Probabilidade: Conceitos e Cálculos

2 Probabilidade Parte II Profª Ana Paula AXIOMA 1 Para qualquer evento A PA 0 PΩ 1 Se A1 A2 A3 é um grupo infinito de eventos disjuntos então PA1 A2 A3 Σ i1 PAi PROPOSIÇÃO Para qualquer evento A PA PA 1 do qual PA 1 PA PROPOSIÇÃO Para qualquer evento A PA 1 PROPOSIÇÃO Para quaisquer dois eventos A e B PA B PA PB PA B PROPOSIÇÃO Para quaisquer três eventos A B e C PA B C PA PB PC PA B PA C PB C PA B C EXEMPLO 214 Em certo subúrbio residencial 60 de todas as residências recebem o serviço de Internet da companhia a cabo local 80 recebem o serviço de televisão desta companhia e 50 recebem ambos os serviços Se uma residência for selecionada aleatoriamente qual é a probabilidade de receber ao menos um desses dois serviços da companhia e qual é a probabilidade de receber exatamente um desses serviços da companhia A recebe serviços de internet PA 06 B recebe serviços de TV PB 08 PA B 05 probabilidade de ao menos um dos serviços A B PA B PA PB PA B 06 08 05 09 uma residência tinha assinatura apenas de TV A B ou seja nas internet TV PA B 03 PA B PA PA B 09 06 PA B PA B 03 Evento C animação de exatamente um serviço ou internet ou TV mas nas os dois simultaneamente PC PA PAB 01 03 04 Determinando probabilidades sistematicamente Considere S que seja finito ou infinito enumerável Considere E1 E2 E3 os eventos simples correspondentes cada um deles consistindo em um único resultado Uma estratégia sensata para o cálculo da probabilidade é primeiro determinar cada probabilidade de evento simples com a exigência de que Então a probabilidade de qualquer evento composto A é calculada somando Você considera a moeda honesta E se não for Você considerou a moeda honesta E se não for e a chance de sair coroa for 5 vezes maior do que de sair cara Você considerou a moeda honesta E se não for e a chance de sair coroa for 5 vezes maior do que de sair cara E pelo menos 1 cara H PE PHH PHT PTH ou PE 1 PTT PS PHH PHT PTH PTT 1 q² 5q² 5q² 25q² 1 36q² 1 q² 136 qf 16 PTT 25136 2536 e PE 1 2536 1136 Um dado é adulterado de tal modo que um número par tem duas vezes mais chance de ocorrer do que um número ímpar Se E é o evento no qual um número menor que 4 ocorre numa única jogada do dado determine PE Pímpar1 q Ppar1 2q E 123 PE S 123456 PS 1 P1 P2 P6 1 qf 2qf qf 2qf qf 2qf 1 qf 1 qf 19 PE P1 P2 P3 19 29 19 49 Resultados equiprováveis Em muitos experimentos que consistem em N resultados é razoável atribuir probabilidades iguais a todos os N eventos simples Tais eventos incluem exemplos óbvios como lançamento de uma moeda honesta ou um dado não viciado uma ou duas vezes ou qualquer número fixo de vezes 23 Técnicas de contagem Em diversos problemas de contagem e probabilidade uma configuração denominada diagrama de árvore pode ser usada para representar graficamente todas as possibilidades Exemplo 2 dados Porém cuidado Um experimento consiste em jogar uma moeda cara ou coroa e depois jogála uma segunda vez se der cara Se der coroa na primeira jogada então um dado é jogado uma vez Para listar os elementos de um espaço amostral que fornece o maior número de informações construímos o diagrama de árvore da Figura Os vários caminhos que seguem os galhos da árvore fornecem os pontos amostrais distintos Arranjos e combinações Considere um grupo de n indivíduos ou objetos distintos Há quantas maneiras de selecionar um subconjunto de tamanho k do grupo Pergunta a ordem importa Exemplo que vamos usar mais pra frente Sabendo que a chance de Sucesso é p e Fracasso é 1p qual a chance de encontrar 4 sucessos em 6 rodadas SSSFSF SFSFSS FFSSSS 24 Probabilidade condicional Nesta seção examinamos como a informação um evento B ocorreu afeta a probabilidade atribuída a A Usaremos a notação PAB lêse Probabilidade de A dado que B ocorreu para representar a probabilidade condicional de A dado que ocorreu o evento B B é o evento condicionante QR Code image Conditional Probability Experiment Google Chrome Conditional Probability Experiment Event Prob Rel Freq A 0200 0217 B 0150 0170 Ac 0800 0783 Bc 0850 0830 A B 0110 0137 B A 0082 0108 Ac B 0890 0863 Bc A 0918 0892 A Bc 0217 0233 B Ac 0168 0187 Ac Bc 0783 0767 Bc Ac 0832 0813 a Dado que o indivíduo selecionado comprou uma bateria extra qual a probabilidade de ter comprado de um cartão de memória b Dado que o indivíduo selecionado comprou um cartão de memória qual a probabilidade ter que ter comprado uma bateria extra a Dado que o indivíduo selecionado comprou uma bateria extra qual a probabilidade de ter comprado de um cartão de memória b Dado que o indivíduo selecionado comprou um cartão de memória qual a probabilidade ter que ter comprado uma bateria extra EXEMPLO 225 Suponha que de todos os indivíduos que compram determinada câmera digital 60 incluem um cartão de memória opcional na compra 40 incluem uma bateria extra e 30 incluem um cartão e uma bateria Considere a seleção aleatória de um comprador e sejam A compra de cartão de memória e B compra de bateria Então PA 060 PB 040 e Pcompra de ambos PA B 030 Dado que o indivíduo selecionado comprou uma bateria extra a probabilidade de compra de um cartão opcional é PAB PA BPB 030040 075 Isto é de todos os que compraram uma bateria extra 75 compraram um cartão de memória extra De forma análoga Pbateriacartão de memória PBA PA BPA 030060 050 A regra da multiplicação PA B PAB PB Essa regra é importante porque frequentemente se deseja PA B ao passo que PB e PAB podem ser especificados pela descrição do problema Considerando PBA temos PA B PBA PA A regra da multiplicação é bem útil quando o experimento consiste em diversas etapas consecutivas O evento condicional B então descreve o resultado da primeira etapa e A descreve o resultado da segunda de forma que PAB condicionado ao que ocorre primeiro normalmente é conhecida Por exemplo considere três eventos A1 A2 e A3 A intersecção tripla destes eventos pode ser representada como a intersecção dupla Exercício Um saco contém 4 bolas brancas e 3 bolas pretas Um segundo saco contém 3 bolas brancas e 5 bolas pretas Uma bola é retirada do primeiro saco e colocada sem ser vista no segundo saco Qual a probabilidade de que uma bola selecionada depois do segundo saco seja preta B1 bola preta do saco 1 B2 bola preta do saco 2 w1 bola branca do saco 1 B1 bola preta do saco 1 B2 bola preta do saco 2 w1 bola branca do saco 1 PB2 PB1 B2 Pw1 B2 PB1 PB2B1 Pw1 PB2w1 37 69 47 59 3863