Probabilidade Condicional e Regras de Multiplicação

Probabilidade Conditional probability Explained Visually By Victor Powell 24 Probabilidade condicional Nesta seção examinamos como a informação um evento B ocorreu afeta a probabilidade atribuída a A Usaremos a notação PAB lêse Probabilidade de A dado que B ocorreu para representar a probabilidade condicional de A dado que ocorreu o evento B B é o evento condicionante A regra da multiplicação A regra da multiplicação é bem útil quando o experimento consiste em diversas etapas consecutivas O evento condicional B então descreve o resultado da primeira etapa e A descreve o resultado da segunda de forma que PAB condicionado ao que ocorre primeiro normalmente é conhecida Por exemplo considere três eventos A1 A2 e A3 A intersecção tripla destes eventos pode ser representada como a intersecção dupla Eventos mutuamente exclusivos e exaustivos Os eventos A1 A2 A3 Ak são mutuamente exclusivos se nenhum par deles tiver resultados comuns Os eventos são exaustivos se um Ai tiver de ocorrer para que Teorema da probabilidade total EXEMPLO 230 Um indivíduo possui 3 contas de email diferentes A maioria das suas mensagens mais exatamente 70 chega à conta nº 1 enquanto 20 chegam à conta nº 2 e os 10 restantes chegam à conta nº 3 Das mensagens que chegam à conta nº 1 apenas 1 é spam enquanto as porcentagens correspondentes para as contas nº 2 e nº 3 são 2 e 5 respectivamente Qual a probabilidade de uma mensagem selecionada aleatoriamente ser spam Para responder a esta pergunta vamos primeiramente estabelecer uma notação Ai mensagem é da conta nº i para i 1 2 3 B mensagem é spam EXEMPLO 230 Um indivíduo possui 3 contas de email diferentes A maioria das suas mensagens mais exatamente 70 chega à conta nº 1 enquanto 20 chegam à conta nº 2 e os 10 restantes chegam à conta nº 3 Das mensagens que chegam à conta nº 1 apenas 1 é spam enquanto as porcentagens correspondentes para as contas nº 2 e nº 3 são 2 e 5 respectivamente Qual a probabilidade de uma mensagem selecionada aleatoriamente ser spam Para responder a esta pergunta vamos primeiramente estabelecer uma notação Ai mensagem é da conta nº i para i 1 2 3 B mensagem é spam Então as porcentagens dadas implicam que PA1 070 PA2 020 PA3 010 PBA1 001 PBA2 002 PBA3 005 Agora tratase simplesmente de uma questão de substituir a equação pela lei da probabilidade total PB 001070 002020 005010 0016 No longo prazo 16 das mensagens do indivíduo serão spam Teorema de Bayes 59 Em certo posto de gasolina 40 dos clientes usam gasolina comum A1 35 usam gasolina aditivada A2 e 25 usam gasolina premium A3 Dos clientes que usam gasolina comum apenas 30 enchem seus tanques evento B Dos clientes que usam gasolina aditivada 60 enchem o tanque enquanto dentre os que usam premium 50 enchem o tanque a Qual é a probabilidade de o próximo cliente pedir gasolina aditivada e encher o tanque A2 B b Qual é a probabilidade de o próximo cliente encher o tanque c Se o próximo cliente encher o tanque qual é a probabilidade de pedir gasolina comum E aditivada E premium PA1 040 comum PA2 035 aditivada PA3 025 premium PBA1 030 PBA2 060 PBA3 050 B encher o tanque A1 B PA1 B PA1 PBA1 040 x 030 012 A2 B PA2 B PA2 PBA2 035 x 060 021 A3 B PA3 B PA3 PBA3 025 x 050 0125 Aze B PA2 B 021 PA1B PA1 B PB 012 0455 0264 PA2B PA2 B PB 021 0455 0462 PA3B PA3 B PB 0125 0455 0275 25 Independência A definição de probabilidade condicional nos permite revisar a probabilidade PA originalmente atribuída a A quando somos informados posteriormente da ocorrência de outro evento B A nova probabilidade de A é PAB É natural então pensar em A e B como eventos independentes indicando que a ocorrência ou não ocorrência desses eventos não afeta a possibilidade de ocorrer o outro evento DEFINIÇÃO Dois eventos A e B são independentes se PAB PA e dependentes em caso contrário PAB PA B PB PBAPA PB PAB PB PBAPA Atenção A exclusividade mútua e a independência estão relacionadas EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES E EVENTOS INDEPENDENTES SÃO DOIS CONCEITOS MUITO DIFERENTES BASEADOS EM DEFINIÇÕES QUE PARTEM DE DIREÇÕES MUITO DISTINTAS