Probabilidade e Variáveis Aleatórias Contínuas: Análise de Exemplos

Variáveis aleatórias contínuas e distribuições de probabilidade Som emitido do navio Suponha que a variável de interesse X seja a profundidade de um lago em um ponto da superfície escolhido aleatoriamente 41 Funções densidade de probabilidade Figura 42 Pa X b Pa X b Pa X b Pa X b EXEMPLO 44 A direção de uma imperfeição a respeito de uma linha de referência em um objeto circular como um pneu disco de freio ou volante do motor está em geral sujeito à incerteza Considera a linha de referência que conecta a válvula do pneu até o ponto central e X como ângulo medido no sentido horário até o local da imperfeição Uma possível fdp para X é fx 1360 0 x 360 0 caso contrário P90 X 180 P90 X 180 90 to 180 1360 dx x360 x180 x90 180 90360 14 Mas nem todas as distribuições são uniformes Sugestão veja a solução deste exemplo no livro Sugestão veja a solução deste exemplo no livro Um professor de faculdade nunca finaliza sua aula antes do final do horário e sempre termina dentro de dois minutos após o horário Seja X o tempo entre o fim do horário e o fim da aula e suponha que a fdp de X seja fx kx² 0 x 2 0 caso contrário a Encontre o valor de k e desenhe a curva de densidade correspondente Dica a área total sob o gráfico de fx é 1 b Qual é a probabilidade de a aula terminar um minuto antes da hora determinada c Qual é a probabilidade de a aula ultrapassar de 60 a 90 segundos o horário d Qual é a probabilidade de a aula ultrapassar pelo menos 90 segundos do horário de término fx k x2 0 x 2 0 cc x tempo em minutos a 20 fxdx 1 k 20 x2 dx 1 k 83 1 k 38 b P0 x 1 10 38x2 dx 38x3310 18 c P1 x 15 151 38x2 dx 38x331510 18 153 13 02969 d Px 15 1 215 38x2 dx 1 1823 153 04219 42 Funções de distribuição acumuladas e valores esperados Figura 45 Uma fdp e a fda associada Exemplo Distribuição Normal fx Distributuição Normal fx Uso de Fx para calcular probabilidades Percentis de uma distribuição contínua ex Quando dizemos que a pontuação do teste de um indivíduo estava no 85º percentil da população queremos dizer que 85 de todas as pontuações da população estavam abaixo daquela pontuação e 15 acima dela No gráfico está próximo de 10 085 P85 Como encontrar a mediana E os quartis Ou seja o valor que deixa 50 abaixo dele De acordo com a Expressão 42 ηp é aquele valor no eixo de medida de tal forma que 100 da área sob o gráfico de fx encontrase à esquerda de ηp e 1001p encontrase à direita Assim η075 o 75º percentil é tal que a área abaixo do gráfico de fx à esquerda de η075 é 075 A Figura 410 ilustra a definição VALORES ESPERADOS Qual é o valor esperado da quantidade de cascalho vendida Isto é assim como EX é uma média ponderada dos possíveis valores de X onde a função de ponderação é a fdp f x EhX é uma média ponderada dos valores de hX DEFINIÇÃO A variância de uma variável aleatória continua X com fdp fx e valor médio μ é σ²x VX x μ² fx dx EX μ² O desvio padrão DP de X é σx VX PROPOSIÇÃO VX EX² EX² Qual o valor da variância da quantidade de cascalho vendida Qual a unidade da variância Desafio Qual a prob de vender a quantidade entre VarX EX² EX² euta de x nos encontrar EX² ¹₀ x²fx dx ¹₀ x²321 x² dx ¹₀ 32x² x⁴ dx 32 215 15 mas nas ti minou VarX EX² EX² 15 38² 19320 0059 ten² ao quadrado fim Pμ 10σx x μ 10σx P0132 x 0618 6122 43 Distribuição normal A distribuição normal é a mais importante de todas na probabilidade e na estatística Muitas populações numéricas possuem distribuições que podem ser ajustadas aproximadamente por uma curva normal apropriada parâmetro de locação uma vez que mudar seu valor altera de maneira rígida a curva para um lado ou para o outro é um parâmetro de escala porque alterar o seu valor alonga ou comprime a curva horizontalmente sem alterar a forma básica Função da distribuição da probabilidade normal Verifique 9972 fx μ σ 1σ2π e12 x μσ2 X Nμ σ2 1G1RAIZ231415EXP05B3D1G12 Distributição Normal fx média 0 média 1 média 15 média 2 desvio padrão 1 média 2 desvio padrão 09 média 2 desvio padrão 19 Distribuição normal padrão fx 0 1 12π e12x2 Z DEFINIÇÃO A distribuição normal com os valores dos parâmetros μ 0 e σ 1 é denominada distribuição normal padrão Uma variável aleatória que tenha distribuição normal padrão é denominada variável aleatória normal padrão e é representada por Z A fdp de Z é fz 0 1 12π ez²2 z O gráfico de fz 0 1 é chamado curva normal padrão ou z Seus pontos de inflexão estão em 1 e 1 A fda de Z é PZ z z fy 0 1 dy o que representaremos por Φz Figura 414 Áreas acumuladas normais padrão tabuladas na Tabela A3 do Apêndice Tabela A3 Áreas sob a curva normal padrão PZ z2 00030 z2 275 PZ z1 00250 z1 196 PZ 013 05517 Exercícios Encontre uma tabela de distribuição normal na internet Baixe em seu celular h PZ z1 045 i Pz2 Z z2 090 Exercício Saiba identificar e interpretar TODOS os valores da tabela 41 Distribuições normais não padrão ou seja Z ESCORE Z j PZ z3 005 Z N0 1 Pa X b P aμσ Xμσ bμσ Pz₁ Z z₂ Pa X b P aμσ Xμσ bμσ Pz₁ Z z₂ Exemplo 1 As pontuações de QI são normalmente distribuídas com uma média de 100 e o desvio padrão de 16 Se uma pessoa é escolhida ao acaso qual é a probabilidade de seu QI estar entre 95 e 115 P95 x 115 Pz1 z z2 Exemplo 2 Em uma classe grande suponha que sua professora lhe diga que você precisa obter uma nota entre as 10 melhores de sua classe para obter um A em um determinado exame Com base em sua experiência anterior ela é capaz de estimar que a média e o desvio padrão sobre esse exame serão de 72 e 13 respectivamente Qual será a nota mínima necessária para obter um A Suponha que as notas terão uma distribuição aproximadamente normal 10 melhores recebem A nota de corte 10 melhores recebem A nota de corte EXEMPLO 416 O tempo que um motorista leva para reagir às luzes de freio em um veículo em desaceleração é crucial para evitar colisões traseiras O artigo Fastrise brake lamp as a collisionprevention device Ergonomics 1993 391395 sugere que o tempo de reação de uma resposta no trânsito a um sinal de frenagem com luzes de freio convencionais pode ser modelado com uma distribuição normal de média 125 segundo e desvio padrão 046 segundo Qual é a probabilidade de que o tempo de reação esteja entre 100 e 175 segundo Se representarmos por X o tempo de reação a padronização fornece 100 X 175 100 125 046 X 125 046 175 125 046 P100 X 175 P100 125 046 Z 175 125 046 P054 Z 109 Φ109 Φ054 08621 02946 05675 normal µ 125 σ 046 P100 X 175 e ESTUDE para aprender Você DEVE saber usar plenamente a tabela da distribuição normal Google Play Pesquisar Apps Meus apps Comprar Jogos Crianças Escolha dos editores Conta Formas de pagamento Play Points Novos Minhas assinaturas Resgatar Comprar valepresente Minha lista de desejos Minha atividade no Google Play Guia para a família fx Probability Distributions Matthew Bognar Educação Este app está disponível para todos os seus dispositivos Instalar Use o aplicativo X N2 09² PX 25 Aproximação da distribuição binomial PXx 002500 PXx 001 2PXx 002000 Binomial Coin Experiment μ np 20 05 20 05 10 PX x Bx n p área abaixo da curva normal à esquerda de x 05 Φ x 05 np npq Para fazer a aproximação desejada é preciso levar em conta uma importante diferença entre a distribuição de probabilidade binomial e a normal A variável aleatória binomial é discreta enquanto a variável aleatória normal é contínua Examinemos PX 4 para n 14 e p 05 para estudar a técnica de aproximação A área do retângulo a altura é igual a 0061 e a largura a 10 assim a área é igual a 0061 Vamos olhar a largura mais de perto Para x 4 a barra começa em 35 e termina em 45 assim estamos olhando a área delimitada por x 35 e x 45 A adição e a subtração de 05 ao valor de x são comumente chamadas de fator de correção de continuidade Esse é o nosso método de conversão de uma variável discreta em uma variável contínua A probabilidade de x 4 é aproximada pela área sob a curva normal entre x 35 e x 45 como é mostrado na Figura 616 Qual distribuição normal μ np 14 05 14 05 7 σ npq 14 05 05 187 X N7 187² P3 5 X 4 5 P 3 57 1 87 Z 4 57 1 87 A distribuição normal APROXIMA a distribuição binomial À medida que n aumenta a distribuição binomial começa a se parecer com a distribuição normal Conforme o valor da probabilidade p se distancia de 05 um n maior é necessário para que a aproximação normal seja razoável A regra de ouro a seguir geralmente é usada como uma diretriz Ou sejasó aproxime se a regra for cumprida E daí Eu preciso fazer esta aproximação Não dá para fazer o cálculo da binomial e pronto E daí Eu preciso fazer esta aproximação Não dá para fazer o cálculo da binomial e pronto Sugestão de exercícios pag 136 ex 1 e 2 pag 144 ex 11 pag 156 use a tabela e confira pelo aplicativo ex 29 33 35 e 50 aproxime a binomial pela normal