Apostila sobre Controle PID e Métodos de Sintonia

Apostila sobre PID e Métodos de Sintonia Prof Dr Eduardo Aoun Tannuri Departamento de Engenharia Mecatrônica e Sistemas Mecânicos Escola Politécnica da USP 1 Modos de Controle P I e D 11 Introdução Os três modos básicos de controle em malha fechada que são largamente empregados na prática são o proporcional P o integral I e o derivativo D A figura 31 mostra um diagrama de blocos de um controlador genérico O set point é representado por uma linha tracejada já que ele é normalmente especificado por um dial ou por um contato deslizante no painel do controlador Além deste set point local alguns controladores têm uma opção de set point remoto que permite a recepção de um sinal remoto ou de um dispositivo externo como por exemplo outro controlador ou um computador digital Os sinais de entrada e de saída do controlador são sinais contínuos comumente do tipo elétrico pneumático ou hidráulico Figura 11 Controle PID 12 Controle Proporcional No controle em malha fechada o objetivo é levar para zero o sinal de erro et c t tr e t sendo rt o set point e ct o valor medido da variável controlada Embora a equação indique que o set point possa ser variante no tempo na maior parte dos problemas de controle ele é mantido constante por longos períodos de tempo A concepção mais elementar de um controlador e talvez a mais utilizada corresponde ao controle proporcional Neste caso a saída do controlador é proporcional ao sinal de erro isto é K e t t u P onde P K é o ganho do controlador normalmente adimensional O ganho define o quanto a variável de controle deve variar em correspondência a uma variação unitária do sinal de erro Os conceitos básicos por trás do controle proporcional são os seguintes o ganho do controlador pode ser ajustado de forma a tornar a saída do controlador tão sensível quanto desejado aos desvios entre o setpoint e a variável controlada o sinal de P K pode ser escolhido de forma a fazer com que a saída do controlador aumente ou diminua à medida que o desvio aumenta O ganho P K do controlador também é ajustável e seu valor é usualmente escolhido depois de o controlador ter sido instalado e colocado em operação Para controladores de propósito geral P K é adimensional esta situação ocorre quando u e e têm as mesmas unidades Por exemplo essas unidades poderiam estar associadas a instrumentos eletrônicos ou pneumáticos e as variáveis medidas em ampères volts psi etc e poderiam ser expressas como números entre 0 e 100 Esta última representação aliás é conveniente para displays gráficos e programas de computador Para valores positivos do ganho P K o controlador reduz sua ação de controle quando há um aumento da variável controlada É o caso por exemplo do controle de temperatura de um forno Com a elevação da temperatura o controle deve reduzir o acionamento da resistência elétrica de aquecimento Esta ação é chamada de reversa Em outras aplicações o controlador deve atuar de forma oposta ou seja aumentar a sua saída quando houver um aumento da variável controlada Isto é obtido com um valor negativo do ganho P K É o caso do controle de resfriamento e a ação do controlador passa a ser denominada ação direta Em alguns casos a ação proporcional é acrescida de um termo constante chamado de bias ou offset Assim sendo este termo denominado por u a saída do controlador será dada por K e t u t u P Alguns controladores em especial os modelos mais antigos trabalham com um parâmetro chamado banda proporcional BP em lugar do ganho No caso em que P K é adimensional a BP é definida como P K BP 100 Note que um pequeno valor da BP corresponde a um valor elevado do ganho P K enquanto que um grande valor de BP corresponde a um valor diminuto de P K A figura a seguir ilustra o efeito da BP para um exemplo de uma válvula Uma outra maneira de se definir a banda proporcional é considerála como o erro em porcentagem do range da variável de controle necessário para levar a saída de controle do menor para o maior valor Por exemplo considerase um sistema realimentado de controle de temperatura no qual a variável controlada varia de 100ºC a 300ºC e o set point é 200ºC Assim uma BP de 50 significa que quando a variável de controle varia de 50 do seu range a saída do controlador varia de 100 de seu range A figura a seguir ilustra a ação de controle para diversos valores de BP considerando um offset de 50 Figura 12 Banda proporcional O controlador proporcional conforme apresentado não inclui limites físicos para a variável de saída do controlador Uma representação mais realista é mostrada na figura abaixo Dizemos que o controlador satura quando sua saída atinge um determinado limite físico seja umax ou umin Figura 13 Saturação A função de transferência do controlador proporcional pode ser escrita de imediato como KP s E Us Uma desvantagem do controlador proporcional é sua incapacidade de eliminar erros estacionários que surgem após uma mudança de set point ou uma perturbação constante na saída conforme ilustra a figura a seguir 0 25 50 75 100 0 25 50 75 100 da variável controlada da saída do controlador BP25 BP50 BP100 BP200 u umax umin u Figura 14 Offset com controle proporcional Uma forma de eliminar este problema é usando um controlador contendo um termo integral este modo produz um reset automático conforme discutido adiante No entanto em diversas aplicações de controle em que offsets podem ser tolerados o controle proporcional é atraente por causa de sua simplicidade Por exemplo em alguns problemas de controle de nível a manutenção do nível de líquido exatamente no valor do set point não é necessária uma vez que basta que o líquido não extravase ou que o tanque se esvazie por completo Exemplo 1 Controle de pressão Um sistema de controle de pressão é mostrado na figura abaixo O transmissor de pressão PT possui range de 0 a 100psig O controlador PC é puramente proporcional possuindo um offset de 50 O set point é ajustado em 10psig Obtenha a ação correta do controlador direta ou reversa sabendose que a válvula é linear e normalmente fechada Além disso calcule a banda proporcional do controlador para que quando a pressão no tanque atingir 30psig a válvula seja totalmente aberta Figura 15 Controle de pressão em um vaso A ação de controle deve ser determinada por caso haja um aumento da pressão no vaso o controlador deve agir de forma a aumentar a abertura da válvula para que aumente o fluxo de saída e por conseqüência resulte uma diminuição da pressão no vaso Além disso a válvula é normalmente fechada portanto para que se aumente sua abertura devese aumentar o comando sobre a mesma Portanto a relação entre a pressão e o comando na válvula é direto requerendo assim uma ação de controle direta pt PT PC Gás Set point Pelo que foi enunciado a lei de controle é do tipo K e t 50 K e t u t u P P Em regime a pressão no tanque é 10psig 10 do range do transmissor e o erro é nulo Portanto 50 K 0 50 uregime P A abertura da válvula será portanto de 50 pois a mesma apresenta um comportamento linear em relação ao comando Para pressão de 30psig 30 do range devemos ter uma abertura da válvula de 100 logo a banda proporcional será 40 52 100 BP 52 K 30 K 10 50 100 u P P Isto significa que quando há uma variação de 40 na pressão equivalente a 40psig há uma variação de 100 na abertura da válvula O sinal negativo indica a ação direta da válvula Exemplo 2 Controle de nível O sistema de controle de nível apresentado na figura a seguir é composto por um tanque com área seccional A 7m2 em cuja saída é ligada uma bomba e uma válvula controlada Considerase que a vazão de saída q independe do nível h e é comandada diretamente pelo sinal de controle proveniente do controlador de nível LC O sinal de realimentação é dado pelo medidor de nível LT A vazão de entrada qe não é controlada Figura 16 Controle de nível em tanque A equação dinâmica que governa o sistema é simples dada por Qs As Q s 1 Hs q t t q A h e e Modelando a válvula de controle como um sistema de primeira ordem obtémse 1Us s K s Q v v h qe LT q Área Seccional A SetPoint hSP LC 0100 Desconsiderandose a dinâmica do transmissor de nível o diagrama de blocos do sistema controlado é dado por Figura 17 Diagrama de blocos do controle de nível Considerase um controlador proporcional com ação direta ou seja P c K G s Além disso assumese que a válvula possua uma constante de tempo v 3s 005min e um ganho 83 m min K 3 v ou seja quando a saída de controle for 1 100 a vazão de saída será 38m3min A figura abaixo mostra o resultado da simulação sem vazão de entrada qe 0 sendo o setpoint variando de 2m para 22m em t1min Podese ver que o controle proporcional no caso de variação de setpoint garante erro em regime nulo com um tempo de resposta em malha fechada tanto menor quanto maior o ganho KP Observase também o comportamento oscilatório do sistema para ganhos mais elevados Figura 18 Variação no setpoint Entretanto o controlador proporcional não garante erro nulo em regime no caso de variação da vazão de entrada qe De fato considerandose que em t1min passe a existir uma vazão de entrada constante de 2m3min a simulação abaixo mostra que há erro em regime o setpoint vale 2m Este erro é tanto menor quanto maior o ganho de controle SetPoint hSP Gcs s 1 K v v As 1 Qes Hs Qs Us 05 1 15 2 25 3 195 2 205 21 215 22 225 Tempo min Nível h m Kc5 Kc10 Kc20 Kc40 KP KP20 KP10 KP5 Figura 19 Variação na vazão de entrada qe Entretanto o ganho de controle não pode ser elevado indefinidamente pois embora isto reduza o erro em regime pode provocar em alguns sistemas oscilações indesejadas ou mesmo instabilidade Uma breve análise teoria da função de transferência em malha fechada permite que se alcancem as mesmas conclusões acima Podese mostrar por meio de álgebra de diagramas de blocos que s Q A K K s s 1 1 A s s H A K K s s A K K Hs e v P 2 SP v P 2 v P Assim anulando a vazão de entrada e considerando o set point como um degrau de amplitude B HSP B s obtémse em regime permanente B s s B A K K s s A K K lim t h v P 2 v P s 0 ou seja a altura tende a B sendo portanto nulo o erro em regime no caso de variação de set point Já no caso de variação em degrau da vazão de entrada amplitude Qe obtémse v P e e v P 2 s 0 K K Q s s Q A K K s s 1 1 A s lim h t ou seja o erro no nível será de fato tanto menor quanto maior o ganho de controle KP As raízes da equação característica das funções de transferência em malha fechada fornecem informações a respeito da estabilidade e da resposta transitória Fazendose assim 0 A K K s s v P 2 2 A 4 K K 1 1 s v P 12 A resposta será oscilatória caso as raízes sejam complexas ou seja v P v P K 4 A K 0 A 4 K K 1 Para o presente exemplo a oscilação começa a ocorrer para 29 KP Este fato é confirmado pelas simulações já que para tais ganhos há um sobressinal na resposta transitória Este sobressinal não é visível na escala em que foram apresentados os gráficos anteriores para K P 10 05 1 15 2 25 3 195 2 205 21 215 Tempo min Nível h m Kc5 Kc10 Kc20 Kc40 KP20 KP10 KP5 KP40 13 Controle Integral Para motivar a ação de controle integral considerese o exemplo de um chuveiro elétrico para o qual se deseja controlar a temperatura da água independentemente da vazão Admitase que a variável de controle seja a potência térmica fornecida à água Se num certo momento a temperatura da água atingiu o valor desejado então a potência térmica fornecida ao resistor deve ser mantida inalterada um controlador proporcional não funcionaria aqui porque a potência térmica sendo proporcional ao erro resultaria nula A idéia básica então é definir um controlador tal que sua saída permaneça constante quando o sinal de erro é nulo Uma maneira de conseguir esta característica é definindo a saída do controlador como sendo proporcional à integral do sinal de erro ao longo do tempo isto é t 0 I e d T 1 u t onde IT é chamado de tempo integral ou tempo de reset e tem dimensão de tempo Nos controladores comerciais o parâmetro IT é ajustável A ação de controle integral também é conhecida por controle de reset A ação de controle integral é muito usada porque ela apresenta uma importante característica prática a eliminação do erro estacionário Para entender como isto ocorre considere a equação acima Se o sistema está em regime estacionário então tanto o sinal de erro e como o sinal de controle u são constantes Mas o termo integral mostra que u variará com o tempo a menos que et 0 Portanto quando a ação integral é usada u atingirá um valor constante que fará com que o erro estacionário seja nulo Mesmo que em geral a eliminação do erro estacionário seja um objetivo de controle importante o controle integral raramente é utilizado sozinho uma vez que para que a variável de controle atinja um valor significativo é preciso que o erro persista por um certo tempo Por outro lado o controle proporcional atua simultaneamente com a ocorrência de um erro ou seja o controlador proporcional toma uma ação corretiva tão logo um erro seja detectado Por esta razão o controle integral é normalmente utilizado em conjunto com o controle proporcional constituindo esta combinação o controlador proporcionalintegral PI t 0 I P e d T 1 e t K u t ou equivalentemente em termos de sua função e transferência T s 1 1 K s E s U I P A resposta de um controlador PI a um degrau unitário em et é mostrada na figura abaixo Figura 110 Ação de controle integral No instante 0 a saída do controlador muda instantaneamente devido à ação proporcional A ação integral produz o crescimento em forma de rampa em u t para t 0 Note que quando t IT a contribuição do termo integral tem o mesmo valor do termo proporcional Dessa maneira a ação proporcional repetiu por uma vez a ação proporcional Por essa razão muitos controladores comerciais são calibrados em termos de 1 IT e adotam a unidade repetições por minuto em vez de IT dados em minutos ou minutos para repetir Assim por exemplo se TI 02 min isto corresponde a 5 1 T I repetições por minuto Uma desvantagem do uso da ação integral é que ela tende a produzir respostas oscilatórias e portanto reduzir a estabilidade do sistema Uma pequena oscilação normalmente é tolerada uma vez que isto está em geral associado com uma rápida resposta Os efeitos indesejáveis da ação integral podem ser reduzidos por meio da sintonia apropriada do controlador ou incluindo a ação derivativa que tende a compensar os efeitos desestabilizantes Sintonizar um controlador PI é naturalmente mais difícil do que sintonizar um controlador P pois no primeiro caso há dois parâmetros a ajustar enquanto que no último há apenas um Como regra geral quanto maior o número de parâmetros a ajustar tanto mais difícil é a sintonia do controlador A figura a seguir mostra o exemplo de controle de nível discutido na seção anterior Considerase o caso de que em t1min passe a existir uma vazão de entrada constante de 2m3min que resultava um erro em regime para controle proporcional Incluiuse então um termo integral com ganho Ti variando de 2min a 02min Podese ver que de fato a ação integral elimina o erro em regime Além disso quanto menor a constante Ti mais rápida é esta correção Entretanto podese constatar também que ações integrais muito intensas Ti baixo podem levar a oscilações Figura 111 Controle de nível com ação integral 14 Reset Windup Um outro problema com a ação integral é um fenômeno conhecido como reset windup Conforme já mencionado a ação integral faz com que a saída do controlador mude enquanto 0 e t Em vista disso quando um erro persistente ocorre o termo integral pode se tornar bastante grande e a saída do controlador pode saturar na prática A continuação da operação de integração após o controlador ter saturado é conhecida como reset windup ou integral windup A figura a seguir mostra uma resposta típica de um controlador PI a um degrau no set point Note que as áreas hachuradas sob a curva dão contribuições positivas ou negativas ao termo integral respectivamente quando a variável controlada está abaixo ou acima do set point O sobressinal elevado ocorre porque o termo integral continua a crescer até que o sinal do erro mude em t 1t quando então o termo integral começa a diminuir Somente após o termo integral se tornar suficientemente pequeno é que a saída do controlador se afasta do limite de saturação Figura 112 Reset windup Assim o fenômeno de reset windup ocorre quando um controlador PI ou PID encontra um erro persistente como por exemplo durante a partida de um processo de batelada batch process ou 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 199 2 201 202 203 204 205 206 207 Tempo min Nível h m Tioo Ti2min Ti1min Ti05min Ti02min após uma mudança grande do set point Ele pode ocorrer também como conseqüência de uma grande perturbação persistente da saída que esteja acima da capacidade de controle do sistema Nesta situação uma limitação física como por exemplo uma válvula de controle totalmente aberta ou fechada impede o controlador de reduzir o sinal de erro para zero Obviamente é indesejável deixar o termo integral continuar crescendo após a saturação da saída do controlador uma vez que este já está fazendo o máximo que pode para reduzir o erro Felizmente os controladores comerciais dispõem de uma função antireset windup que reduz o reset windup interrompendo temporariamente a integração do erro sempre que a saída do controlador satura A integração é reiniciada apenas quando a saída do controlador não está mais saturada 15 Controle Derivativo A ação de controle derivativa tem um caráter antecipatório sendo sua função reagir antecipadamente ao comportamento futuro do sinal de erro com base na sua taxa de variação Por exemplo suponha que a temperatura de um reator suba de 10 graus Celsius em um período de 3 min Obviamente este incremento é mais rápido do que os mesmos 10 graus Celsius em 30 min e poderia indicar uma situação potencialmente fora de controle para uma reação exotérmica Se o reator estiver sob controle manual de um operador experiente este anteciparia as conseqüências e tomaria as ações corretivas apropriadas para reduzir a temperatura Este tipo de resposta não seria obtenível dos controladores vistos até este ponto Note que um controlador proporcional reage apenas a um desvio na temperatura não sendo capaz de distinguir o intervalo de tempo em que o desvio se produz O termo integral também não ajudaria aqui porque ele geraria uma ação corretiva com base no intervalo de tempo passado em que o erro tivesse ocorrido O caráter antecipatório introduzido pelo operador experiente pode ser incorporado nos controladores automáticos fazendo a saída do controlador proporcional à taxa de variação da variável controlada Ou seja a ação derivativa ideal pode ser expressa por dt T de t t u D em que D T é chamado de tempo derivativo e tem dimensão de tempo Dessa maneira o avanço produzido pelo termo derivativo pode compensar o atraso introduzido por praticamente todas as malhas de controle A ação derivativa nunca é utilizada sozinha Se o fosse e se o erro fosse constante o valor do controle seria nulo Então ele sempre é usado em conjunto com um controlador proporcional ou proporcionalintegral Em combinação com um controlador proporcional resulta dt T de t e t K t u D P Neste caso o controlador PD tem a função de transferência T s 1 K s E s U D P A figura a seguir mostra a resposta de um controlador PD a uma entrada rampa unitária Figura 113 Ação derivativa para rampa unitária Como se pode observar a rampa de saída resulta adiantada de D T unidades de tempo em relação à rampa correspondente ao controlador proporcional o que ilustra a natureza antecipatória introduzida pela presença do termo derivativo Uma outra maneira de observar essa característica é notando que a figura a seguir Figura 114 Ação derivativa permite calcular no instante t uma aproximação para o valor do erro no instante futuro tTD dt T de t e t T e t D D se D T for suficientemente pequeno Portanto para o controlador PD T K e t dt T de t e t K t u D P D P o que mostra que o controlador PD calcula uma ação de controle no instante t que é aproximadamente a mesma que um controlador P calcularia se utilizasse o valor previsto aproximado do erro no instante tTD O valor do tempo derivativo TD representa portanto o avanço introduzido pela ação derivativa Isso mostra de uma outra maneira que o termo derivativo dota o controlador de uma capacidade de se antecipar à ocorrência do erro futuro Ao incorporar um caráter antecipatório à ação de controle o modo derivativo tende a estabilizar o sistema O controle derivativo também tende a diminuir o erro estacionário porque é possível trabalhar com valores mais elevados do ganho Além disso normalmente melhora a resposta dinâmica do sistema diminuindo o tempo de acomodação No entanto se a medida da saída é afetada por ruído isto é se ela contém componentes flutuantes de alta freqüência então a derivada tTD o o etTD et t t et KPTD KP ut t TD da variável medida amplifica consideravelmente o ruído a menos que a medida seja previamente filtrada A ação derivativa pode ser combinada com as ações proporcional e integral para formar o tradicional controlador PID dt de t T e d T 1 e t K t u D t 0 I P o qual pode ser descrito equivalentemente pela seguinte função de transferência T s T s 1 1 K s E s U D I P Um inconveniente com esta estrutura fica evidente se consideramos uma variação brusca no valor do set point e portanto em e Neste caso o termo derivativo tende a se tornar muito grande provocando uma sobrecarga no controlador Para evitar este comportamento indesejável podese tomar a derivada da variável controlada c em vez de a derivada do erro e isto é dt dc t T e d T 1 e t K t u D t 0 I P Este método de eliminar o problema se tornou padrão na maioria dos controladores comerciais 16 Respostas Típicas As respostas mostradas na figura a seguir ilustram o comportamento típico de um sistema controlado após a introdução de uma perturbação externa em degrau A variável controlada c é mostrada como um desvio em relação ao seu valor estacionário antes da ação da perturbação Se o sistema opera em malha aberta o sistema exemplificado reage lentamente até que a saída atinja um novo valor estacionário O controlador proporcional torna a resposta mais rápida e reduz o erro estacionário A adição de um termo integral elimina o erro estacionário mas tende a fazer com que a resposta fique mais oscilatória A inclusão de um termo derivativo reduz tanto a intensidade das oscilações como o tempo de resposta É oportuno mencionar que o uso de controladores P PI ou PID nem sempre produz respostas oscilatórias do sistema isto depende não apenas dos valores particulares adotados para os parâmetros KC IT e D T como também da dinâmica do sistema a controlar Figura 115 Respostas típicas de um controlador com termos PID Os efeitos qualitativos de mudar os valores individuais dos parâmetros do controlador são mostrados nas três figuras a seguir Em geral o aumento do ganho P K do controlador tende a produzir uma resposta mais rápida mas valores elevados do ganho podem provocar oscilações excessivas na resposta ou mesmo causar a instabilidade do sistema Assim valores intermediários de P K em geral produzem o melhor controle Estas considerações se aplicam também aos controladores PI e PID Figura 116 Aumento do ganho proporcional O aumento do tempo integral IT normalmente faz com que os controladores Pi e PID se tornem mais conservadores conforme mostra a figura abaixo Teoricamente o erro estacionário é eliminado para todos os valores de TI 0 mas para valores muito altos deste parâmetro a variável controlada retorna ao set point muito lentamente após uma mudança brusca no set point ou a ocorrência de uma perturbação externa Figura 117 Aumento do tempo integral e do ganho proporcional É um pouco mais difícil generalizar a respeito do efeito do tempo derivativo D T Para valores pequenos de D T seu aumento tende a melhorar a resposta reduzindo o desvio máximo o tempo de resposta e a intensidade das oscilações conforme mostrado na figura abaixo Por outro lado se D T é muito grande o ruído de medida da variável controlada tende a ser amplificado e a resposta pode se tornar oscilatória Então um valor intermediário de D T é desejável Figura 118 Aumento do tempo derivativo 2 Sintonia de Controladores 21 Introdução Uma vez que um sistema de controle esteja instalado os ajustes dos parâmetros do controlador devem ser realizados até que o desempenho do sistema seja considerado satisfatório Esta atividade é chamada de sintonia do controlador ou sintonia no campo Como na prática a sintonia é muitas vezes realizada por tentativa e erro essa tarefa pode ser aborrecida e demorada Por isso é desejável disporse de boas estimativas preliminares dos parâmetros do controlador Uma boa estimativa inicial pode ser sugerida por experiência prévia com sistemas de controle semelhantes Nos casos em que se dispõe de um modelo matemático para o sistema ou mesmo de sua resposta em freqüência métodos de projeto baseados na teoria de controle podem ser utilizados Mas mesmo nestes casos o ajuste no campo pode ser necessário para se garantir a sintonia fina do controlador principalmente se o modelo disponível do sistema é incompleto ou não muito preciso 22 Sintonia por Tentativa e Erro A sintonia dos controladores no campo é freqüentemente realizada por meio de um processo de tentativa e erro sugerido pelo fabricante do controlador Um procedimento típico de sintonia de controladores PID realizado em malha fechada é o seguinte 1 Elimine os termos integral e derivativo escolhendo IT com seu valor máximo e D T com seu valor mínimo 2 Atribua a P K um valor baixo e coloque o controlador no modo automático 3 Aumente o ganho P K em pequenos passos até que ocorra uma oscilação mantida após uma pequena mudança no set point ou na perturbação O termo oscilação mantida deve ser entendido como uma oscilação que se mantém com amplitude constante 4 Reduza então P K pela metade 5 Diminua IT em pequenos passos até observar novamente a ocorrência de uma oscilação continuada Fixe então IT em 3 vezes este valor 6 Aumente D T também em pequenos passos até que ocorra novamente uma oscilação mantida Faça então D T igual a 13 deste valor O valor de P K que se obtém no passo 3 é chamado de ganho supremo ultimate gain sendo denotado por KPU Ao realizar o procedimento acima é importante que a saída do controlador não sature Se houver saturação será possível ocorrer um oscilação mantida ainda que PU P K K A figura abaixo mostra resultados típicos de aplicação do procedimento acima a um sistema Figura 21 Sintonia por tentativa e erro Se PU P K K a resposta de malha fechada c t normalmente é super amortecida ou levemente oscilatória O aumento de KP até atingir o valor KPU leva a uma oscilação mantida conforme mostra o gráfico b Se PU P K K o sistema em malha fechada é instável e teoricamente deverá apresentar uma resposta de amplitude ilimitada se a saturação do controlador for ignorada veja o gráfico c Entretanto na prática a saturação do controlador normalmente impede que a amplitude da resposta cresça indefinidamente produzindose então uma oscilação mantida conforme mostra o gráfico d É óbvio que a oscilação mantida do gráfico d pode levar a um valor superestimado de KPU Por exemplo suponhamos que a resposta do gráfico d ocorra quando o ganho do controlador tem o valor KP1 quando na realidade P1 PU K K Esta superestimativa de KPU pode ter como conseqüência um desempenho de baixa qualidade uma vez que o ganho do controlador do passo 4 será demasiado elevado Quando se dispõe de um modelo do sistema o valor de KPU pode ser calculado teoricamente O processo de sintonia baseado na tentativa e erro apresenta alguns inconvenientes 1 Se é necessário um número grande de tentativas para determinar KPU IT e D T ou se o processo tem dinâmica lenta esse é um processo um tanto demorado O custo pode ser elevado por causa da baixa produtividade do processo ou da má qualidade da produção 2 Podese objetar que esse procedimento é arriscado porque o sistema é levado até seu limite de estabilidade Assim por exemplo se durante o procedimento de sintonia houver a ação de uma perturbação externa ou uma mudança qualquer no processo pode ocorrer a instabilidade do sistema e esta provocar uma situação perigosa 3 Alguns processos simples não apresentam um ganho supremo Este é o caso por exemplo de sistemas modelados por funções de transferência de primeira ou segunda ordem 23 Sintonia pelo Método da Oscilação Mantida Os métodos de sintonia do tipo tentativaeerro baseados em oscilações mantidas podem ser considerados como variações do famoso método de ZieglerNichols Este método clássico realizado com o sistema em malha fechada é provavelmente o mais conhecido dentre todos os métodos de sintonia de controladores PID sendo muitas vezes chamado de método do ganho supremo ultimate gain method Conforme descrição da seção anterior o primeiro passo consiste na determinação experimental do ganho supremo KPU O período da oscilação mantida resultante é chamado de período supremo ultimate period e será denotado aqui por U P Os ganhos do controlador PID são então calculados a partir de KPU e U P usando as relações de ZieglerNichols que constam na tabela abaixo As regras de sintonia do método de ZieglerNichols foram obtidas empiricamente com o propósito de garantirem uma taxa de decaimento de ¼ Tabela 41 Método de Ziegler e Nichols Controlador P K IT D T P 050KPU PI 045KPU PU 12 PID 060KPU PU 20 PU 80 Este método tem sido amplamente utilizado na indústria e serve como uma base para a comparação de esquemas de controle diferentes Entretanto o método deve ser usado com algum cuidado pois os resultados nem sempre são satisfatórios Note que o método de ZieglerNichols acima determina para o ganho proporcional um valor que é metade do ganho limite de estabilidade o que significa que a margem de segurança nesse caso é razoável Quando o termo integral é adicionado o ganho proporcional é reduzido de 050KPU para 045KPU o que denota o caráter desestabilizante da ação integral Por outro lado quando o termo derivativo é incluído em seguida o ganho proporcional é aumentado para 060KPU o que indica a natureza estabilizante da ação derivativa Dependendo da aplicação a oscilação resultante desses ajustes de ganhos pode ser insatisfatória para mudanças de set point Neste caso recomendase utilizar o método de ZieglerNichols modificado com os ajustes indicados na tabela abaixo Tabela 42 Método de Ziegler e Nichols modificado KP IT D T ZieglerNichols original 060KPU PU 2 PU 8 Com sobressinal 033KPU PU 2 PU 3 Sem sobressinal 020KPU PU 2 PU 3 Embora sejam largamente empregados os métodos de ZieglerNichols têm algumas das mesmas desvantagens do método por tentativa e erro da seção anterior Contudo o método de ZieglerNichols é de aplicação mais rápida uma vez que requer apenas um experimento com o sistema É oportuno mencionar que os ganhos indicados nas duas tabelas anteriores devem ser considerados apenas como uma primeira aproximação para o processo de ajuste Normalmente eles devem ser seguidos de um processo experimental de sintonia fina por tentativa e erro Para exemplificar consideremos o sistema dado por 1 7s 4e s G 5s 3 Por tentativa e erro obtêmse KPU 095 e PU 12 A aplicação dos métodos de Ziegler Nichols original e modificados produz os resultados da tabela abaixo Tabela 43 Aplicação do Método de Ziegler e Nichols KP IT D T ZieglerNichols original 057 60 15 Com sobressinal 031 60 40 Sem sobressinal 019 60 40 As respostas a degraus de referência nos set points são mostradas na figura abaixo Figura 22 Resposta a variação em set point Verificase um sobressinal menor para os métodos modificados mas mesmo no caso Sem sobressinal não ocorre a eliminação completa do sobressinal É até surpreendente que o caso Com sobressinal produza uma resposta mais oscilatória que a versão original do método a despeito do valor menor do ganho KP esta anomalia devese ao valor mais elevado do parâmetro D T Em resumo podese dizer quer o ajuste pelo método de ZieglerNichols original tende a produzir respostas oscilatórias O método de ZieglerNichols modificado tende a ser mais conservador mas não elimina necessariamente o sobressinal Exemplo Controle de temperatura de um tanque O tanque agitado esquematizado na figura abaixo é usado para realizar a prémistura de componentes O controle de temperatura é importante pois altas temperaturas podem causar a decomposição do produto bem como baixas temperaturas podem resultar uma mistura incompleta O tanque é aquecido por vapor dágua circulando pelo trocador de calor e o controle é feito por meio de um PID manipulando a abertura da válvula de vapor Figura 23 Controle de temperatura em tanque O sistema é modelado utilizandose as equações de transferência de calor e modelos simplificados para a dinâmica da válvula e do transmissor O diagrama de blocos é apresentado na figura abaixo Figura 24 Diagrama de blocos do tanque controlado Onde SPs set point de temperatura KSP ganho do setpoint unitário GCs Controlador PID Gv s Função de transferência que modela a dinâmica da válvula de controle sendo a entrada o sinal de controle Ms em e a saída a vazão de vapor pela mesma Ws lbmin Assumese uma dinâmica de primeira ordem 1 s 20 1652 Gv s com o tempo dado em minutos Gs s Função de transferência que relaciona a vazão de vapor Ws à temperatura s sendo dada por 0 62 5 45s 58s 2 073 G s 2 s GFs Função de transferência que relaciona a vazão da mistura Fs à temperatura s sendo dada por 0 62 5 45s 58s 2 206 108s G s 2 F Hs Função de transferência que modela a dinâmica dado transmissor sensor de temperatura sendo a entrada a temperatura da mistura s oF e a saída em Assumese uma dinâmica de primeira ordem 1 1 075s Hs com o tempo dado em minutos O sistema foi implementado no simulador MatlabSimulink a fim de se obter os valores do ganho supremo KPU e período supremo TU A resposta do sistema em malha fechada para controle proporcional com ganho KP variando de 1 a 10 é apresentada na figura abaixo Pode se ver que para ganho próximo a 10 o sistema assume uma oscilação mantida Precisamente após a realização de diversas simulações chegase a KPU 104 e TU 46min SPs Figura 25 Aumento do ganho proporcional Aplicouse o Método de Ziegler e Nichols ao sistema conforme os ganhos dados na tabela abaixo Tabela 44 Aplicação do método de Ziegler e Nichols KP IT D T ZieglerNichols original 624 23min 058min Com sobressinal 343 23min 153min Sem sobressinal 208 23min 153min Conforme é mostrado na figura a seguir o método original resulta um sobressinal muito elevado 80 A aplicação do método modificado com sobressinal resulta uma redução do sobressinal para 40 aproximadamente O método modificado sem overshoot não resulta uma redução no sobressinal Este fato devese ao caráter empírico do método de Ziegler e Nichols que não garante o desempenho adequado para todos os tipos de processos Figura 26 Resposta em malha fechada 0 5 10 15 05 0 05 1 15 2 25 Tempo min Delta Temperatura oF Kc1 Kc2 Kc5 Kc10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 Tempo min Delta Temperatura oF ZN original ZN no overshoot ZN Some overshoot 24 Sintonia por Autotuning Há um método de sintonia automática devido a Aström e Hägglund que pode ser aplicado como alternativa ao método de ZieglerNichols Esse método tem as seguintes características 1 O sistema é forçado por um relé que faz com que ele oscile com pequena amplitude A amplitude da oscilação pode ser limitada ajustandose a amplitude das variações da entrada 2 Normalmente um único experimento em malha fechada é suficiente para se encontrar o modelo dinâmico sendo que o experimento não exige conhecimento a priori a respeito do modelo do sistema 3 Como o experimento é realizado com o sistema em malha fechada ele também pode ser aplicado a sistemas instáveis em malha aberta O processo de sintonia automática usa um relé com uma zona morta para gerar as oscilações do sistema conforme ilustrado pela figura abaixo Figura 27 Autosintonia O valor de U P é obtido simplesmente medindose o período da oscilação O ganho supremo é dado por a 4d KPU onde d é a amplitude do relé ajustada pelo operador e a é amplitude medida da oscilação do sistema Os valores dos ganhos do controlador são obtidos utilizandose a mesma tabela do método de ZieglerNichols original Aplicouse o método da sintonia automática para o problema do tanque aquecido considerado na seção anterior Para tanto substituiuse o controlador PID por um controlador ONOFF com zona morta pequena A saída do controle bem como a medida de temperatura são apresentadas na figura abaixo Figura 28 Aplicação do método de autosintonia ao tanque aquecido Como visto o período supremo obtido foi de 47min muito próximo ao obtido por meio de simulações na seção anterior o valor obtido havia sido 46min Além disso o ganho supremo KPU será lembrese que o range de temperatura é de 100ºF 102 250 2 410 KPU muito próximo ao valor obtido na seção anterior 104 25 Sintonia pelo Método da Curva de Reação do Sistema Este método também foi proposto por Ziegler e Nichols para a sintonia online de controladores Ele se baseia num único teste experimental que deve ser realizado com o sistema em malha aberta controlador no modo manual Produzse um sinal do tipo degrau com amplitude M na saída do controlador e a resposta ct do sistema é registrada O gráfico desta resposta a degrau é chamada de curva de reação do sistema O método se aplica apenas no caso em que a resposta a degrau da planta em malha aberta tem o aspecto indicado na figura abaixo típica de um sistema de primeira ordem com atraso 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 15 1 05 0 05 1 15 Tempo min Temperatura Medida oF 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 10 5 0 5 10 Saída do controlador ONOFF 2d20 2a250oF Tu47min Figura 29 Curva de reação e são chamados na literatura respectivamente de tempo de retardo e constante de tempo O ganho do sistema é calculado simplesmente por c M K onde M é a amplitude do sinal degrau de entrada Muitas vezes a determinação da tangente da curva de reação e por conseqüência dos tempos e possui grande incerteza Nestes casos podemse utilizar métodos de aproximação entre a resposta de um sistema de primeira ordem com atraso e a curva de reação do sistema Um destes métodos se baseia na definição dos tempos t1 e t2 nos quais a curva de reação atinge 0283c e 0632c respectivamente Figura 210 Método para identificação dos parâmetros da curva de reação Podese mostrar que uma boa aproximação para T e L é dada por t 2 t 3 2 1 e 2t Os valores dos parâmetros do compensador devem ser escolhidos conforme indicado na tabela a seguir segundo Ziegler e Nichols KM ct t Ponto de inflexão t1 t2 0 283 c 0 632 c c t ct Tabela 45 Método de Ziegler e Nichols para Curva de Reação Controlador KP IT D T P K 1 0 PI K 1 90 03 0 PID K 21 1 2 05 Essas relações para a sintonia do controlador foram obtidas empiricamente com o objetivo de conseguir uma taxa de decaimento da ordem de ¼ De forma semelhante também com embasamento empírico Cohen e Coon desenvolveram fórmulas para os ganhos de controle também com objetivo de obter decaimento ¼ em malha fechada Tabela 46 Método de Cohen e Coon para Curva de Reação Controlador KP IT D T P 3 1 K 1 0 PI 12 90 K 1 20 9 3 30 0 PID 12 3 16 K 1 8 13 6 32 2 11 4 O método da curva de reação do processo apresenta as seguintes vantagens 1 É preciso realizar apenas um único experimento não sendo necessário um processo de tentativa e erro 2 Os parâmetros do controlador são calculados de maneira simples Contudo esse método apresenta algumas desvantagens 1 O experimento deve ser realizado em malha aberta Portanto se uma mudança significativa nas condições de operação ocorre durante o teste nenhuma ação corretiva é executada e os resultados podem ser bastante distorcidos 2 A obtenção precisa dos parâmetros e pode ser difícil se a medida da resposta do sistema se apresenta afetada de ruído ou se um simples registrador de papel é utilizado 3 Este método tende a ser sensível aos erros de calibração do controlador em oposição ao método de ZieglerNichols da oscilação mantida que é menos sensível a erros de calibração em KP uma vez que neste caso o ganho é ajustado durante o experimento 4 A resposta do sistema tende a ser oscilatória dado que o método foi desenvolvido para produzir uma taxa de decaimento de ¼ 5 O método não se aplica a sistema que tenham uma resposta oscilatória em malha aberta uma vez que esta não tem a forma padrão apresentada na figura anterior 6 O método apresenta bons resultados apenas quando a relação estiver entre 01 e 05 Vamos aplicar o método da curva de reação ao exemplo do tanque aquecido considerado nas seções anteriores Aplicandose um degrau unitário na entrada do sistema apresentase abaixo a curva da temperatura medida Figura 211 Curva de reação para o tanque aquecido Podese calcular portanto 833min t 2 t 3 1 2 148min T t2 com K195 Assim projetaramse controladores pelo método de Ziegler e Nichols e CohenCoon Os ganhos são dados na tabela abaixo Tabela 47 Métodos da curva de reação para o tanque aquecido KP IT D T 0 10 20 30 40 50 60 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 Tempo min Delta Temperatura oF K195 t2981 t1426 ZieglerNichols 346 296min 074min CohenCoon 397 339min 052min As respostas em malha fechada para ambos os controladores são apresentadas na figura abaixo Podese ver que o desempenho de ambos é semelhante sendo o método de Ziegler e Nichols ligeiramente mais lento apresentando porém um menor sobressinal Figura 212 Resposta em malha fechada 26 Sintonia Baseada em Minimização da Integral do Erro Utilizandose o modelo de primeira ordem com atraso obtido por meio da curva de reação do sistema ou por meio de modelagem ou ajuste numérico podemse estimar ganhos para o controlador PID de forma a minimizar critérios baseados no erro de controle diferentemente do método visto na seção 85 cujo objetivo é garantir a taxa de decaimento em ¼ Os critérios mais as mais usuais Integral do valor absoluto do erro IAE 0 dt e t IAE Integral ponderada pelo tempo do valor absoluto do erro ITAE 0 dt t e t ITAE Podese ver que o critério de minimização baseado na integral ITAE penaliza mais fortemente erros que persistem por longo tempo após a aplicação do distúrbio ou mudança de setpoint Os ganhos de controle para minimizar os critérios acima considerandose o erro devido a distúrbio ou mudança de set point são dados por 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 Tempo min Delta Temperatura oF Ziegler e Nichols CohenCoon Tabela 48 Métodos de minimização de integral IAE e ITAE Tipo Ação IAE ITAE A B A B Distúrbio P 1435 0921 1357 0947 I 0878 0749 0842 0738 D 0482 1137 0381 0995 Set point P 1086 0869 0965 0855 I 0740 0130 0796 0147 D 0348 0914 0308 0929 Sendo Ganho Proporcional B c K A K Tempo Integral B i A T para distúrbio e B A Ti para set point Tempo Derivativo B D A T Devese notar que assumese que a dinâmica do sistema a variações de setpoint é idêntica à resposta devida ao distúrbio o que nem sempre é verdadeiro Quanto isto não ocorrer as formulações relativas ao distúrbio deixam de ser válidas Aplicaramse os critérios de IAE e ITAE ao problema do tanque aquecido considerado nas seções anteriores Os ganhos obtidos foram Tabela 49 Aplicação do método de IAE e ITAE para o tanque aquecido KP IT D T IAE set point 249 116min 007min ITAE set point 216 1081min 006min IAE distúrbio 361 260min 007min ITAE distúrbio 356 277min 007min A figura abaixo contém a resposta a variação de set point unitária com os controladores projetados para este efeito Notase que os dois controladores apresentam bom desempenho sendo o ITAE ligeiramente mais rápido com maior sobressinal entretanto Figura 213 Resposta em malha fechada para variação de set point A figura abaixo contém a resposta a distúrbio unitário com os controladores projetados para variação de set point Notase que os controladores apresentam resposta muito lenta já que não foram projetados para tal efeito Figura 214 Resposta em malha fechada para distúrbio Refazendo o cálculo dos parâmetros para o critério de distúrbio a resposta a um distúrbio unitário é apresentada abaixo Podese ver que há uma melhora em relação ao controlador anterior projetado para set point porém a resposta é muito oscilatória tanto para o critério ITAE ou IAE O que causa este efeito é o fato de a dinâmica relativa ao distúrbio F G ser diferente da relativa ao setpoint S G como detalhado na seção 43 0 5 10 15 20 25 30 0 02 04 06 08 1 12 14 Tempo min Delta Temperatura oF ITAE IAE 0 10 20 30 40 50 60 08 07 06 05 04 03 02 01 0 Tempo min Delta Temperatura oF ITAE IAE Figura 215 Resposta em malha fechada para distúrbio 27 Sintonia pelo método do IMC Ver detalhes em Campos e Teixeira 2006 OBS é estimativa da constante de tempo em Malha Fechada 0 10 20 30 40 50 60 06 05 04 03 02 01 0 01 02 03 Tempo min Delta Temperatura oF ITAE IAE 28 Sintonia pelo Método de Ótimo em Amplitude e Ótimo Simétrico Os métodos descritos na presente seção são bastante utilizados em malhas de controle de sistemas elétricos como por exemplo em drivers de servomotores Sabese que a dinâmica de um sistema em malha fechada é considerada boa se a variável controlada atingir rapidamente o valor prescrito pela variável de comando set point Isto significa que a função de resposta em freqüência em malha fechada deve ser próxima de 1 numa faixa de freqüência tão larga quanto possível com início na freqüência nula Como conseqüência a variável controlada ainda não consegue seguir a referência no instante exato da aplicação de uma mudança em degrau nem nos instantes imediatamente posteriores Entretanto logo depois sob a ação de freqüências menores o módulo da resposta em freqüência se aproxima consideravelmente de 1 e o erro entre a referência e a variável controlada se aproxima de 1 Os métodos descritos na presente seção baseiamse na idéia exposta acima ou seja aproximar o módulo da resposta em freqüência em malha fechada do valor unitário na maior faixa de freqüência possível A figura a seguir mostra uma função 3 que apresenta comportamento otimizado segundo os conceitos expostos Figura 216 Módulo das funções de transferência em malha fechada Caso 3 otimizado O desenvolvimento matemático do processo de otimização é baseado na descrição do sistema a ser controlado como uma associação em série de elementos simples como ganhos sistemas de primeira ordem e integradores tal como o exemplo de malha mostrado na figura a seguir Figura 217 Malha de controle a ser otimizada F 3 1 2 1 Controlador Sistema 1a ordem 1a ordem Integrador ut rt xt Exemplo 1 Para uma planta modelada como um sistema de primeira ordem será projetado um controlador integral pelo método da ótima amplitude A função de transferência da planta Gs e do controlador Gcs são dadas por 1 s K s U Xs Gs Ts 1 s E Us s G I C Assim a função de transferência em malha fechada é dada por K Ts s T K GG 1 GG s R Xs s G i 2 i c c MF cujo módulo é dado por 2 i 2 i 2 2 i 2 4 2 MF K 2 TK T T K j G Assim para que o módulo tenda a 1 nas baixas freqüências a expressão entre parênteses deve tornarse 0 ou seja 2 K T 0 2 TK T i i i2 que é o valor do ganho integral de controle otimizado segundo o método da ótima amplitude De fato para este valor de Ti a função de transferência em malha fechada resulta 2 2 2 2 2 MF 1 2 s s 2 1 1 2 s s 2 1 s G que equivale a um sistema de 2ª ordem com freqüência natural 2 1 N e amortecimento 0707 2 1 Seja um sistema com K 1 e 10 s o ganho integral resultante pelo método acima é 20 Ti A simulação do sistema em malha fechada é apresentada na figura a seguir Podese mostrar que o sobressinal para o fator de amortecimento resultante 0707 é de 47 O tempo de subida é de 47 e o tempo de estabilização 2 é de 84 1a ordem ut rt xt s TI 1 s 1 K Figura 218 Simulação do sistema com controle I otimizado pelo método da ótima amplitude Exemplo 2 Considerase agora um sistema com diversas constantes de tempo pequenas 2 3 associadas a uma constante de tempo grande T1 Neste caso será necessário um controlador PI como será mostrado adiante Inicialmente será utilizado o fato de que caso o tempo integral Ti seja muito superior às constantes de tempo 2 3 e de fato será como veremos adiante a associação destas diversas funções de primeira ordem com constantes de tempo pequenas é equivalente a um sistema de primeira ordem com constante de tempo 3 2 Assim a função de transferência em malha aberta é dada por 1 s 1 1 s T K s T 1 Ts K s G 1 I I P MA Para compensar a constante de tempo T1 ajustase o ganho integral Ti de forma a cancelar o pólo em 1T1 ou seja impõese 1 I T T Esta expressão comprova a hipótese inicial que Ti seria muito maior que as constantes de tempo 2 3 Após a compensação a função em malha aberta fica dada por 1 s s T K K s G 1 P MA 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 0 02 04 06 08 1 12 Tempo s X sobressinal43 tsubida47 Sistema 1a ordem 1a ordem ut rt xt s T T s K I I p 1 1 1 s T K 1 1 3 s 1 1 2 s 1a ordem A função em malha fechada fica portanto 2 1 1 P P MF T s T s K K K K s G Novamente calculase o módulo desta função e repetese o procedimento utilizado no exemplo 1 que resulta a seguinte expressão para garantir módulo unitário na maior faixa de freqüências 2 K T K 0 2 TKK T 1 P P 1 2 1 Assim obtêmse os dois ganhos de controle necessários Kp e Ti Considerandose um sistema com ganho K2 e constantes de tempo T12s t201s t3005s e t4015s Os ganhos do controlador PI serão portanto Ti2 e Kp167 Podese mostrar que neste caso assim como no exemplo 1 o sistema em malha fechada apresentará aproximadamente 2 1 N e amortecimento 0707 2 1 De fato a simulação apresentada abaixo confirma estes cálculos Figura 219 Simulação do sistema com controle PI otimizado pelo método da ótima amplitude Exemplo 3 Considerase agora um sistema com diversas constantes de tempo pequenas 3 4 associadas a duas constantes de tempo grande T1 e T2 Neste caso será necessário um controlador PID como será mostrado adiante 0 05 1 15 2 25 3 35 4 0 02 04 06 08 1 12 Tempo s X Sistema 1a ordem 1a ordem ut rt xt s T T T s T s K I D I I p 2 1 1 1 s T K 1 1 s 1 1 2 s T 1a ordem 34 Assim novamente com o intuito de cancelar os pólos em 1T1 e 1T2 fazse 1 1T s Ts TT s Ts 1 2 1 2 I D I que fornece 2 1 I T T T T TT T T 2 1 1 2 D Assim a função de transferência em malha aberta com os ganhos integral e derivativo calculados segundo as expressões acima resulta 1 T s s T K K s G 2 1 P MA Seguindo o mesmo procedimento dos exemplos anteriores obtémse K 2 T T K 2 1 P Considerandose um sistema com ganho K2 e constantes de tempo T12s T24s t301s t3005s e t4015s Os ganhos do controlador PID serão portanto Ti6 TD133 e Kp5 Podese mostrar que neste caso assim como nos exemplos anteriores o sistema em malha fechada apresentará aproximadamente 2 1 N e amortecimento 0707 2 1 De fato a simulação apresentada abaixo confirma estes cálculos Figura 220 Simulação do sistema com controle PID otimizado pelo método da ótima amplitude Conclusões 1 Observese que um controlador PI é adequado para funções com duas constantes de tempo 2 Controladores PID podem ser aplicados em sistemas com três constantes de tempo na função do processo da regulação em cascata 0 05 1 15 2 25 3 35 4 0 02 04 06 08 1 12 Tempo s X 3 Em resumo o critério para otimização em amplitude consiste em eliminar as constantes de tempo mais elevadas deixando a menor Exemplo 2 1 p 1 sT 1 sT s 1 k Gs s 2k 1 sT 1 sT s G p 2 1 c Logo 2 s 2s 1 s s 1 2 1 s G 2 2 MA Resultando a malha fechada s 2 2s2 2 1 1 1 G G Otimização em Simetria Objetivo Minimizar a presença da perturbação na variável de saída da forma que o desvio provocado pela perturbação não comprometa o comportamento do sistema Normalmente empregada para a malha externa do controle em cascata Conforme detalhado na apostila do Módulo I mostrase que o controlador projeto pelo método da otimização em simetria resulta 1 Planta 1 s sT k s G o p Controlador PI s T 2k 4 1 4 s s G 0 p c Resultando 1 s s 8 1 4 s G G s 2 2 c P G Gc rt xt ut 2 Planta 1 s 1 T s sT k s G 2 o p Controlador PID s T 2k 4 T s s 1 4 s 1 G 0 p 2 c Resultando 1 s s 8 1 4 s G G s 2 2 c Devese destacar que Quando utilizada a Otimização em Simetria o sobresinal para entrada do grau é 43 conforme ilustrado na resposta a degrau abaixo Figura 221 Simulação do sistema com controle PI otimizado pelo método do ótimo simétrico Para abaixar este sobressinal colocase um pré filtro cancelandose o numerador da função de transferência em malha fechada otimizada O sobresinal cai para 8 Time sec Amplitude Step Response 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 05 1 15 From U1 To Y1 sobressinal434 tsubida 31 T1 Exercícios 1 A curva abaixo representa a resposta a um degrau de amplitude 7 aplicado diretamente na entrada de um processo térmico O range do transmissor de temperatura é de 01000ºC Lembrese que para o controlador as entradas e saídas são dadas em a Calcule os parâmetros de um modelo de primeira ordem com atraso equivalente b Projeto o controlador para o processo usando os seguintes métodos 1 Ziegler e Nichols P PI PID 2 Método de CohenCoon PID 3 Critério ITAE para variação de setpoint PID 2 Um sistema possui função de transferência 26 2s 1s Gs 2 Mostre que nenhum dos métodos estudados de ajuste de PID aplicamse a este sistema Em seguida calcule a função de transferência em malha fechada deste sistema realimentado por um PID e obtenha os ganhos Kp Ti e Td para que o sistema em malha fechada apresente freqüência natural de 2rads e amortecimento de 07 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2 15 1 05 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6 65 7 75 8 85 9 95 10 Tempo s Temperatura oC 3 Referências Bibliográficas CAMPOS MCMM TEIXEIRA HCG Controles Típicos de Equipamento e Processos Industriais Editora Edgard Blucher 1ª Edição 2006 MURRIL PW Fundamentals of Process Control Theory Instrument Society of América 2a ed 1991 OGATA K Engenharia de Controle Moderno PrenticeHall do Brasil 2a ed 1990 SEBORG DE EDGAR TF MELLICHAMP DA Process Dynamics and Control Wiley Series in Chemical Engineering John Wiley Sons 1989 SMITH CA CORRIPIO AB Principles and practice of automatomatic process control John Wiley Sons 2a Edição 1998