Experimentos com Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuições de Probabilidade: Parte II

Variáveis aleatórias discretas e distribuições de probabilidade Parte II Profª Ana Paula Binomial Coin Experiment Binomial Coin Experiment 1 Realize 1 lançamento de 10 moedas mantenha p05 Quais os resultados possíveis Quantas caras Quantas coroas 2 Realize mais 30 lançamentos de 10 moedas 3 O que representa o histograma vermelho 4 Faça mais um montão de experimentos O que vai acontecendo com o histograma 5 O que significa o valor M 3 4 Distribuição de probabilidade binomial Há diversos experimentos que satisfazem exatamente ou aproximadamente a seguinte lista de requisitos 1 O experimento consiste em uma sequência de n experimentos denominados ensaios em que n é fixado com antecedência 2 Cada ensaio pode resultar em um de dois resultados possíveis ensaios dicotômicos chamados de sucesso S ou falha F A atribuição dos rótulos S e F é arbitrária 3 Os ensaios são independentes de forma que o resultado de qualquer ensaio particular não influencia o resultado de qualquer outro ensaio 4 A probabilidade de sucesso PS é constante de um ensaio para o outro Denominamos essa probabilidade p Experimento binomial Por exemplo se n 3 Quais os resultados possíveis para o experimento SSS SSF SFS SFF FSS FSF FFS FFF e qual o valor de a XSSF b XSFS Usaremos ou para indicar que X é uma va binomial baseada em n ensaios com probabilidade de sucesso p Para pensar Quando lançamos 10 moedas Quais são as maneiras de encontrar 3 caras De quantas maneiras podemos encontrar 3 caras A ordem importa Combinação Cnx nx fracnxnx Como calcular a probabilidade de obter 3 caras em 10 lançamentos de moedas X representa o número de H Como calcular a probabilidade de obter 3 caras em 10 lançamentos de moedas X representa o número de H Como calcular a probabilidade de obter 3 caras em 10 lançamentos de moedas X representa o número de H o número de formas que exatamente x sucessos podem ocorrer em n testes a probabilidade de exatamente x sucessos a probabilidade de que ocorra um fracasso nos n x testes restantes Teorema bx n p begincases nxpx1pnx x 0 1 2 ldots n 0 extcaso contrário endcases EXEMPLO 330 Cada um de seis consumidores selecionados aleatoriamente de refrigerante de cola S e outro com refrigerante de cola F Os copos têm aparência idêntica exceto pelo código que contem no fundo para identificar o tipo do refrigerante de cola Suponha que não haja uma tendência de preferência entre os consumidores Então p P um indivíduo selecionado prefere S 05 de forma que X número de consumidores entre os seis que preferem S X Bin6 05 Dessa forma PX 3 b3 6 05 6 205³05³ 2005⁶ 0313 Exercício Construa a distribuição binomial do lançamento de 10 moedas cuja probabilidade de sucesso seja 06 X PX 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Exercício Construa a distribuição binomial do lançamento de 10 moedas cuja probabilidade de sucesso seja 06 Uso do aplicativo Baixe este aplicativo X Bnp X B1006 PX 3 X Bnp X B1006 PX 3 004247 PX 3 PX 3 Usando tabelas binomiais Exercício faça usando a tabela Construa a distribuição binomial do lançamento de 10 moedas cuja probabilidade de sucesso seja 06 X PX 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Teorema a Qual o valor esperado do número de compras feitas com cartão b Qual o valor do desvio padrão do número de compras feitas com cartão c Qual a probabilidade do número de compras estar entre a média 1dp e a média 1dp Usando tabelas binomiais EXEMPLO 333 Se 75 de todas as compras em uma determinada loja forem feitas com cartão de crédito e X for a quantidade de compras feitas com cartão de crédito entre 10 compras selecionadas aleatoriamente então X Bin10 075 c PμX σX X μX σX P75 136 X 75 136 P614 X 886 e agora PX 7 PX 8 025028 028157 05319 36 Distribuição de probabilidade de Poisson não será apresentado o item 35 Poisson Experiment Poisson Experiment O Processo de Poisson Façamos as seguintes suposições sobre a maneira como os eventos de interesse ocorrem Informalmente a suposição 1 diz que para um intervalo de tempo curto a probabilidade de ocorrer um único evento é aproximadamente proporcional à duração do intervalo de tempo em que é a constante de proporcionalidade O Processo de Poisson Eventos de interesse podem incluir visitas a determinado site pulsos registrados por um contador mensagens de email enviadas para determinado endereço acidentes em uma fábrica ou chuva de raios cósmicos observada por astrônomos em determinado observatório Tempo área ou volume Em vez de observar eventos ao longo do tempo considere apenas observar eventos de um determinado tipo que ocorrem em uma região bi ou tridimensional Por exemplo podemos selecionar uma determinada região R de uma floresta em um mapa ir para aquela região e contar o número de árvores Cada árvore representa um evento que ocorre em um ponto certo no espaço Com suposições similares a 13 podemos demonstrar que o número de eventos que ocorrem em uma região R tem distribuição de Poisson com parâmetro em que aR é a área de R A quantidade é o número esperado de eventos por unidade de área ou de volume Agora consideremos Pkt a probabilidade de k eventos serem observados durante qualquer intervalo de tempo de duração t Distribuição de Poisson Probabilidade de que ocorram k eventos dada a taxa de ocorrência lambda Medida de tendência central e dispersão Exemplo Poisson px 10 O número médio de navios petroleiros que chegam a cada dia em certo porto é dez As instalações do porto suportam no máximo 15 navios por dia Qual a probabilidade de que em certo dia navios terão de ser mandados embora Seja X o número de petroleiros que chegam a cada dia então Tabela A2 Probabilidades acumuladas da Poisson Sugestão de exercícios Cap 3 Parte I Exercícios do livro texto 6 10 11 12 15 24 31 39 Parte II Exercícios do livro texto 48 52 60 79 e 86