Teorema de Stokes: Relações e Propriedades

3 Teorema de Stokes 1 de 11 Enquanto o Teorema de Green relaciona uma integral dupla sobre uma região plana D com uma integral de linha em torno de sua curva limite plana O Teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície sobre uma superfície S com uma integral em torno da curva da fronteira S que é uma curva no espaço A Figura 1 mostra uma superfície orientada com vetor normal unitário n Figura 1 4 Teorema de Stokes 2 de 11 A orientação de S induz a orientação positiva da curva fronteira C mostrada na figura Isso significa que se você andar na direção positiva ao redor da curva C com sua cabeça na direção e sentido de n então a superfície estará sempre à sua esquerda Teorema de Stokes Seja S uma superfície orientada suave por partes cuja fronteira é formada por uma curva C fechada simples suave por partes com orientação positiva Seja F um campo vetorial cujas componentes têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta de ℝ3 que contém S Então 5 Teorema de Stokes 3 de 11 Como න 𝐶 F 𝑑r න 𝐶 F T 𝑑𝑠 e ඵ 𝑆 rot F 𝑑S ඵ 𝑆 rot F n 𝑑𝑆 O Teorema de Stokes nos diz que a integral de linha em torno da curva fronteira de S da componente tangencial de F é igual à integral de superfície sobre S da componente normal do rotacional de F A curva na fronteira orientada positivamente da superfície orientada S é com frequência denotada por S de modo que o Teorema de Stokes pode ser escrito como 6 Teorema de Stokes 4 de 11 Existe uma analogia entre o Teorema de Stokes o de Green e o Teorema Fundamental do Cálculo Como anteriormente existe uma integral envolvendo derivadas do lado esquerdo da Equação 1 lembrese de que rot F é uma espécie de derivada de F e do lado direito envolvendo valores de F calculados somente na fronteira de S 7 Teorema de Stokes 5 de 11 De fato no caso especial em que a superfície S é plana e pertence ao plano xy com orientação ascendente o vetor normal unitário é k a integral de superfície se transforma em uma integral dupla e o Teorema de Stokes fica Essa é precisamente a forma vetorial do Teorema de Green Assim vemos que o Teorema de Green é realmente um caso especial do Teorema de Stokes Lembrar que se o campo ee então 8 Exemplo 1 Calculeන 𝐶 F 𝑑r onde F 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦2i 𝑥j 𝑧2k é a curva da interseção do plano y z 2 com o cilindro 2 2 1 x y Oriente C no sentido antihorário quando observado de cima Solução A curva C uma elipse está mostrada na Figura 3 Figura 3 9 Exemplo 1 Solução 1 de 3 Apesar de C Fd r poder ser calculada diretamente é mais simples usar o Teorema de Stokes Vamos inicialmente calcular O Teorema de Stokes nos permite escolher qualquer superfície orientada suave por partes com fronteira C Entre as muitas superfícies possíveis nesse caso a escolha mais conveniente é a região elíptica S no plano y z 2 cuja fronteira é C 10 Exemplo 1 Solução 2 de 3 Se orientarmos S para cima em seguida C tem a orientação induzida positiva A projeção D de S no plano xy é o disco 2 2 1 x y e portanto usando a equação S D g g d P Q R dA x y F S com z g x y 2 y temos 14 Teorema de Stokes 6 de 11 De forma geral se S1 e S2 forem superfícies orientadas com uma mesma fronteira orientada C e se ambas satisfizerem as hipóteses do Teorema de Stokes então Esse fato é útil quando é difícil integrar sobre uma superfície mas fácil de integrar sobre a outra Usaremos agora o Teorema de Stokes para tentar explicar o significado do vetor rotacional 15 Teorema de Stokes 7 de 11 Suponha que C seja uma curva fechada orientada e v represente o campo de velocidade de um fluido Considere a integral de linha C C d ds v r v T e recorde que v T é a componente do vetor v na direção do vetor tangente unitário T 16 Teorema de Stokes 8 de 11 Isso significa que quanto mais perto a direção de v é a direção de T maior é o valor de v T Lembrese de que se v e T apontam em direções que de um modo genérico são opostas então v T é negativo Assim C v d r é a medida da tendência de o fluido se mover em torno de C e é chamada circulação de v em torno de C Figura 6 න 𝐶1 v 𝑑r 0 circulação positiva න 𝐶2 v 𝑑r 0 circulação negativa 17 Teorema de Stokes 9 de 11 Seja agora P0x0 y0 z0 um ponto do fluido e seja Sa um pequeno círculo com raio a e centro P0 Então rot FP rot FP0 para todos os pontos P em Sa porque rot F é contínuo Então pelo Teorema de Stokes temos a seguinte aproximação do fluxo em torno do círculo fronteira Ca 18 Teorema de Stokes 10 de 11 Essa aproximação se torna melhor quando as a 0 e temos A Equação 4 fornece a relação entre o rotacional e a circulação Ela mostra que rot v n é uma medida do efeito de rotação do fluido em torno do eixo n O efeito de rotação é maior sobre o eixo paralelo a rot v 19 Teorema de Stokes 11 de 11 Sabemos que F é conservativo se 0 C d F r para cada caminho fechado C Dado C suponha que possamos encontrar uma superfície orientável S cuja fronteira é C Isso pode ser feito mas a demonstração exige técnicas avançadas Em seguida o Teorema de Stokes fornece Uma curva que não seja simples pode ser quebrada em diversas curvas simples e as integrais ao longo dessas curvas simples são todas 0 Somando essas integrais obtemos 0 C d F r para qualquer curva fechada C