Resumo de Integrais de Linha e Campos Vetoriais

Universidade Federal de Itajuba Resumo MAT003 DK OK 2 2K AK 2 2K 2 2 2 2S 2S 2 2S 2K 2 2S 2K 2 2K 2S 2K 2K 2S 2K 2S 2S 2K 2S 2 2 2S 2 2 2S 2K 2 2S 2K IE 2K 2K IE 2K 2g 2K 2K 2S 2K 2K 2S 2K 2 2S 2K 2 2 2K 2 2 28 2g 2K 2 2g 2K i 2K 2K 2K 2K OK 2K aK Se f é uma funcao definida sobre uma curva suave C dada pelas Equacoes x xty yta t 5 entao a integral de linha de f sobre C com relagao ao comprimento de arco é b 2 2 2 b dx dy dz f flan eas rotate SE GE G a towmolee C a a Seja F um campo vetorial continuo definido sobre uma curva suave C dada pela fungao vetorial rta t b Entao a integral de linha de F ao longo de C é b b f Par Frt rt dt Frt Ts Cc a a onde dx dy dz ds 4 dt rtdt 3 F G nO Finalmente observamos a relacgao entre as integrais de linha de campos vetoriais e as integrais de linha de campos escalares Dado 0 campo vetorial F PQ R entao b f Par Pdx Qdy Rdz Cc a Teorema 1 Seja C uma curva suave dada pela fungao vetorial rta t b Seja f uma fungao diferencidvel de duas ou trés varidveis cujo vetor gradiente Vf é continuo em C Entao viar Fr F0 C Teorema 2 JoF dr independente do caminho em D se e somente se JoF dr 0 para todo caminho fechado C em D Teorema 3 Suponha que F seja um campo vetorial continuo em uma regido aberta conexa por caminhos D Se Jo F dr for independente do caminho em D entao F é um campo vetorial conservative em D ou seja existe uma funcao f tal que Vf F Teorema 4 Se F xy P2yQxy um campo vetorial conservativo onde P e Q tém derivadas parciais de primeira ordem continuas em um dominio D entao em todos os pontos de D temos OP 0Q Oy Ox 2 Teorema 5 Seja Fx y PxyQxy um campo vetorial em uma regiao aberta simplesmente conera D Suponha que P e Q tenham derivadas continuas de primeira ordem e que em todo ponto de D OP OQ dy Ox Entao F é conservativo Teorema 6 Se F for um campo vetorial C definido sobre todo o R e rotF 0 entdo F sera um campo conservativo Teorema 7 Teorema de Green Seja C uma curva plana simples fechada continua por partes orientada positivametne e seja D a regiao delimitada por C Se P eQ tém derivadas continuas de primeira ordem sobre uma regiao aberta que contenha D entao O OP Pdx Qdy I 3 a ta C pOu Oy Areas com o Teorema de Green Seja C uma curva plana simples fechada continua por partes orientada positivametne e seja D a regiao delimitada por C 1 A edy Dhydx fh ady ydz C 2 Integral de Superficie Se F for um campo vetorial continuo definido sobre uma su perficie orientada S com vetor normal unitario n entao a a integral de superficie de F sobre S é eas fe nas fe trex da Ss S S Essa integral é também chamada de Fluxo de F através de S Teorema 8 Teorema de Stokes Seja S uma superficie oritentada suave por partes cuja fronteira é formada por uma curva C fechada simples suave por partes com orten tacao positiva Seja F um campo vetorial C definido em uma regiao aberta de R que contém S Entao f var f rot as C Ss Teorema 9 Teorema da Divergéncia Gauss Seja E uma regido sélida simples e seja S a superficie fronteira de E orientada para fora Seja F um campo vetorial Ct definido em uma regiao aberta que contenha E Entdao eas oie av S