Teorema Fundamental das Integrais de Linha e Aplicações

163 O Teorema Fundamental das Integrais de Linha 3 O Teorema Fundamental das Integrais de Linha 1 de 1 Sabemos que a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo pode ser escrita como b a F x dx F b F a 1 onde F é contínua em a b A Equação 1 afirma que para calcular a integral definida de F em a b só precisamos conhecer os valores de F em a e b os extremos do intervalo 4 O Teorema Fundamental das Integrais de Linha 5 O Teorema Fundamental das Integrais de Linha 1 de 1 Se consideramos o vetor gradiente f de uma função f de duas ou três variáveis como uma espécie de derivada de f então o teorema seguinte pode ser visto como uma versão do Teorema Fundamental do Cálculo para as integrais de linha 2 Teorema Seja C uma curva suave dada pela função vetorial rt a t b Seja f uma função diferenciável de duas ou três variáveis cujo vetor gradiente é contínuo em C Então C f d f b f a r r r f 7 Exemplo 1 Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional 3 F x mMG x x ao mover uma partícula de massa m do ponto 3 4 12 para o ponto 2 2 0 ao longo da curva suave por partes C Solução Sabemos que F é um campo vetorial conservativo e de fato F f onde 2 2 2 mMG f x y z x y z 8 Exemplo 1 Solução Portanto pelo Teorema 2 o trabalho realizado é 2 2 2 2 2 2 2 0 3 412 2 2 3 4 12 1 1 13 2 2 C C W d f d f f mMG mMG mMG F r r 10 Independência do Caminho 1 de 7 Suponha que C1 e C2 sejam curvas suaves por partes denominadas caminhos que têm o mesmo ponto inicial A e o mesmo ponto final B Sabemos que em geral 1 2 C C d d F r F r Entretanto como consequência do 1 2 C C f d f d r r sempre que f for contínua veja a Figura 2 Em outras palavras a integral de linha de um campo vetorial conservativo depende somente das extremidades da curva Teorema 2 temos que 11 Independência do Caminho 2 de 7 Em geral se F for um campo vetorial contínuo com domínio D dizemos que a integral de linha é independente do caminho se C F d r 1 2 C C d d F r F r para qualquer caminho C1 e C2 em D que tenham os mesmos pontos iniciais e finais Com essa terminologia podemos dizer que as integrais de linha de campos vetoriais conservativos são independentes do caminho Uma curva é denominada fechada se seu ponto final coincide com seu ponto inicial ou seja rb ra Veja a Figura 3 Figura 3 Uma curva fechada 12 Independência do Caminho 3 de 7 Se C F d r é independente do caminho em D e C é uma curva fechada em D podemos escolher quaisquer dois pontos A e B sobre C e olhar C como composta por um caminho C1 de A a B seguido de um caminho C2 de B a A Veja a Figura 4 Figura 4 13 Independência do Caminho 4 de 7 Então 1 2 1 2 0 C C C C C d d d d d F r F r F r F r F r já que C1 e C2 têm os mesmos pontos inicial e final Por outro lado se é verdade que 0 C d F r sempre que C for um caminho fechado em D podemos demonstrar a independência do caminho da seguinte forma Tome quaisquer dois caminhos C1 e C2 de A a B em D e defina C como a curva constituída por C1 seguida por C2 14 Independência do Caminho 5 de 7 Então 1 2 1 2 0 C C C C C d d d d d F r F r F r F r F r e assim 1 2 C C d d F r F r Assim demonstramos o seguinte teorema 3 Teorema C F d r é independente do caminho em D se e somente se 0 C d F r para todo caminho fechado C em D Como sabemos que a integral de linha de qualquer campo vetorial conservativo F é independente do caminho segue que 0 C d F r para qualquer caminho fechado 15 Independência do Caminho 6 de 7 A interpretação física é que o trabalho realizado por qualquer campo de força conservativo para mover um objeto ao redor de um caminho fechado é 0 O teorema a seguir diz que todos os campos vetoriais independentes do caminho são conservativos Ele foi enunciado e demonstrado para curvas planas mas existe uma versão espacial desse teorema Admita que D seja aberto o que significa que para todo ponto P em D existirá uma bola aberta com centro em P inteiramente contida em D Além disso vamos supor que D seja conexo por caminhos isso significa que quaisquer dois pontos em D podem ser ligados por um caminho que se encontra em D 16 Independência do Caminho 7 de 7 4 Teorema Suponha que F seja um campo vetorial contínuo em uma região aberta conexa por caminhos D Se então F é um campo vetorial conservativo em D ou seja existe uma função f tal que f F C F d r for independente do caminho em D 17 Campos Vetoriais Conservativos e Funções Potencial 18 Campos Vetoriais Conservativos e Funções Potencial 1 de 5 A questão permanece como é possível saber se um campo vetorial F é conservativo ou não Suponha que saibamos que F P i Q j é conservativo onde P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas Então existe uma função f tal que F f ou seja 𝑃 𝑓 𝑥 e 𝑄 𝑓 𝑦 19 Campos Vetoriais Conservativos e Funções Potencial 2 de 5 Portanto pelo Teorema de Clairaut 2 2 P f f Q y y x x y x 5 Teorema Se Fx y Px y i Qx y j é um campo vetorial conservativo onde P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio D então em todos os pontos de D temos P Q y x A recíproca do Teorema 5 só é verdadeira para um tipo especial de região 20 Campos Vetoriais Conservativos e Funções Potencial 3 de 5 Para explicarmos isso precisamos do conceito de curva simples que é uma curva que não se autointercepta em nenhum ponto entre as extremidades Veja a Figura 7 ra rb para uma curva fechada simples mas rt1 rt2 quando a t1 t2 b Figura 7 Tipos de curvas 21 Campos Vetoriais Conservativos e Funções Potencial 4 de 5 No Teorema 4 precisamos de região conexa por caminhos Para o próximo teorema precisaremos de uma condição mais forte Uma região simplesmente conexa no plano é uma região conexa por caminhos D tal que toda curva fechada simples em D inclui no seu interior apenas os pontos que estão em D Observe a partir da Figura 8 que intuitivamente falando uma região simplesmente conexa não contém nenhum buraco e não podem consistir em duas regiões separadas Figura 8 22 Campos Vetoriais Conservativos e Funções Potencial 5 de 5 Para regiões simplesmente conexas podemos agora enunciar a recíproca do Teorema 5 que fornece um processo conveniente para verificar se um campo vetorial em ℝ2 é conservativo 6 Teorema Se F P i Q j é um campo vetorial onde P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio D aberto e simplesmente conexo e em todos os pontos de D temos 𝑃 𝑦 𝑄 𝑥 em todo o 𝐷 Então F é conservativo 23 Exemplo 2 Determine se os campos vetoriais fornecidos são ou não conservativos a Fx y x y i x 2 j b 2 2 3 2 3 x y xy x y F i j Solução a Sejam Px y x y e Qx y x 2 Então 1 1 P Q y x Como P Q y x F pelo Teorema 5 F não é conservativo 24 Exemplo 2 Solução b Seja Px y 3 2xy e 2 2 3 Q x y x y Então 2 P Q x y x Além disso o domínio de F é o plano inteiro 𝐷 ℝ2 que é aberto e simplesmente conexo Portanto podemos aplicar o Teorema 6 e concluir que F é conservativo 30 Conservação de Energia 1 de 5 Vamos aplicar as ideias deste capítulo a um campo de força contínuo F que move um objeto ao longo de um caminho C dado por rt a t b onde ra A é o ponto inicial e rb B é o ponto terminal de C De acordo com a Segunda Lei do Movimento de Newton a força Frt a um ponto em C está relacionada com a aceleração at rt pela a equação t m t F r r Assim o trabalho realizado pela força sobre o objeto é b b C a a W d t t dt m t t dt F r F r r r r 31 Conservação de Energia 2 de 5 2 b a m d t t dt dt r r 2 2 2 2 b b a a m d m t dt t dt r r Teorema Fundamental do Cálculo 2 2 2 m b a r r Portanto 2 2 1 1 2 2 W m b m a 15 v v onde v r é a velocidade 32 Conservação de Energia 3 de 5 A quantidade 2 1 2 m v t ou seja a metade da massa multiplicada pelo W K B K A 16 que diz que o trabalho realizado pelo campo de forças ao longo do caminho C é igual à variação da energia cinética nas extremidades de C Agora vamos admitir que F seja um campo de forças conservativo ou seja podemos escrever F f quadrado da velocidade escalar é chamada energia cinética do objeto Portanto podemos reescrever a Equação 15 como 33 Conservação de Energia 4 de 5 Em física a energia potencial de um objeto no ponto de x y z é definida como Px y z f x y z portanto temos F P Então pelo Teorema 2 temos F C C W d P d P b P a P A P B r r r r 34 Conservação de Energia 5 de 5 Comparando essa equação com a Equação 16 vemos que PA KA PB KB que diz que se um objeto se move de um ponto A para outro B sob a influência de um campo de forças conservativo então a soma de sua energia potencial e sua energia cinética permanece constante Essa é a chamada Lei da Conservação de Energia e é a razão pela qual o campo vetorial é denominado conservativo