 3 E x Q x x onde a carga elétrica Q está localizada na origem e é um vetor z x y x posição Use o Teorema da Divergência para mostrar que o fluxo elétrico de E através de qualquer superfície fechada S2 que inclui a origem é 2 4 S d Q E S 14 Exemplo 3 Solução 1 de 3 A dificuldade é que não temos uma equação explícita para S porque S é qualquer superfície fechada envolvendo a origem Seja S1 uma esfera centrada na origem e com raio a onde a é pequeno o suficiente para que S1 esteja contida na região interna a S Nesse caso a Equação 7 fornece 1 div E S S dV d E d 8 E E S S Você pode constatar que div E 0 Dessa forma de 8 temos 1 S S d d E S E S 15 Exemplo 3 Solução 2 de 3 O ponto importante nesse cálculo é que podemos calcular a integral de superfície sobreS1 porque S1 é uma esfera O vetor normal em x é xx Portanto 3 4 2 2 Q Q Q Q a x E n x x x x x x x uma vez que a equação de S1 é x a 16 Exemplo 3 Solução 3 de 3 Assim temos 2 1 2 2 2 2 1 1 4 4 S S S Q Q Q d d dS A S a Q a a a E S E n S Isso mostra que o fluxo elétrico de E é 4πεQ através de qualquer superfície que contenha a origem Esse é um caso especial da Lei de Gauss para uma única carga A relação entre ε e ε0 é 0 1 4 17 O Teorema da Divergência 6 de 10 Outra aplicação do Teorema da Divergência aparece no escoamento de fluidos Seja vx y z o campo de velocidade de um fluido com densidade constante ρ Então F ρv é a taxa de vazão do fluido por unidade de área 18 O Teorema da Divergência 7 de 10 Se P0x0 y0 z0 é um ponto no fluido e Ba é uma bola com centro em P0 e raio muito pequeno a então div FP div FP0 para todos os pontos em Ba uma vez que div F é contínuo Aproximamos o fluxo sobre a fronteira esférica Sa como segue 0 0 div div div a S B B a a a d dV P dV P V B F S F F F Essa aproximação se torna melhor à medida que a 0 e sugere que 0 0 1 div lim a a Sa P d V B F S 9 F 19 O Teorema da Divergência 8 de 10 A Equação 9 diz que div FP0 é a taxa líquida de fluxo para o exterior por unidade de volume em P0 Essa é a razão para o nome divergência Se div FP 0 o fluxo líquido é exteriormente perto de P e P é chamado uma fonte Se div FP 0 o escoamento total perto de P é para dentro e P é denominado sorvedouro 20 O Teorema da Divergência 9 de 10 Para o campo vetorial da Figura 4 parece que os vetores que terminam próximo de P1 são menores que os vetores que iniciam perto do mesmo ponto P1 Figura 4 Campo vetorial F 𝑥2i 𝑦2j 21 O Teorema da Divergência 10 de 10 Então o fluxo total é para fora perto de P1 assim div FP1 0 e P1 é uma fonte Por outro lado perto de P2 os vetores que chegam são maiores que os que saem Aqui o fluxo total é para dentro assim div FP2 0 e P2 é um sorvedouro Podemos usar a fórmula para F para confirmar essa impressão Uma vez que 2 2 x y F i j temos div F 2x 2y que é positivo quando y x Assim os pontos acima da linha y x são fontes e os que estão abaixo são sorvedouros