Introdução à Probabilidade e Espaços Amostrais

2 Probabilidade Parte I Profª Ana Paula O termo probabilidade se refere ao estudo da aleatoriedade e da incerteza Em qualquer situação em que ocorrem diversos resultados a disciplina de probabilidade oferece métodos para qualificar as chances ou possibilidades de ocorrência associadas aos diversos resultados Exemplo de Espaço Amostral EXEMPLO 22 Se examinarmos três fusíveis em sequência e anotarmos o resultado de cada exame o resultado do experimento é qualquer sequência de N e D de 3 elementos de forma que S 21 Espaços amostrais e eventos Um experimento é qualquer atividade ou processo cujo resultado está sujeito à incerteza Exemplo de Espaço Amostral EXEMPLO 22 Se examinarmos três fusíveis em sequência e anotarmos o resultado de cada exame o resultado do experimento é qualquer sequência de N e D de 3 elementos de forma que S NNN NND NDN NDD DNN DND DDN DDD Exemplo 23 Dois postos de gasolina estão localizados em determinado cruzamento Cada um possui seis bombas Considere o experimento em que o número de bombas em uso em determinada hora do dia é determinado para cada posto Um resultado experimental especifica quantas bombas estão em uso no primeiro posto e quantas são usadas no segundo Um resultado possível é 2 2 outro é 4 1 e outro ainda é 1 4 Os 49 resultados em S são exibidos na tabela a seguir O espaço amostral do experimento em que um dado de seis lados é lançado duas vezes é obtido excluindo a linha 0 e a coluna 0 da tabela fornecendo 36 resultados Exemplo 23 Dois postos de gasolina estão localizados em determinado cruzamento Cada um possui seis bombas Considere o experimento em que o número de bombas em uso em determinada hora do dia é determinado para cada posto Um resultado experimental especifica quantas bombas estão em uso no primeiro posto e quantas são usadas no segundo Um resultado possível é 2 2 outro é 4 1 e outro ainda é 1 4 Os 49 resultados em S são exibidos na tabela a seguir O espaço amostral do experimento em que um dado de seis lados é lançado duas vezes é obtido excluindo a linha 0 e a coluna 0 da tabela fornecendo 36 resultados Exemplo 23 Dois postos de gasolina estão localizados em determinado cruzamento Cada um possui seis bombas Considere o experimento em que o número de bombas em uso em determinada hora do dia é determinado para cada posto Um resultado experimental especifica quantas bombas estão em uso no primeiro posto e quantas são usadas no segundo Um resultado possível é 2 2 outro é 4 1 e outro ainda é 1 4 Os 49 resultados em S são exibidos na tabela a seguir O espaço amostral do experimento em que um dado de seis lados é lançado duas vezes é obtido excluindo a linha 0 e a coluna 0 da tabela fornecendo 36 resultados Um evento é essencialmente um conjunto de forma que as relações e resultados da teoria elementar dos conjuntos podem ser usados para o estudo dos eventos Exemplo evento simples evento composto Exemplo evento simples evento composto O complemento de um evento A representado por A é o conjunto de todos os resultados em S que não estão contidos em A 2 A união de dois eventos A e B representada por A B e lida A união B é o evento que consiste em todos os resultados que estão no evento A ou no B ou em ambos de forma que a união inclui resultados em que ocorreram A e B bem como aqueles em que exatamente um ocorre isto é todos os resultados em ao menos um dos eventos 3 A interseção dos dois eventos A e B representada por A B e lida A interseção B é o evento que consiste em todos os resultados que estão simultaneamente em A e B 1 Ø 2 A 3 B 4 Ac 5 Bc 6 A B 7 A B 8 A Bc 9 B Ac 10 A Bc 11 B Ac 12 Ac Bc 13 Ac Bc 14 A Bc B Ac 15 A B Ac Bc 16 S Complemento O complemento de um evento A representado por A é o conjunto de todos os resultados em S que não estão contidos em A A união de dois eventos A e B representada por A B e lida A união B é o evento que consiste em todos os resultados que estão no evento A ou no B ou em ambos de forma que a união inclui resultados em que ocorreram A e B bem como aqueles em que exatamente um ocorre isto é todos os resultados em ao menos um dos eventos A união de dois eventos A e B representada por A B e lida A união B é o evento que consiste em todos os resultados que estão no evento A ou no B ou em ambos de forma que a união inclui resultados em que ocorreram A e B bem como aqueles em que exatamente um ocorre isto é todos os resultados em ao menos um dos eventos Intersecção 3 A intersecção dos dois eventos A e B representada por A B e lida A intersecção B é o evento que consiste em todos os resultados que estão simultaneamente em A e B Exemplo complemento união intersecção Exemplo complemento união intersecção DEFINIÇÃO Suponha que represente o evento nulo o evento que consiste em nenhum resultado de qualquer natureza Quando se diz que A B A e B são eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos Interpretando probabilidade Considere um experimento que pode ser executado repetidamente de uma forma idêntica e independente e represente por A um evento que consista em um conjunto fixo de resultados do experimento Um exemplo simples de experimento passível de repetição é o lançamento de um dado e observar a face 6 evento A Se o experimento for executado n vezes em algumas delas o evento A ocorrerá o resultado será o conjunto A e em outras não Seja nA o número de repetições em que A ocorre A relação nAn é denominada frequência relativa de ocorrência do evento A na sequência de n repetições Investigate the probability of rolling a 6 on a fair die using the computer to simulate a die roll nA n 1 1 100 nA n 183 1020 1794 se n fica arbitrariamente grande nAn aproximase de um valorlimite denominado frequência relativa limite ou de longo prazo do evento A A interpretação objetiva de probabilidade identifica essa frequência relativa limite com PA Na prática essa interpretação não é tão objetiva quanto parece já que a frequência relativa limite de um evento não é via de regra conhecida Simulating the probability of rolling a 6 Simulating the probability of rolling a 6 Exemplo Considere A o evento em que uma encomenda enviada dentro do estado de MG para entrega no 2º dia na verdade chegue dentro de um dia Os resultados do envio de 10 dessas encomendas as 10 primeiras realizações são Qual a chance de que encomendas dentro do estado cheguem no 1º dia Exemplo Considere A o evento em que uma encomenda enviada dentro do estado de MG para entrega no 2º dia na verdade chegue dentro de um dia Os resultados do envio de 10 dessas encomendas as 10 primeiras realizações são Comportamento da frequência relativa a flutuação inicial b estabilização de longo prazo 22 Axiomas interpretações e propriedades da probabilidade Dado um experimento e um espaço amostral S o objetivo da probabilidade é atribuir a cada evento A um número PA chamada a probabilidade do evento A que dará uma medida precisa da chance de A ocorrer Para garantir que as atribuições de probabilidade sejam consistentes com nossas noções intuitivas de probabilidade todas as atribuições devem satisfazer os axiomas propriedades básicas de probabilidade Para qualquer evento A PA 0 Pℴ 1 Se A₁ A₂ A₃ é um grupo infinito de eventos disjuntos então PA₁ A₂ A₃ ᵢ1ⁿⁿ PAᵢ Experimente Para qualquer evento A PA PA 1 do qual PA 1 PA Para qualquer evento A PA 1 PA PAc 1 PS 1 a Liste os eventos em que o sistema não funciona b Quais são os eventos em que o sistema funciona PROPOSIÇÃO Para qualquer evento A PA PA 1 do qual PA 1 PA PA B PA PB PA B EXEMPLO 214 Em certo subúrbio residencial 60 de todas as residências recebem o serviço de Internet da companhia a cabo local 80 recebem o serviço de televisão desta companhia e 50 recebem ambos os serviços Se uma residência for selecionada aleatoriamente qual é a probabilidade de receber ao menos um desses dois serviços da companhia e qual é a probabilidade de receber exatamente um desses serviços da companhia A recebe serviços de internet PA 06 B recebe serviços de TV PB 08 PA B 05 PA B PA PB PA B 06 08 05 09 PA B 03 PA B PA PA B 09 06 PA B PA B 03 Evento C animação de exatamente um sipó ou internet ou TV mas nas os dois simultaneamente PC PA PAB 01 03 04