Controle de Sistemas: Aulas e Conteúdos

Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 CONTROLE E SERVOMECANISMOS Engenharia da Computacao Modulo 1 Modelagem de Sistemas Prof Dr Victor Leonardo Yoshimura Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Faculdade de Computacao 20222 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Aula 01 Introducao aos Sistemas de Controle Aula 02 Transformada de Laplace Aula 03 Modelagem I Diagramas de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Modelagem II O Espaco de Estado Aula 05 Modelagem III Sistemas Mecˆanicos Aula 06 Modelagem IV Circuitos Eletricos e Eletrˆonicos Aula 07 Modelagem V Sistemas de Controle de Nıvel e de Temperatura Aula 08 Analise da Resposta Transitoria I Aula 09 Analise da Resposta Transitoria II Aula 10 Estrutura Basica de Controle por Realimentacao Aula 11 Erros em Regime Permanente em Malha Fechada Aula 12 Analise da Estabilidade Controle Prof Victor Aula 01 Introducao Funcoes Complexas Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Aula 01 Introducao aos Sistemas de Controle Aula 02 Transformada de Laplace Aula 03 Modelagem I Diagramas de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Modelagem II O Espaco de Estado Aula 05 Modelagem III Sistemas Mecˆanicos Aula 06 Modelagem IV Circuitos Eletricos e Eletrˆonicos Aula 07 Modelagem V Sistemas de Controle de Nıvel e de Temperatura Aula 08 Analise da Resposta Transitoria I Aula 09 Analise da Resposta Transitoria II Aula 10 Estrutura Basica de Controle por Realimentacao Aula 11 Erros em Regime Permanente em Malha Fechada Aula 12 Analise da Estabilidade Controle Prof Victor Aula 01 Introducao Funcoes Complexas Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 O que e um Sistema de Controle Sistema de controle Um conjunto de dispositivos de forma a manter uma variavel fısica dentro de especificacoes de interesse Aplicacoes Praticamente toda a area tecnologica envolve algum sistema de controle fontes de alimentacao equipamentos eletrˆonicos projetos aeroespaciais sistemas industriais para controle de pressao temperatura vazao nıvel etc Objetivos Em geral garantir o valor de alguma grandeza fısica na presenca de alguma restricao ou perturbacao com custo mınimo Controle Prof Victor Aula 01 Introducao Funcoes Complexas Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Uma Breve Historia da Teoria de Controle 17631775 James Watt desenvolve a maquina a vapor c1890 Aleksandr Lyapunov desenvolve a teoria da estabilidade que leva seu nome 1932 Harry Nyquist desenvolve um procedimento para determinacao de estabilidade 1934 Harold L Hazen discute o projeto de servomecanismos a rele capazes de seguir uma referˆencia 1938 Hendrik W Bode desenvolve a analise pelo diagrama que leva seu nome 1948 Walter Evans desenvolve o metodo do lugar das raızes 1960 Uso de metodos no domınio do tempo e variaveis de estado 1980 Desenvolvimento do controle robusto e H Controle Prof Victor Aula 01 Introducao Funcoes Complexas Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 A Maquina a Vapor de Watt Controle Prof Victor Aula 01 Introducao Funcoes Complexas Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Terminologia Variavel controlada Grandeza fısica a ser medida e controlada Variavel manipulada Grandeza fısica cuja manipulacao controla a variavel controlada Planta Qualquer dispositivo fısico a ser controlado Processo Operacao progressiva de acoes controladas direcionadas a certo resultado Sistema Componentes que atuam conjuntamente para atingir certo objetivo Perturbacao Sinal que afeta adversamente a saıda da planta Controle por realimentacao Controle para uma planta na presenca de perturbacoes de tal forma a reduzir o erro presente em sua saıda Controle Prof Victor Aula 01 Introducao Funcoes Complexas Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Diagrama de Blocos de um Sistema de Controle Σ Compensador Σ Planta Sensor rt εt ut ut yt zt dt Sinais envolvidos no sistema Referˆencia rt Saıda yt Medido da saıda zt Erro εt Erro compensado ut Perturbacao dt Atuacao ut Controle Prof Victor Aula 01 Introducao Funcoes Complexas Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Um Sistema de Controle Forno Eletrico Exercıcio No esquema acima quem e a planta E o sensor E o compensador E a entrada e a saıda Controle Prof Victor Aula 01 Introducao Funcoes Complexas Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Desafios em um Projeto de Sistema de Controle Naolinearidade dos componentes A modelagem e feita assumindo componentes lineares mas algum componente nao o e Ex Atrito seco em amortecedores Atraso de transporte Ha um atraso nao previsto entre a emissao de um sinal e sua recepcao Parˆametros conflitantes Ao exigir que um parˆametro de projeto seja melhorado ha uma deterioracao de algum outro parˆametro Ex Overshoot e tempo de resposta Digitalizacao do controle Ao envolver uma CPU para o projeto do compensador diversas outras consideracoes para o projeto devem ser feitas Ex Erro de quantizacao Controle Prof Victor Aula 01 Introducao Funcoes Complexas Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Malha Aberta versus Malha Fechada Sistema em malha fechada Ou realimentado O controle e determinado de acordo com o erro presente na saıda Sistema em malha aberta Nao ha leitura da saıda para determinacao da acao de controle Importante Um sistema realimentado tende a ser menos sensıvel a perturbacoes externas Por outro lado um sistema em malha aberta tende a ser mais simples e barato em sua implementacao Controle Prof Victor Aula 01 Introducao Funcoes Complexas Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Funcoes Complexas Uma variavel complexa s e aquela que se escreve como s σ jω 11 Uma funcao complexa F C C e aquela que se escreve como Fs Fxs jFys 12 Observacao A unidade imaginaria j tem a seguinte propriedade j2 1 13 Magnitude Angulo e Conjugado rene ed col AAT ROE A magnitude do nimero complexo s é s Vo u 14 O Angulo do nimero complexo s é Ww args arctg 2 15 o O conjugado do numero complexo s é sa0jw 16 Observacdo As definicdes de magnitude Angulo e conjugado se aplicam de forma andloga a uma funao complexa Fs Controle Prof Victor Aula 01 Introducao Funcoes Complexas Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Relacao de Euler A partir das expansoes de Taylor das funcoes seno e cosseno podese verificar a relacao de Euler cos θ j sen θ ejθ 17 Duas relacoes importantes podem tambem ser obtidas cos θ ejθ ejθ 2 18a sen θ ejθ ejθ j2 18b Controle Formas Cartesiana e Polar i ed col AAT ROE Tms Se s 1 entado scosyjseny e ed Sa oO Ww K Caso s 4 1 basta fazer Res 8 ss s Ww Unitario Observacdo Todo numero complexo s 4 0 pode ser escrito como sojw sle 19 Controle Prof Victor Aula 01 Introducao Funcoes Complexas Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Funcoes Analıticas Definicao Uma funcao complexa F e dita analıtica em Ω C se s Ω se existir a derivada de F em relacao a s em qualquer ordem ou seja F e analıtica em Ω dn d sn Fs C s Ω n N Teorema Condicoes de CauchyRiemann F C C e analıtica se e somente se Fx σ Fy ω 110a Fx ω Fy σ 110b Controle Pontos Singulares Polos e Zeros i ed col AAT ROE Defi n icdo aMccok ect cry Seja F uma fungao complexa p z C i Os pontos de C onde F nao é analitica so ditos singulares ii Os pontos singulares onde F ou alguma de suas derivadas tende ao infinito sao ditos polos iii Se p 6 um polo de F tal que s p Fs co para algum n N Entao p é dito um polo de ordem n iv Se Fz 0 entdo z é dito um zero de F F v Sez ézero de F tal que lim Fs 0 para SoZ s So saz algumn N Entado z é dito um zero de ordem n Exe m p O Controle ed col AAT ROE Considere a funcdo complexa beesse 1 Fs s stl Usando 11 reescrevemos 1 1 F oO 7 Jw otjwtl otlt gu Multiplicando e dividindo pelo conjugado chegase a o1 wW Fa jw 3 5 4 oa 7 Jw 9 1 w J 9 1 w F Fy Controle Prof Victor Aula 01 Introducao Funcoes Complexas Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo Assim as derivadas parciais sao Fx σ ω2 σ 12 σ 12 ω22 Fy ω que valem se ω 0 e σ 1 s 1 Podese mostrar que a segunda condicao de CauchyRiemann tambem vale Logo F e analıtica em C1 Assim podese calcular F s d Fs d s Fx σ j Fy σ Fy ω j Fx ω 1 σ jω 12 1 s 12 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Transformada de Laplace Funcoes Transferˆencia Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Aula 01 Introducao aos Sistemas de Controle Aula 02 Transformada de Laplace Aula 03 Modelagem I Diagramas de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Modelagem II O Espaco de Estado Aula 05 Modelagem III Sistemas Mecˆanicos Aula 06 Modelagem IV Circuitos Eletricos e Eletrˆonicos Aula 07 Modelagem V Sistemas de Controle de Nıvel e de Temperatura Aula 08 Analise da Resposta Transitoria I Aula 09 Analise da Resposta Transitoria II Aula 10 Estrutura Basica de Controle por Realimentacao Aula 11 Erros em Regime Permanente em Malha Fechada Aula 12 Analise da Estabilidade Definicao da Transformada de Laplace Prof Victor Definiao Transformada de Laplace Seja f R R uma funcdo A Transformada de Laplace TL de f Li ft é dada por cil rear 24 quando a integral 21 convergir Observacdo Sob quais condicées uma funcao de variavel real possui TL Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Transformada de Laplace Funcoes Transferˆencia Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Existˆencia da Transformada de Laplace Teorema Existˆencia da TL Seja f R R uma funcao A integral 21 converge se i f for seccionalmente contınuaem seu domınio e ii σ R tal que lim t fteσt 0 Observacao Caso as condicoes anteriores se verifiquem entao f e dita de ordem exponencial σ e dita abscissa de convergˆencia Controle Exemplo ed col AAT ROE A funcdo ft e possui TL pois é continua e le e e otayt Note que esta expressdo tendera a zero se e somente se oa0aa Assim a TL dessa fundo pode ser calculada e vale CO Lf t ete st dy 0 oe 1 eertat 0 SaQ Atraso no Tempo Sejam Lif t fs ea 0 ATL de fta é dada por cit a rc ft aeat eae Fazendo as substituicdes 7 taedrdt lft a fo Fre ar frje ee dr e fte dr Portanto Lifta e fs 22 Controle Funcoes Degrau Pulso e Impulso i ed col AAT ROE A funcdo degrau unitario e sua TL sao respectivamente a axiemetbdblakx it oe 23 0 caso contrario 7 st st 1 Li1t lte dt e dt 24 0 Dado t 0 definese a funcao pulso como 1 se0tKt Pt t to 25 0 caso contrario Ou equivalentemente usando degraus unitarios 1 iot 1t 1 t 26 Funcoes Degrau Pulso e Impulso II rene ed col AAT ROE Aplicando a propriedade 22 em 24 e em 26 5 L rpg eteeity Loo Pt s L L1t ee LLt a 27 A funcao impulso ou delta de Dirac é definida com t 0 em 25 t0 5t e 28 0 caso contrario Fazendo o mesmo limite em 27 1 e fs IHépital se fos 6t Jim lim 1 29 Teorema da Diferenciacdo Real onmons ed col AAT ROE Teorema Transform de Leplace Seja Lif t fs Entao dft 4 229 sfs 00 210 Observacdo Para uma diferenciacao de nésima ordem d ft ne nol nelii L a sfs S s f0 211 i0 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Transformada de Laplace Funcoes Transferˆencia Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Teoremas do Valor Inicial e do Valor Final Teorema Valor Final Seja Lft ˆfs com todos os seus polos no semiplano esquerdo e no maximo um polo na origem entao lim t ft lim s0 s ˆfs 212 Teorema Valor Inicial Seja Lft ˆfs entao lim t0 ft lim s s ˆfs 213 Teorema da Convolucdo onvel ed col AAT ROE Definiao Convoluao Sejam f eg funcées reais Sua convolucao é definida por Wonca coly es t f fergtrar 24 Observacdo A convolucao é comutativa De fato basta fazer t T em 214 para verificar tal proposiao Teorema Convolucao Se as TLs de f eg existem entdo Lif t 9t fsGs 215 Transformada Inversa de Laplace rene ed col AAT ROE Definicdo Transformada Inversa de Laplace Cnr TP Sejam f C C uma funao complexa e c R maior que todas as partes reais das singularidades de f A Transformada Inversa de Laplace TIL de fs Lfs é a funcao de variavel real f dada por f Af jijera 216 sje ds j20 cjoo Pm Obter TILs a partir de 216 nado é pratico Melhor é utilizar tabelas de TL e a expansdo em fracdes parciais n Controle Funcoes Racionais ed col AAT ROE Definiao Funao Racional Uma funcao racional é aquela que se escreve como rn fs wre o18 fis Bms Bm1s Bis Bo 217 Ans Qn18 1 018 a9 SS ds Sen ma funcao racional é dita propria P Sen m a funcao racional é dita estritamente prdpria Para funcdes racionais estritamente prdprias a Expansdo em Fracdes Parciais EFP segue casos distintos Controle 1 caso Polos reais e distintos i nage VA Leino s Neste caso reescrevese ds como ds s pis pa 8 Pn e 217 reescrevese na forma Teor A Ti s fs p onde r é 0 residuo de f no polo p O calculo dos residuos é feito com s J 2 s Pe 8 o s Pr Pi S p2 von ttt r 218 S Dk S Pn Com os residuos calculados podese obter a TIL como Lf s So rie 219 il Exe m p O eotnitce i Prof Victor Calculemos a TIL de fs st3 Para tanto s 3842 observe que SreTSCTneC ER Ce eet ayy s3 1 T9 Is st1s2 sl s2 Os residuos sdo calculados com 218 s3 ry st1 aa 2 GFDG2 s1 s3 rg s 2 aa 1 s 1s 2 s2 Assim usando 219 fs 2et Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Transformada de Laplace Funcoes Transferˆencia Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 2º Caso Polos complexos e distintos Considere um par conjugado de polos da forma p12 α jω Assim s2 bs c s α jωs α jω s α2 ω2 Desta forma chegase a ˆfs ds f s2 bs c k1 ω s α2 ω2 k2 s α s α2 ω2 com k1 e k2 a determinar Aplicando a TIL obtemse o resultado desejado L1 ˆfs k1eαt sen ωt k2eαt cos ωt 220 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Transformada de Laplace Funcoes Transferˆencia Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo Calculemos a TIL de ˆfs 2s 12 s2 2s 5 Seus polos sao 1 j2 Reescrevendo a funcao temse ˆfs k1 2 s 12 4 k2 s 1 s 12 4 Donde comparando as formas concluise que k1 5 e k2 2 Usando 220 temse L1 ˆfs et5 sen 2t 2 cos 2t Zs Controle 3 Caso Polos reais multiplos ed col AAT ROE Neste caso assumese 0 denominador de fs sob a forma ds s p SreTSCTneC ER Ce eet Entao podese reescrever a funao sob a forma e TP ne ni fs 5 8 p fs So ris p il sp il Podese verificar que com o resultado acima os residuos podem ser calculados com 1 d is pfss 221 r Gaps lo PIA Nsmr 221 Usando a tabela de TLs temse que cy pile 222 ol G1 222 Controle Exemplo nace AVAL g 1 Determinese a TIL de fs Gana Calculando os eee residuos 1 d r Gogg al les 2 1 dt Gopal Mss 1 Assim usando 222 temse s1 crop ae Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Transformada de Laplace Funcoes Transferˆencia Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Solucao de Equacoes Diferenciais Ordinarias A TL e muito conveniente para solucionar Equacoes Diferenciais Ordinarias EDOs Em particular usase para solucionar Problemas de Valor Inicial PVIs Seguese o procedimento i Determine a TL para o PVI ii Isole a funcao incognita no domınio s iii Determine a TIL da expressao resultante Exercıcio E possıvel solucionar o PVI y 7 y 12y 1t sob condicoes iniciais nulas Se for encontre y Funcoes Transferéncia onmons Prof Victor Um Sistema Linear Continuo e Invariante no Tempo SLITC é descrito pela EDO ti Sg Gi mame Slay 2 ju 223 an i0 j0 onde u é a entrada e y a saida e n a ordem do sistema A Funao Transferéncia FT desse SLITC é definida por Gs Liy gs Se 224 as Llut lyoyyioy 00 224 Combinando 223 e 224 Bis j0 Gs 225 S ais i0 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Transformada de Laplace Funcoes Transferˆencia Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Funcoes Transferˆencia Observacoes Observacao A Funcao Transferˆencia i E uma caracterıstica do sistema independendo da entrada aplicada ii Nao fornece informacao alguma a respeito da estrutura interna do sistema Com efeito diferentes sistemas podem ter a mesma FT iii Pode ser experimentalmente levantada Apos isto temse total conhecimento das caracterısticas dinˆamicas do sistema Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Transformada de Laplace Funcoes Transferˆencia Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo Controle de Posicao de Satelite F 2 F 2 Centro de Massa θ A EDO para a posicao do satelite e J θ T J y u Aplicando a TL sob Condicoes Iniciais CIs nulas Js2ˆy ˆu ˆg ˆy ˆu 1 Js2 onde T torque entrada θ ˆangulo de guinada saıda J momento de inercia FTs Identificacdo de Sistemas via Impulso ed col AAT ROE Em 224 se fizermos u 0 208 yt 9s 226 Assim para obter a FT de forma experimental fazse 1 Aplique um impulso delta de Dirac a entrada 2 Obtenha a resposta do sistema ao longo do tempo 3 A FT sera a TL da resposta do sistema Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Aula 01 Introducao aos Sistemas de Controle Aula 02 Transformada de Laplace Aula 03 Modelagem I Diagramas de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Modelagem II O Espaco de Estado Aula 05 Modelagem III Sistemas Mecˆanicos Aula 06 Modelagem IV Circuitos Eletricos e Eletrˆonicos Aula 07 Modelagem V Sistemas de Controle de Nıvel e de Temperatura Aula 08 Analise da Resposta Transitoria I Aula 09 Analise da Resposta Transitoria II Aula 10 Estrutura Basica de Controle por Realimentacao Aula 11 Erros em Regime Permanente em Malha Fechada Aula 12 Analise da Estabilidade Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Modelos Um modelo e um conjunto de equacoes que descrevem com um certo grau de precisao um sistema Importante Um compromisso existe entre Simplicidade e Precisao Sistemas lineares Aqueles aos quais o princıpio da superposicao se aplica Sistemas invariantes no tempo Aqueles cuja estrutura nao se altera ao longo do tempo Os SLITCs sao descritos por EDOs lineares com coeficientes constantes Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Diagramas de Blocos Diagramas de Blocos DBs representacoes das interacoes entre os elementos de um sistema Um bloco e a representacao para a operacao matematica sobre o sinal de entrada que produz a saıda ˆgs ˆus ˆys ˆgsˆus Observacao Como as FTs os DBs fornecem o comportamento dinˆamico do sistema mas nada falam sobre sua estrutura interna Diferentes sistemas podem ter o mesmo diagrama de blocos Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Diagramas de Blocos Tambem compoem um diagrama de blocos Ponto de soma Σ ˆu ˆv ˆw ˆu ˆv ˆw Ponto de ramificacao As As As Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo Malha Fechada e Realimentacao Unitaria Σ ˆgs ˆrs ˆεs ˆys Note que ˆεs ˆrs ˆys e que ˆys ˆgsˆεs Assim ˆys ˆgsˆrs ˆgsˆys ˆys ˆrs ˆgs 1 ˆgs 31 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistema em Malha Fechada Σ ˆgs ˆhs ˆrs ˆεs ˆys ˆzs Funcao Transferˆencia de Malha Aberta FTMA E a razao entre o sinal do sensor e o de erro ˆzs ˆgsˆhsˆεs FTMAs ˆgsˆhs 32 Funcao Transferˆencia de Feed Forward FTFF E a razao entre o sinal de saıda e o de erro ˆys ˆgsˆεs FTFFs ˆgs 33 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Funcao Transferˆencia de Malha Fechada Σ ˆgs ˆhs ˆrs ˆεs ˆys ˆzs E a razao entre o sinal de saıda e o de entrada Note que ˆεs ˆrs ˆhsˆys e que ˆys ˆgsˆεs Assim FTMFs ˆys ˆrs ˆgs 1 ˆgsˆhs 34 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas sob Perturbacao Σ ˆcs Σ ˆgs ˆhs ˆrs ˆεs ˆus ˆds ˆuds ˆys ˆzs Como se tem um SLITC fazemos ˆds 0 e com 34 ˆys ˆrs ˆcsˆgs 1 ˆcsˆgsˆhs 35 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas sob Perturbacao Σ ˆcs Σ ˆgs ˆhs ˆrs ˆεs ˆus ˆds ˆuds ˆys ˆzs Fazendo Rs 0 e usando 34 ˆys ˆds ˆgs 1 ˆcsˆgsˆhs 36 Sistemas sob Perturbacdo onvel ed col AAT ROE Somando 35 e 36 Ys es9s Gs 7s Deo ees eee 1 ésgshs 1 ésGshs ds 37 Se s9shs eshs 1 ent3o a perturbacao é suprimida Neste caso temse 7s Rs hs Um sistema em malha fechada pode ser projetado para P rejeitar perturbacoes igualar saida e entrada seguir a referéncia Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Simplificacao de Diagramas de Blocos Observacao Blocos podem ser postos em serie somente se a saıda do bloco antecedente nao for afetada pelo bloco subsequente Observacao Simplificar o diagrama de blocos implica em tornar mais complexa a FT de cada bloco Ao simplificar blocos devese Manter o produto das FTs no caminho direto Manter o produto das FTs em torno de cada laco Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo Carga Afetando Bloco Anterior u R1 x C1 R2 C2 y Note que o sinal x tensao em C1 e afetado pela carga R2 e C2 Assim nao e possıvel fazer uma associacao serie de blocos com FTs para cada par RC Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Operacoes com Blocos I Associacao serie ˆg1s ˆg2s ˆus ˆys Observando que ˆys ˆg1sˆg2sˆus ˆg1sˆg2sˆus 38 Entao este diagrama e equivalente a ˆg1sˆg2s ˆus ˆys Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Operacoes com Blocos II Laco de realimentacao feedback Σ ˆgs ˆhs ˆrs ˆεs ˆys ˆzs De acordo com 34 temos que este DB e equivalente a ˆgs 1 ˆgsˆhs ˆrs ˆys Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Operacoes com Blocos III Deslocamento de bloco a jusante de ponto de soma ˆgs Σ ˆus ˆvs ˆys Notando a relacao ˆys ˆgsˆus ˆvs ˆgsˆus ˆgs1ˆvs 39 ˆgs1 Σ ˆgs ˆus ˆvs ˆys Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Operacoes com Blocos IV Deslocamento de bloco a jusante de ponto de ramificacao ˆgs ˆus ˆys ˆzs Notando a relacao ˆys ˆzs ˆgsˆus 310 ˆgs ˆgs ˆus ˆys ˆzs Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo I Transforme o diagrama a seguir em uma realimentacao unitaria Σ ˆgs ˆhs ˆus ˆys Apos usar 39 ˆhs1 Σ ˆgs ˆhs ˆus ˆys Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo II Obtenha a Funcao Transferˆencia de Malha Fechada FTMF Σ Σ ˆg1 Σ ˆg2 ˆg3 ˆh1 ˆh2 ˆr ˆy Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo II Movendo G1 a jusante do 3º ponto de soma Σ Σ Σ ˆg1ˆg2 ˆg3 ˆh1 ˆh2 ˆg1 ˆr ˆy Aplicando sucessivamente 34 ˆy ˆr ˆg1ˆg2ˆg3 1 ˆg1ˆg2ˆh1 ˆg2ˆg3ˆh2 ˆg1ˆg2ˆg3 Exemplo II Constatacao Importante onvel ed col AAT ROE fr a g Dre Ee CMe te L2Fe2 Observacao Gs produto dos blocos no caminho direto eee eee 311 fs 1 produto dos blocos em cada laco Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Elementos No origem No destino Fonte Sorvedouro Aresta No Um ponto representado por um pequeno cırculo Aresta um segmento que conecta dois nos Nos grafos de fluxo de sinal temos apenas arestas orientadas ha um no de origem e outro de destino Fonte um no que e apenas origem de suas arestas Sorvedouro um no que e apenas destino de suas arestas Controle Relacoes ed col AAT ROE A1s gis As gs as g2s o 2s us Gn s cele ee Me om BE A cada no corresponde um sina explicita ou implicitamente A cada aresta corresponde uma FT explicita ou implicitamente unitaria neste caso Observacdo Sejam g e f respectivamente as FTs e os sinais das origens das arestas que chegam em um no que nao é fonte Entdo o sinal 4 nesse no é Gs S Fis Gs 312 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Formula de Mason Facamos as seguintes definicoes Caminho direto Sucessao de arestas iniciandose em uma fonte e terminando em um sorvedouro nao passando mais de uma vez em qualquer no Ganho do caminho Produto das FTs das arestas percorridas pelo caminho Malha Sucessao de arestas iniciando e terminando em um mesmo no mas passando nao mais de uma vez em qualquer outro no Ganho da malha Produto das FTs das arestas percorridas pela malha Malhas que nao se tocam Malhas que nao possuem no comum Férmula de Mason rene ed col AAT ROE Em muitos sistemas é trabalhosa a obtencdo da FT MF Nestes casos se pode adotar o procedimento i Liste todos os ganhos de caminho direto da entrada para a saida do sistema D i 1m ii Liste todos os ganhos de malha L 7 11 Seteeetivoee iii Calcule a soma dos produtos dos ganhos das malhas que nado se tocam Lz parak 1n iv Determine A com n A101L 313 k1 v Férmula de Mason Sendo Ai a parte de A que nao toca o iésimo caminho a FTMF é dada por A m DA Ws 314 Rs A Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo ˆr ˆy ˆg1 ˆg2 ˆg3 ˆh2 ˆh1 1 So ha um caminho direto e trˆes malhas Assim D1 ˆg1ˆg2ˆg3 L1 ˆg1ˆg2ˆg3 L2 ˆg1ˆg2ˆh1 L3 ˆg2ˆg3ˆh2 Todas as malhas se tocam e tocam tambem o unico caminho direto entao ˆys ˆrs D1 1 L1 L2 L3 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 O que e um Modelo Diagramas de Blocos Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Outro Exemplo ˆrs ˆys ˆg1s ˆg2s ˆg3s ˆg4s ˆh2s ˆh1s 1 Usando a Formula de Mason determine a FTMF deste sistema Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 O Espaco de Estado SLITCs no EE Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Aula 01 Introducao aos Sistemas de Controle Aula 02 Transformada de Laplace Aula 03 Modelagem I Diagramas de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Modelagem II O Espaco de Estado Aula 05 Modelagem III Sistemas Mecˆanicos Aula 06 Modelagem IV Circuitos Eletricos e Eletrˆonicos Aula 07 Modelagem V Sistemas de Controle de Nıvel e de Temperatura Aula 08 Analise da Resposta Transitoria I Aula 09 Analise da Resposta Transitoria II Aula 10 Estrutura Basica de Controle por Realimentacao Aula 11 Erros em Regime Permanente em Malha Fechada Aula 12 Analise da Estabilidade Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 O Espaco de Estado SLITCs no EE Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Introducao Controle Moderno E o estudo de sistemas no espaco de estado domınio do tempo Alguns termos Estado E o menor conjunto de variaveis cujo conhecimento em to juntamente com o da entrada em t to determina completamente o comportamento do sistema para t to Variaveis de estado Cada uma das variaveis que compoem o estado Espaco de estado O espaco Rn cujos eixos representam cada uma das variaveis de estado Equacoes do espaco de estado Sao equacoes que relacionam as entradas u as saıdas y e as variaveis de estado x com as derivadas destas x Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 O Espaco de Estado SLITCs no EE Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Espaco de Estado Em forma matricial representase um SLITC no espaco de estado como x Ax Bu 41a y Cx Du 41b onde x x Rn u Rm e y Rp A Rnn matriz de estado B Rnm matriz de entrada C Rpn matriz de saıda D Rpm matriz de transmissao direta Controle Espaco de Estado ed col AAT ROE Em Diagrama de Blocos u y t BHe a ee Le Observacao As matrizes ABC D serao funcdées do tempo caso o sistema seja variante no tempo Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 O Espaco de Estado SLITCs no EE Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo Sistema MassaMolaAmortecedor m k b y u Forca da mola sobre o bloco lei de Hooke Fmola ky Forca do amortecedor sobre o bloco atrito viscoso Famort b y Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 O Espaco de Estado SLITCs no EE Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo Sistema MassaMolaAmortecedor m k b y u Pela lei de Newton u Fmola Famort my y b m y k my 1 mu Escolhendo as variaveis de estado x1 y e x2 x1 y x1 0x1 1x2 0u x2 k mx1 b mx2 1 mu Exemplo Sistema MassaMolaAmortecedor ne ed col AAT ROE y bs bY k b O Espaco de Estado en Portanto 0 1 0 x k bx1u msm m v ft ols Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 O Espaco de Estado SLITCs no EE Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Funcoes Transferˆencia e Espaco de Estado Considere um SLITCSISO m p 1 descrito por 41 x Ax Bu y Cx Du Aplicando a TL sob CIs nulas sˆxs Aˆxs Bˆus ˆys Cˆxs Dˆus Admitindo que sI A seja invertıvel ˆgs ˆys ˆus CsI A1B D 42 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 O Espaco de Estado SLITCs no EE Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Funcoes Transferˆencia e Espaco de Estado Lembrando que sI A1 1 detsI A adjsI A Temse ˆgs 1 detsI AC adjsIABdetsIAD 43 Observacao i De acordo com 43 os polos da FT sao os autovalores de A ii Se o sistema for MIMO entao 42 resultara em uma Matriz Transferˆencia MT Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 O Espaco de Estado SLITCs no EE Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo Obtenhamos uma representacao no espaco de estado para o sistema Σ 1 s 1 sa 1 sb ˆrs ˆys planta compensador sensor Observacao A solucao a ser apresentada nao e a unica Fica como exercıcio encontrar uma forma de mostrar todas as representacoes possıveis no espaco de estado para o diagrama de blocos apresentado Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 O Espaco de Estado SLITCs no EE Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo Escolhendo as saıdas dos blocos como variaveis de estado Σ 1 s 1 sa 1 sb ˆrs ˆx1s ˆys ˆx2s ˆx3s planta compensador sensor Donde ˆx1s 1 sˆrs ˆx3s ˆx2s 1 s a ˆx1s ˆx3s 1 s b ˆx2s sˆx1s ˆx3s ˆrs sˆx2s ˆx1s aˆx2s sˆx3s ˆx2s bˆx3s ontrole Exemplo n nage VA Leino s Escolhendo as saidas dos blocos como variaveis de estado Fs 21s os 2s Y 3 sta 7 compensador planta Sieur 3s 7 Aplicando a TIL 0 oO 1l 1 x1 a Ox0r 0 1 0b 0 y 0 1 0 x Representacdo de SLITCs no Espaco de Estado rene ed col AAT ROE Considere um SLITCSISO como em 223 n m i Yj a eee oe Dewy D Bju i0 j0 Consideraremos apenas os casos onde n m Por qué Dois casos podem ser estudados O sistema nao envolve derivadas da entrada m 0 Pm O sistema envolve derivadas da entrada 0 m n Representacdo de Sistemas caso m 0 onvel nace AVAL g Com m 0 223 fica n i So aiy Bou 410 Te ere Com ios Uma escolha conveniente de variaveis de estado é i1 d i2 a a ya OP HG 1H 120n 44 dt Aplicando 44 a 223 com m 0 n1 ay Bo 2 45 Ln d a tit GU 45 Representacao de Sistemas caso m 0 renee Prof Victor Com 4445 escrevese 0 1 0 Lee 0 0 0 0 0 1 wee 0 0 0 x xX U SLITCs no EE 0 0 0 Lee 1 0 0 0 0 0 wee 0 1 0 21 O2 On2 0 Anat Bo 46a y1 0 0 0 Ox 46b E possfvel aplicar a TL em 223 originando 5 B 98 47 S ais i0 n Controle Representacdo de Sistemas caso m 0 nage VA Leino s 00 fh Sera e i1 d i2 Ti YS ay Y MH 12n n1 Oy in S ini t Poy i9 On On Representacdo de Sistemas caso 0 mn rene z Prof Victor E possivel que 223 esteja completa m 7 n n i 7 Yay S05 i0 j0 Se nao estiver completa faga alguns mas nao todos oe B 0 Nao é possivel proceder com 44 soluao inconsistente ndotnica Uma abordagem é definir Ly Agy Bou 48 Substituindo e integrando em 223 n1 n1 7 3 Yoainy do Bp 1 i0 j0 Representacdo de Sistemas caso 0 m n ee A partir de x2 fazse analogamente tg 2 ayy Pyu 49 Novamente substituindo no resultado anterior ilies s oie Sajal 2 i0 j0 Continuando e obtendo p Ln Ln1 An1y Bn1U 410 Temse Any Bn Xn 411 Representacao de Sistemas caso0 mn ee ed col AAT ROE Com 48411 escrevese 000 0 82 Bo O22 100 0 By a 22 0 1 0 eee 0 2 Bo Ory Sn a eee oe 000 0 S2 Bn2 O98 000 1 Smt Bn1 m1 412a y0 00 0 tx2u 412b Observacdo Em SLITCSISOs havera transmissdo direta se e somente senm Representacdo de Sistemas caso0 mn onvel ed col AAT ROE E possivel aplicar a TL em 223 originando n Rn ecaa as Bis A j0 Gs 413 S as i0 Exercicio Desenhe o diagrama de blocos para o caso0 mn Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Mecˆanica Translacional Mecˆanica Rotacional Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Aula 01 Introducao aos Sistemas de Controle Aula 02 Transformada de Laplace Aula 03 Modelagem I Diagramas de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Modelagem II O Espaco de Estado Aula 05 Modelagem III Sistemas Mecˆanicos Aula 06 Modelagem IV Circuitos Eletricos e Eletrˆonicos Aula 07 Modelagem V Sistemas de Controle de Nıvel e de Temperatura Aula 08 Analise da Resposta Transitoria I Aula 09 Analise da Resposta Transitoria II Aula 10 Estrutura Basica de Controle por Realimentacao Aula 11 Erros em Regime Permanente em Malha Fechada Aula 12 Analise da Estabilidade Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Mecˆanica Translacional Mecˆanica Rotacional Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas Mecˆanicos Forcas e Posicoes Em Sistemas Mecˆanicos em geral relacionase forcas e posicoes Observacao Para evitar erro na modelagem de Sistemas Mecˆanicos perguntese Em quem a forca e aplicada Devemos modelar os trˆes elementos principais dos sistemas mecˆanicos Massa Mola linear Amortecedor viscoso Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Mecˆanica Translacional Mecˆanica Rotacional Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas Mecˆanicos Massa m x F A relacao forcaposicao e dada pela 2ª lei de Newton F dmv d t mv mx 51 Ainda a massa retem energia cinetica segundo a relacao Ec 1 2m x2 52 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Mecˆanica Translacional Mecˆanica Rotacional Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas Mecˆanicos Mola Linear k x F Mola linear A relacao forcaposicao e dada pela lei de Hooke F kx 53 Ainda a mola retem energia potencial elastica segundo a relacao Ep 1 2kx2 54 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Mecˆanica Translacional Mecˆanica Rotacional Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas Mecˆanicos Amortecedor b x F O amortecedor linear e constituıdo por um ˆembolo envolto por oleo atrito viscoso A relacao forcaposicao e dada por F b x 55 Observacao O amortecedor ao contrario dos elementos anteriores dissipa energia Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Mecˆanica Translacional Mecˆanica Rotacional Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo Suspensao Automotiva b k m y u Forcas sobre o bloco Fmola ku y Famort b u y Com a 2ª lei de Newton ku y b u y my Logo y b m y k my b m u k mu Exemplo Suspensdo Automotiva ed col AAT ROE y m t Ao aplicar a TL b k mm k b U 9s b k Wee em Geer t ss m m No espaco de estado k k Q x a x a U 1 m m y 0 1 x Momento de Inércia rene ed col AAT ROE eixo de rotacdo a Soe SSL ee A 60 A relago torqueangulo para uma particula d dx os 5 7 UD ax a dxmd mide 56 dt a J Para um corpo rigido J 2dm 57 corpo Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Mecˆanica Translacional Mecˆanica Rotacional Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Molas e Amortecedores Torcionais Na rotacao temse molas com relacao entre torque e ˆangulo de deformacao T kθ 58 Temos amortecedores com relacao entre torque e velocidade angular T b θ 59 Cuidado Verifique as unidades de k em 53 e 58 e de b em 55 e 59 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Mecˆanica Translacional Mecˆanica Rotacional Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo Pˆendulo Torcional k1 b1 k2 b2 k θ1 θ2 Para cada cilindro temse Jiθi Tm bi θi kiθi i 1 2 O torque devido a mola k e dado por Tm riFm rikriθi rjθj j 2 1 Combinando os resultados anteriores Jiθi bi θi ki kr2 i θi rirjkθj 0 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Mecˆanica Translacional Mecˆanica Rotacional Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo Pˆendulo Invertido M 2l m x y y u Centro de massa θ Centro de massa xg x l sen θ yg l cos θ Rotacao de xg yg em relacao a polia J θ Fyl sen θ Fxl cos θ As forcas na haste e no carro sao Fx mxg mx mld2sen θ d t2 Fy mg myg mld2cos θ d t2 M x u Fx Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Mecˆanica Translacional Mecˆanica Rotacional Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo Pˆendulo Invertido M 2l m x y y u Centro de massa θ Para θ 0 J θ Fylθ Fxl Fx mx mlθ Fy mg M x u Fx Donde se obtem M mx mlθ u J ml2θ mglθ mlx 0 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Circuitos Eletricos Amplificadores Operacionais O Motor CC Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Aula 01 Introducao aos Sistemas de Controle Aula 02 Transformada de Laplace Aula 03 Modelagem I Diagramas de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Modelagem II O Espaco de Estado Aula 05 Modelagem III Sistemas Mecˆanicos Aula 06 Modelagem IV Circuitos Eletricos e Eletrˆonicos Aula 07 Modelagem V Sistemas de Controle de Nıvel e de Temperatura Aula 08 Analise da Resposta Transitoria I Aula 09 Analise da Resposta Transitoria II Aula 10 Estrutura Basica de Controle por Realimentacao Aula 11 Erros em Regime Permanente em Malha Fechada Aula 12 Analise da Estabilidade Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Circuitos Eletricos Amplificadores Operacionais O Motor CC Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas Eletricos Correntes e Tensoes Em Sistemas Eletricos em geral relacionase correntes e tensoes Observacao Para evitar erro de modelagem em Sistemas Eletricos use as leis de Kirchhoff Sao trˆes os elementos principais dos Sistemas Eletricos Resistor Indutor Capacitor Sistemas Elétricos Resistor onvel ed col AAT ROE Up Rt A relacdo tensdocorrente é dada pela lei de Ohm ae vu t Rit 61 O resistor dissipa uma energia dada por tf E vptint at 62 to Observacdo Teve alguma ideia para calcular a energia no amortecedor Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Circuitos Eletricos Amplificadores Operacionais O Motor CC Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas Eletricos Indutor L vl il A relacao tensaocorrente e dada por vlt Ld ilt d t 63 O indutor armazena energia em seu campo magnetico dada por El 1 2Li2 l 64 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Circuitos Eletricos Amplificadores Operacionais O Motor CC Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas Eletricos Capacitor C vc ic A relacao tensaocorrente e dada por ict C d vct d t 65 O capacitor armazena energia em seu campo eletrico dada por Ec 1 2Cv2 c 66 Exemplo Um Circuito Elétrico onmons ed col AAT ROE No ramo do indutor uyrjae Ley Tl L Ly No ramo do capacitor Te Reticle sealer Y v2 Cz u Ry Te 2 E C Com a LNK 2 yR m y Te Neste caso obter a equacdo de saida primeiro facilita a modelagem Exemplo Um Circuito Elétrico onvel ed col AAT ROE rT L XY Te u RY U2 E C Reticle sealer Isolando y na terceira equacao e substituindo re tren tr TR 1 e DR r LR r ct H u R17rC RrC 0 Rre R Y5 pT l Rre RT Exemplo Um Circuito Elétrico ee nace AVAL g rl LD gy re u Ry v2 E C Usando 42 podemos obter a FT gs CsI A BD Observaao Para matrizes 2x2 b 1 dad b a ol sarce we Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Circuitos Eletricos Amplificadores Operacionais O Motor CC Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Modelagem de Circuitos Eletricos Procedimento pratico para circuitos eletricos i Escolha como variaveis de estado tensoes de capacitores e correntes de indutores ii Escolha as correntes de malha e expresseas como funcoes das variaveis de estado e suas derivadas iii Escreva as equacoes de tensao de malha e elimine as variaveis que nao sejam de estado Outro procedimento pratico para circuitos eletricos i Escolha como variaveis de estado tensoes de capacitores e correntes de indutores ii Substitua cada capacitor indutor por uma fonte de tensao corrente iii Obtenha a corrente tensao em cada capacitor indutor e iguale a C vc Lil Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Circuitos Eletricos Amplificadores Operacionais O Motor CC Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 O Amplificador Operacional 0A vp 0A vn 0V vo E o principal elemento para circuitos eletrˆonicos Observacao Lembrese para nao errar na modelagem com Ampops i Impedˆancia de entrada infinita ii Impedˆancia de saıda nula iii Ganho infinito em malha aberta no que isto implica Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Circuitos Eletricos Amplificadores Operacionais O Motor CC Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo Compensador Proporcional mais Integral R1 i u R2 i C y Note que i 1 R1 u C d d tR2i y Assim y R2 R1 u 1 R1C u Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Circuitos Eletricos Amplificadores Operacionais O Motor CC Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 O Motor de Corrente Contınua R L it vat vint J b ω A tensao aplicada nos terminais de entrada produz um torque proporcional a corrente de armadura A tensao de armadura e proporcional a velocidade angular do eixo do motor Em ambos os casos a proporcionalidade e dada pela constante de armadura Nao ha coeficiente elastico torcional e nao e possıvel controlar a posicao Como projetar um controle que mantenha a velocidade do motor mesmo com parˆametros imprecisos sy Controle O Motor de Corrente Continua nage VA Leino s RL it Vin t Vat GC Para o circuito elétrico aa dit Vint Rit po Kwt 0 dt Va t Para a parte mecanica t pitt but Kit dt Sa Tt O Motor de Corrente Continua a nage VA Leino s RL it vint vat AO Fazendo x71 1 42 WeEU Vin R K 1 cor if Heil Tt J y 0 1 x Note que para regime permanente x 0 Logo R Ky TL 0 oft 4G J J Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Sistemas de Nıvel Sistemas Termicos Linearizacao de Modelos Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Aula 01 Introducao aos Sistemas de Controle Aula 02 Transformada de Laplace Aula 03 Modelagem I Diagramas de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Modelagem II O Espaco de Estado Aula 05 Modelagem III Sistemas Mecˆanicos Aula 06 Modelagem IV Circuitos Eletricos e Eletrˆonicos Aula 07 Modelagem V Sistemas de Controle de Nıvel e de Temperatura Aula 08 Analise da Resposta Transitoria I Aula 09 Analise da Resposta Transitoria II Aula 10 Estrutura Basica de Controle por Realimentacao Aula 11 Erros em Regime Permanente em Malha Fechada Aula 12 Analise da Estabilidade Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Sistemas de Nıvel Sistemas Termicos Linearizacao de Modelos Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de Controle de Nıvel O escoamento de fluidos depende do numero de Reynolds R ρvD µ 71 ρ e a massa especıfica do fluido em kg m3 v e a velocidade de escoamento D e o diˆametro da tubulacao e µ e a viscosidade dinˆamica em Pa s R 2000 escoamento laminar e R 2000 escoamento turbulento nao linear Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Sistemas de Nıvel Sistemas Termicos Linearizacao de Modelos Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de Controle de Nıvel Resistˆencias Q h A resistˆencia da valvula e dada por R d h d Q 72 Escoamento Laminar Q Kh 73 R K1 74 Escoamento Turbulento Q K h 75 R 2 K h 76 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Sistemas de Nıvel Sistemas Termicos Linearizacao de Modelos Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de Controle de Nıvel Capacitˆancias Q h A capacitˆancia do tanque e dada por C d V d h 77 Para seccao transversal constante V Ah logo C A 78 Observacao Para modelar sistemas de nıvel use a equacao da vazao Q d V d t d V d h d h d t 77 C h 79 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Sistemas de Nıvel Sistemas Termicos Linearizacao de Modelos Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo Suprimento de Fluido a um Tanque Qo qo H h R C Qin qin Com 73 qo 1 Rh Usando 79 C h V qi qo Combinando RC h h Rqi Logo ˆhs ˆqis R RCs 1 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Sistemas de Nıvel Sistemas Termicos Linearizacao de Modelos Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo Tanques Comunicantes q1 h1 h2 R1 C1 R2 C2 q q2 Para o registro 1 de 73 h1 h2 R1q1 Σ 1 R1 ˆh1s ˆq1s ˆh2s Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Sistemas de Nıvel Sistemas Termicos Linearizacao de Modelos Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo Tanques Comunicantes q1 h1 h2 R1 C1 R2 C2 q q2 Para o registro 2 de 73 h2 R2q2 1 R2 ˆh2s ˆq2s Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Sistemas de Nıvel Sistemas Termicos Linearizacao de Modelos Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo Tanques Comunicantes q1 h1 h2 R1 C1 R2 C2 q q2 Para o tanque 1 de 79 C1 h1 q q1 Σ 1 sC1 ˆqs ˆh1s ˆq1s Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Sistemas de Nıvel Sistemas Termicos Linearizacao de Modelos Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo Tanques Comunicantes q1 h1 h2 R1 C1 R2 C2 q q2 Para o tanque 2 de 79 C2 h2 q1 q2 Σ 1 sC2 ˆq1s ˆh2s ˆq2s Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Sistemas de Nıvel Sistemas Termicos Linearizacao de Modelos Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo Tanques Comunicantes q1 h1 h2 R1 C1 R2 C2 q q2 Unindo os diagramas de blocos de forma conveniente Σ 1 sC1 Σ 1 R1 Σ 1 sC2 1 R2 ˆqs ˆh1s ˆq1s ˆh2s ˆq2s Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Sistemas de Nıvel Sistemas Termicos Linearizacao de Modelos Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas Termicos Sistemas termicos transferˆencia de calor A rigor sao sistemas distribuıdos n A transferˆencia de calor se da por Conducao Conveccao envolve transferˆencia de massa Radiacao altas temperaturas O modelo similar ao de Sistemas de Nıvel Nıvel h Temperatura θ Vazao q Fluxo de Calor h Observacao Para modelar Sistemas Termicos θ Rh 710 h C θ 711 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Sistemas de Nıvel Sistemas Termicos Linearizacao de Modelos Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Exemplo Aquecedor de Fluido Fluido frio Fluido quente Aquecedor hi calor de entrada do aquecedor ho calor de saıda θ temperatura do tanque Relacao entre o tanque e a saıda θ 710 Rho TL ˆθs Rˆhos Para o armazenamento de calor θ 711 hi ho C ˆθs ˆhis ˆhos sC Fazendo hi a entrada e θ a saıda ˆθs ˆhis R RCs 1 Exemplo Aquecedor de Fluido Modelo MIMO ae ed col AAT ROE Fluido quente Usando a linearidade h 0 Aquecedor 1 Cé Aeotal Rigi 0 Fluide frie Aplicando TL h calor de entrada 6s 1 ho calor de saida 6s RCs1 6 temperatura do tanque 6 temperatura do fluido frio 9 6 uma perturbacdo Assim yey B Oils 8 laa 1 ROs 4 a Linearizac3o de Modelos ed col AAT ROE Elementos podem apresentar comportamento naolinear da forma yt fut 712 Com a série de Taylor em torno de um ponto de operacao i fa 1d fa ok uy 713 y ar Fyn te 713 Truncando no segundo termo sineatizaeso de Modes dfa yx fa 2 wa Donde g df a y fa T wa 714 Exemplo Sistema MassaMola Nao Linear Controle ed col AAT ROE t Note que y 1 dy 1 iD 0 Vk dF 2kF Aplicando 714 em mg Eee Cae k mg mg y mg 1 4 2 OS U MG Mola no linear k 2mgk 2 Fmola ky Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Sistemas de Nıvel Sistemas Termicos Linearizacao de Modelos Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas MIMO Nao Lineares Considere a iesima saıda de um elemento nao linear da forma yi fiu1 u2 um 715 Tome um ponto de operacao u1 u2 um yi e similarmente a 714 yi yi fiu1 u2 um u1 u1 u1 fiu1 u2 um u2 u2 u2 fiu1 u2 um um um um 716 Sistemas MIMO Nao Lineares rene ed col AAT ROE Aplicando a cada saida temse ah ah ah Ou Oug Ou nom 22 82 Obl a v2 ye Our Oue Oum Yn Yn Ofn Ofn Of n Um Um Ou1 Our Oum Linearizac3o de Modelos eS TI 717 Observacdo P As derivadas parciais em 717 sao calculadas em 11 tig Um A matriz de derivadas parciais J 6 chamada jacobiana Exemplo Péndulo onmons ed col AAT ROE Dinamica nao linear T mglsen 0 No ponto 67 00 i l OT TT 690 a i oe eneerete eae ee eres Ou seja mg T mglé para pequenos dangulos Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 A Resposta Transitoria Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de 2ª Ordem Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Aula 01 Introducao aos Sistemas de Controle Aula 02 Transformada de Laplace Aula 03 Modelagem I Diagramas de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Modelagem II O Espaco de Estado Aula 05 Modelagem III Sistemas Mecˆanicos Aula 06 Modelagem IV Circuitos Eletricos e Eletrˆonicos Aula 07 Modelagem V Sistemas de Controle de Nıvel e de Temperatura Aula 08 Analise da Resposta Transitoria I Aula 09 Analise da Resposta Transitoria II Aula 10 Estrutura Basica de Controle por Realimentacao Aula 11 Erros em Regime Permanente em Malha Fechada Aula 12 Analise da Estabilidade Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 A Resposta Transitoria Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de 2ª Ordem Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Introducao O projeto de controladores visa atender parˆametros de desempenho Para tanto usamse sinais de teste Sistema Sinal de Teste Resposta Sinais de teste mais comuns Impulso delta de Dirac Degrau unitario Rampa unitaria Senoide Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 A Resposta Transitoria Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de 2ª Ordem Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Introducao A resposta no tempo de SLITCs e composta de Resposta transitoria para t Resposta em regime permanente para t Entre outros criterios devese verificar Estabilidade Na perturbacao o sistema Retorna ao ponto de operacao Apresenta oscilacoes sustentadas Diverge do ponto de operacao Erro em regime permanente O sistema segue a referˆencia dada Se sim quanto tempo leva para o fazer estabilidade relativa Observacao Iremos estudar a resposta transitoria de sistemas de 1ª e de 2ª ordens E isto e suficiente como sera visto mais adiante Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 A Resposta Transitoria Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de 2ª Ordem Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de 1ª Ordem Descricao geral saıdareferˆencia de um sistema de controle de 1ª ordem ˆys ˆrs 1 τs 1 81 Escrevendo sob a forma de realimentacao unitaria 31 ˆys ˆrs 1 τs 1 1 τs 82 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 A Resposta Transitoria Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de 2ª Ordem Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de 1ª Ordem Resposta ao Degrau Σ 1 τs ˆrs ˆεs ˆys Ao fazer rt 1t chegase a ˆys 1 τs 1 1 s A s B s 1 τ 83 Observacao Verifique que A B 1 em 83 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 A Resposta Transitoria Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de 2ª Ordem Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de 1ª Ordem Resposta ao Degrau Σ 1 τs ˆrs ˆεs ˆys Aplicando a TIL a 83 yt 1 e t τ 84 Com 84 escrevese εt e t τ 85 t yt εt τ 063 037 2τ 086 014 3τ 095 005 4τ 098 002 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 A Resposta Transitoria Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de 2ª Ordem Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de 1ª Ordem Resposta ao Degrau t τ y ε 05 10 15 20 25 30 35 40 45 50 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 A Resposta Transitoria Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de 2ª Ordem Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de 1ª Ordem Resposta a Rampa Retornando a 81 e aplicando rt t t 0 ˆys 1 τs 1 1 s2 A s2 B s C τs 1 86 Observacao Verifique que A 1 B τ e C τ 2 Aplicando a TIL obtemse yt t τ1 e t τ 87 εt τ1 e t τ 88 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 A Resposta Transitoria Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de 2ª Ordem Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de 1ª Ordem Resposta a Rampa t τ rampa y τ ε τ 05 10 15 20 25 30 35 40 45 50 05 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 A Resposta Transitoria Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de 2ª Ordem Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de 1ª Ordem Resposta ao Impulso Retornando a 81 e aplicando rt δt ˆys 1 τs 1 89 Aplicando a TIL obtemse yt 1 τ e t τ 810 Observacao Note que ε y t 0 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 A Resposta Transitoria Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de 2ª Ordem Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de 1ª Ordem Resposta ao Impulso t τ τy 05 10 15 20 25 30 35 40 45 50 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 A Resposta Transitoria Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de 2ª Ordem Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Um Lema Importante Observando 84 87 e 810 podemos enunciar o seguinte lema Lema Seja u a entrada de um SLITC que produz a resposta forcada y Entao ao submeter o sistema a u em sua entrada a resposta forcada sera y Demonstracao Exercıcio Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 A Resposta Transitoria Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de 2ª Ordem Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de 2ª Ordem A forma geral de um sistema de 2ª ordem e ˆys ˆrs ω2 n s2 2ζωns ω2n 811 onde ωn frequˆencia natural naoamortecida ζ amortecimento Um parˆametro importante para estes sistemas e a atenuacao dada por σ ζωn 812 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 A Resposta Transitoria Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de 2ª Ordem Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 DB em Realimentacao Unitaria Σ ω2 n ss2ζωn ˆrs ˆεs ˆys Aplicando a regra da realimentacao unitaria 31 a 811 ˆys ˆrs ω2 n s2 2ζωns ω2n ˆgs 1 ˆgs Sistemas de 2 Ordem Resposta ao Degrau nage VA Leino s Ea principal resposta dos SLITCs Para projetos normalmente as plantas sdo reduzidas a um par de polos Fazendo r I 1 Wr tL 813 NOSE ewer OS Observacdo O comportamento de sistemas de 2 ordem é altamente dependente de Caso Subamortecido 0 1 ae ed col AAT ROE Neste caso escrevese A BsC js 814 us s r s 2Cwns w 814 Defina a frequéncia natural amortecida Wd Wn 1 815 eee caer Observacdo Mostre que A B 1 e que C 2Cwy Caso Subamortecido 0 1 ae ed col AAT ROE Aplicando a técnica de completar quadrados 8 4 Wuns Cw w2 s Cw v3 a wr Assim 814 tornase js tL Stet ae Sistcmos de 2 Ore Ws s Cun w2 s Cwn w3 ato f stern os st Cwnwi 1 2 8 Cun 09 816 Caso Subamortecido 0 1 ae Prof Victor Aplicando a TIL a 816 yt 1t eS cos wat 6 Cont sen wat V1l ay oat yi e 1t sen wgt arctg 817 OO 7e g 647 mI arccos E o erro evidentemente é aa ce 818 et sen wat arccos Observacao 817818 so as respostas mais importantes dos SLITCSISOs Caso Criticamente Amortecido 1 Controle nage VA Leino s Neste caso 813 toma a forma mais simples 1 we t Le rr 1 yt seu 819 A By By wef tee Ma s e4tun tune 820 Aplicando a TIL a 820 oe yt 1e 1 wnt 821 Caso Sobreamortecido 1 onmons Prof Victor As raizes de s 2Cwns w2 sdo reais e distintas 8 CWpn wn C2 1 822 Aplicando a EFP a 813 A B t01 4 ees ult Own WnVC 1 C 8 23 cue Pamela ee 823 Observacdo Mostre que A 1 B a eC 2Vo 1 Vc 1 2C 1 fC 1 Caso Sobreamortecido 1 Se Prof Victor Aplicando a TIL 1 1 e Gt C2lwnt e7S C2lwnt 1 142 ee Ne 2JG1 VG1 VGR1 824 Observaao Se G L QO polo em a JVC 1wn domina Oo polo em Secure eeken cay C MC 1wpn Assim 1 2 yt 1 OVO Dent 05 20 1 Ve 1 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 A Resposta Transitoria Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de 2ª Ordem Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Efeito do Amortecimento t ω yζ02 yζ05 yζ0707 yζ1 05 10 15 20 25 30 35 40 45 50 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Especificacoes de Resposta Transitoria Sistemas de Segunda Ordem com Zero Reducao de Modelos Aula 10 Aula 11 Aula 12 Aula 01 Introducao aos Sistemas de Controle Aula 02 Transformada de Laplace Aula 03 Modelagem I Diagramas de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Modelagem II O Espaco de Estado Aula 05 Modelagem III Sistemas Mecˆanicos Aula 06 Modelagem IV Circuitos Eletricos e Eletrˆonicos Aula 07 Modelagem V Sistemas de Controle de Nıvel e de Temperatura Aula 08 Analise da Resposta Transitoria I Aula 09 Analise da Resposta Transitoria II Aula 10 Estrutura Basica de Controle por Realimentacao Aula 11 Erros em Regime Permanente em Malha Fechada Aula 12 Analise da Estabilidade Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Especificacoes de Resposta Transitoria Sistemas de Segunda Ordem com Zero Reducao de Modelos Aula 10 Aula 11 Aula 12 Especificacoes de Resposta Transitoria Parˆametros de especificacao de resposta transisoria Tempo de atraso td E o tempo que a saıda leva para atingir 50 do valor desejado pela primeira vez Tempo de subida tr E o tempo que a saıda leva para percorrer de 0 a 100 5 a 95 ou 10 a 90 do valor desejado Tempo de pico tp E o tempo para atingir o valor maximo da saıda Tempo de acomodacao ts E o tempo para que o erro fique permanentemente dentro de uma faixa escolhida geralmente 2 ou 5 Overshoot Mp E o valor que excede o desejado na saıda Pode ser dado em forma percentual fe w 7 Controle Especificacoes de Resposta Transitdria i ed col AAT ROE rly 1Mp PNY tp ts t Aplicando 817 Le eel CC ey Ims Transitéria lp mB 91 ME orn nrreeennersecenss Wn 1 2 Wd is tp 92 a pe Wad SN Mp e 4 93 SS J3 crit 5 Cun Res ots crit 2 94 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Especificacoes de Resposta Transitoria Sistemas de Segunda Ordem com Zero Reducao de Modelos Aula 10 Aula 11 Aula 12 Observacao Importante ζ Mp ωntp10 β100 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 Observacao Muito do projeto depende do amortecimento ζ Se for baixo o sistema responde rapidamente os tempos envolvidos serao pequenos mas apresentara overshoot excessivo e viceversa Muitos projetos tentam fazer 04 ζ 08 Resposta de Segunda Ordem com Zero rene nage VA Leino s Considere uma FT de 2 ordem subamortecida com zero normalizada s 1 as 32 ys0 95 2 2241 Considerando 210 e 817 para a resposta ao degrau i on Gwnt 1 nn ee yt 1 sen Wat arccos C sen wat V1 x6 96 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Especificacoes de Resposta Transitoria Sistemas de Segunda Ordem com Zero Reducao de Modelos Aula 10 Aula 11 Aula 12 Resposta de Segunda Ordem com Zero Para ζ 05 ωnt yγ1 yγ2 yγ4 yγ 10 20 30 40 50 60 70 80 02 04 06 08 10 12 14 16 18 Observacao O zero nao afeta o tempo de acomodacao de forma significativa Sempre aumenta o overshoot e seu efeito e visıvel para γ 4 Resposta de Segunda Ordem com Zero rene ed col AAT ROE Para recalcular o overshoot derivese 96 bien sen Q y Cw sen wat arccos sen wat V1P 16 1 W cos wat arccos TC cos wat Y Os pontos criticos ter Yer S40 obtidos com y 0 0 que leva a J1C iisncmia y 1 senwater oe COS Water 0 97 Do qual se conclui que ter 1 98 Wntor oa 98 Resposta de Segunda Ordem com Zero renee nage VA Leino s Se y 4 1 e coswyte 0 as solugdes de 97 sdo os valores positivos de 1 V1 Wnter arctg 99 7 65 71 72 6 23 55 y4 5 y7 00 45 Bee trey 4 felch acl A1co 35 3 25 2 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 Resposta de Segunda Ordem com Zero onvel ed col AAT ROE Substituindo 98 e 99 em 96 obtemse ex a 21 M at seu 5 arccos 910 e exp S aretg IES VI SA7 V1 paces M WS sen arctg an J1 cl 7 arccos x sen arctg 4 911 respectivamente Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Especificacoes de Resposta Transitoria Sistemas de Segunda Ordem com Zero Reducao de Modelos Aula 10 Aula 11 Aula 12 Resposta de Segunda Ordem com Zero 04 045 05 055 06 065 07 075 08 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 ζ Mp γ 1 γ 2 γ 3 γ 4 γ Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Especificacoes de Resposta Transitoria Sistemas de Segunda Ordem com Zero Reducao de Modelos Aula 10 Aula 11 Aula 12 Consideracoes Muitos SLITCs sao de ordem elevada Sua representacao por FTs e simples porem o projeto pode ser bastante complexo Como os polos dominantes possuem resposta mais persistente E possıvel aproximar ˆgs por outra FT ˆgrs de ordem menor Como fazer isto Qual o erro introduzido Assuncoes ˆgr tem ordem n n nao faz sentido o caso n n evidentemente ˆgr pode apresentar m zeros mas m n Pares de polos complexos conjugados devem ser retidos e com constantes multiplicativas conjugadas Procedimento via Polos Dominantes onmons ed col AAT ROE Escrevase a FT do sistema com os polos ordenados A u Gs S oop Repz Reppi1 912 i1 a Apos a reducdo do modelo desejase ter FT da forma Ap A uv Grs 55 913 i1 Pi Onde os 71 polos dominantes foram retidos no modelo is Observacdo Em geral ndo é interessante fazer b a no modelo reduzido pois o erro introduzido tornase maior Controle Procedimento via Polos Dominantes II i ed col AAT ROE Observacao Proposta A escolha dos coeficientes b tratard do comportamento em regime permanente de G para t oo Justificativa Os polos retidos j4 tratam do comportamento transitorio Considere as entradas u tl i017 Para cada entrada podese determinar o regime permanente com A a IJ A ene Gs 1 d g0 a Reduao de Modelos at Ui daa TMC 914 JF onde fs sdo restos que desaparecem para t co Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Especificacoes de Resposta Transitoria Sistemas de Segunda Ordem com Zero Reducao de Modelos Aula 10 Aula 11 Aula 12 Procedimento via Polos Dominantes III De acordo com a proposta feita devese ter di ˆg0 d si di ˆgr0 d si i 0 1 n 1 Assim 1 p1 1 p2 1 pn 1 p2 1 1 p2 2 1 p2 n n1 pn 1 n1 pn 2 n1 pn n b1 b2 bn ˆg0 ˆg0 n1 ˆg 0 915 eotnitce i Exemplo Prof Victor Procedamos 4 redudo do sistema a seguir 4 2 ordem 4s 150s 1 3 g s 2s 2s 2s2 6s 18 Pm Polos 1j 2e 34 73 P Derivadas de g 90 20833 e g0 17361 Usando 915 ay 6 Ip 20833 YP 7ii a 2 7361 bi 03472 717361 Ci Cri Reducao de Modelos Assim com 913 6 s 03472 717361 4 03472 717361 06944s 41666 IN Ij s14j 6242542 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Leis de Controle Aula 11 Aula 12 Aula 01 Introducao aos Sistemas de Controle Aula 02 Transformada de Laplace Aula 03 Modelagem I Diagramas de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Modelagem II O Espaco de Estado Aula 05 Modelagem III Sistemas Mecˆanicos Aula 06 Modelagem IV Circuitos Eletricos e Eletrˆonicos Aula 07 Modelagem V Sistemas de Controle de Nıvel e de Temperatura Aula 08 Analise da Resposta Transitoria I Aula 09 Analise da Resposta Transitoria II Aula 10 Estrutura Basica de Controle por Realimentacao Aula 11 Erros em Regime Permanente em Malha Fechada Aula 12 Analise da Estabilidade Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Leis de Controle Aula 11 Aula 12 Estrutura Basica de Controle por Realimentacao Σ Compensador Atuador Planta Sensor rt εt ut yt zt Controlador Automatico Observacao O objetivo do controle e levar o erro ε a zero sob algumas restricoes Para tanto a acao do controlador detector de erro e compensador deve ser determinada por uma lei de controle Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Leis de Controle Aula 11 Aula 12 Controladores Basicos As principais estruturas compensadoras sao Controlador OnOff Compensador Proporcional P Compensador Integral I Compensador Proporcional mais Integral PI Compensador Proporcional mais Derivativo PD Compensador Proporcional mais Integral mais Derivativo PID Compensador OnOff renee ed col AAT ROE Apenas duas posicdes ligado e desligado O controle deve a cada instante decidir sua posicdo Se 0 erro e as duas posides do controle so Uon e Uogs U se et 0 ut on 1 101 Usp se et 0 Implementacao eletrénica Leis de Controle referéncia erro sensor Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Leis de Controle Aula 11 Aula 12 Compensador OnOff II Pode haver a insercao acidental ou nao de um laco de histerese em 101 ut Uon se εt εl Uoff se εt εl ut caso contrario 102 O bloco amplificador fica εl 0 εl εl ε u ε u Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Leis de Controle Aula 11 Aula 12 Compensadores Proporcional e Integral O compensador OnOff e naolinear Os demais compensadores aqui estudados serao lineares O compensador P e o mais simples e ainda veremos que e de estudo importante Sua compensacao e proporcional ao erro lido ut kpεt 103 No compensador I a variacao da compensacao e proporcional ao erro ut kiεt 104 Ou no domınio s ˆus ˆεs ki s 105 Compensador Proporcional mais Integral aie nage VA Leino s Ea combinacao dos dois anteriores k yt ut kpet a et dt 106 Ti Jo kp Observe que k Tt Aplicando a TL i us kpTjs Kp a 107 as Tis 107 ut Reel tcel 2kip f Pl Kp P TT t Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Leis de Controle Aula 11 Aula 12 Compensador Proporcional mais Derivativo E uma tentativa de inserir um efeito antecipativo no controle ut kpεt kpTd εt 108 Aplicando a TL ˆus ˆεs kp kpTds 109 t ut P PD kpTd Td Compensador Proporcional mais Integral mais ed col AAT ROE Derivativo E a tentativa de combinar as propriedades dos compensadores anteriores k rt ut pelt etdtkpTyét 1010 i JO Aplicando a TL us kpTaTis kpTjs Kp 1011 SER Reco Es Ts Observacao Os compensadores PD e PID nado sao causais Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Leis de Controle Aula 11 Aula 12 Efeito do Sensor na Dinˆamica do Sistema Muitos sensores tˆem dinˆamica muito rapida e podem ser tratados como ganhos Para plantas com dinˆamicas tambem rapidas e necessario analisar a dinˆamica do sensor Como exemplo citase sensores termicos que respondem como sistemas de 2ª ordem sobreamortecidos Observacao Analise o comportamento dinˆamico do LM35 conforme seu datasheet Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Leis de Controle Aula 11 Aula 12 Exemplo Considere um sistema de controle em realimentacao negativa compensacao P com ˆgs 1 s pg ˆhs 1 s ph Neste caso usando 34 ˆys ˆrs ˆcsˆgs 1 ˆcsˆgsˆhs ks ph s2 pg phs pgph k E o sistema resultante e de segunda ordem com um zero cujo valor nao pode ser alterado pelo compensador Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Erros em Regime Compensadores Integral e Derivativo Realimentacao Unitaria Aula 12 Aula 01 Introducao aos Sistemas de Controle Aula 02 Transformada de Laplace Aula 03 Modelagem I Diagramas de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Modelagem II O Espaco de Estado Aula 05 Modelagem III Sistemas Mecˆanicos Aula 06 Modelagem IV Circuitos Eletricos e Eletrˆonicos Aula 07 Modelagem V Sistemas de Controle de Nıvel e de Temperatura Aula 08 Analise da Resposta Transitoria I Aula 09 Analise da Resposta Transitoria II Aula 10 Estrutura Basica de Controle por Realimentacao Aula 11 Erros em Regime Permanente em Malha Fechada Aula 12 Analise da Estabilidade Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Erros em Regime Compensadores Integral e Derivativo Realimentacao Unitaria Aula 12 Erro em Regime em Malha Fechada I Considere o sistema em realimentacao unitaria Σ ˆcs ˆgs ˆrs ˆεs ˆys planta compensador Defina as FTs do compensador e da planta ˆgs ˆngs ˆdgs 111 ˆcs ˆncs ˆdcs 112 Note que ˆεs ˆrs 1 1 ˆcsˆgs ˆdcs ˆdgs ˆdcs ˆdgs ˆncsˆngs ˆrs 113 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Erros em Regime Compensadores Integral e Derivativo Realimentacao Unitaria Aula 12 Erro em Regime em Malha Fechada II Σ ˆcs ˆgs ˆrs ˆεs ˆys planta compensador Geralmente interessa levar o erro a zero Aplicando o Teorema do Valor Final a 113 ε lim s0 s ˆdcs ˆdgs ˆdcs ˆdgs ˆncs ˆdgs ˆrs 114 Observacao Se a entrada for um degrau a FTMA devera ter um polo na origem para erro nulo Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Erros em Regime Compensadores Integral e Derivativo Realimentacao Unitaria Aula 12 Compensadores Integral e Derivativo A principal funcao do compensador I e eliminar o erro em regime em sistemas sob entrada degrau ˆcints ki s 115 O compensador D aumenta a estabilidade do sistema ˆcders kds 116 O compensador D apresenta problemas com amplificacao de ruıdos Pior ainda e anticausal Como implementar seu efeito Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Erros em Regime Compensadores Integral e Derivativo Realimentacao Unitaria Aula 12 Exemplo Controle de Nıvel Qo qo H h R C Qin qin Modelo da planta vide aula 07 ˆhs ˆqis R RCs 1 FT do conjunto boiareferˆencia ˆqis ˆεs kp Calculemos o erro em regime com 114 ε lim s0 s RCs 1 RCs 1 kpR 1 s 1 1 kpR 0 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Erros em Regime Compensadores Integral e Derivativo Realimentacao Unitaria Aula 12 Exemplo Servomotor DC Σ ˆcs Σ 1 sJsb ˆrs ˆεs ˆys ˆds Planta com polo na origem erro nulo para a referˆencia Porem nao para a perturbacao nao esta em realimentacao unitaria Considerando compensador P ˆεs ˆds 1 sJs b 1 kp sJs b 1 Js2 bs kp Exemplo Servomotor DC renee Prof Victor Fs es i gs OE Assim para perturbacao degrau o0 Ii 1 1 1 oo lim s 50 Js bs kp s kp Por outro lado ao tentar usar um compensador I Cee 1 Es sJstb S ds l5 ky Js bs kj sJs b Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Erros em Regime Compensadores Integral e Derivativo Realimentacao Unitaria Aula 12 Exemplo Servomotor DC Σ ˆcs Σ 1 sJsb ˆrs ˆεs ˆys ˆds Porem Polinˆomios incompletos sao sempre instaveis Os problemas anteriores podem ser resolvidos com um PI bem projetado Observacao Refaca este exemplo com o modelo obtido na Aula 06 Exemplo Posicionamento de Satélite ee Prof Victor 7s s 1 6s As Ist Note que a FTMF deste sistema é 6s s Fs Js és Para compensador P existirdo oscilacdes sustentadas pois cate os polos serdo pees k 72 P12 J 7 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Erros em Regime Compensadores Integral e Derivativo Realimentacao Unitaria Aula 12 Exemplo Posicionamento de Satelite Σ ˆcs 1 Js2 ˆrs ˆεs ˆθs Observando 811 com ζ 0 e ω2 n kp J e aplicando em 817 θt 1 cos ωnt Adicionando amortecimento para eliminar as oscilacoes com o PD 109 ˆθs ˆrs kpTds kp Js2 kpTds kp Erros em Regime em Realimentacao Unitaria e onvel Prof Victor FITMA Determinemos a relacdo entre o erro e a FTMA na realimentacdo unitaria 7s és gs A FT da entrada para o erro é usando 34 Es 1 rT 117 fs 1 Gs 117 Considere a FTMA sob a forma N 0 tipo do sistema m Soca eRe iaEy s nf jl gs KS 118 sN II Ts 1 i1 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Erros em Regime Compensadores Integral e Derivativo Realimentacao Unitaria Aula 12 Erros em Regime em Realimentacao Unitaria e FTMA Este e um caso mais simples de 113 originando ε lim t εt lim s0 sˆεs lim s0 s 1 ˆgs ˆrs 119 Para trˆes sinais de entrada determinaremos o erro estatico Entrada degrau origina o erro estatico de posicao Entrada rampa origina o erro estatico de velocidade Entrada quadratica origina o erro estatico de aceleracao Erro Estatico de Posicdo onvel ed col AAT ROE Sendo a referncia um degrau temse S 1 1 oo lim 1110 co s9014 9ss 1 0 Definese a constante de erro estatico de posicdo e referindose a 118 K seN0 Ky g0 1111 co seNO0 Im portante See Para anular o erro estdtico de posicao 6 necessdrio que o sistema seja ao menos de tipo 1 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Erros em Regime Compensadores Integral e Derivativo Realimentacao Unitaria Aula 12 Erro Estatico de Velocidade Sendo a referˆencia uma rampa temse ε lim s0 s 1 ˆgs 1 s2 lim s0 1 sˆgs 1112 Definese a constante de erro estatico de velocidade e referindose a 118 Kv lim s0 sˆgs 0 se N 0 K se N 1 se N 1 1113 Importante Se o sistema for de tipo 0 o erro estatico de velocidade tornase infinito Para anulalo e necessario que o sistema seja ao menos de tipo 2 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Erros em Regime Compensadores Integral e Derivativo Realimentacao Unitaria Aula 12 Erro Estatico de Aceleracao Sendo a referˆencia rt t21t temse ε lim s0 s 1 ˆgs 1 s3 lim s0 1 s2ˆgs 1114 Definese a constante de erro estatico de aceleracao e referindose a 118 Ka lim s0 s2ˆgs 0 se N 1 K se N 2 se N 2 1115 Importante Se o sistema for de tipo 0 ou 1 o erro estatico de aceleracao e infinito Para anulalo e necessario que o sistema seja ao menos de tipo 3 Erro Estatico versus Polos e Zeros de Malha Controle nage VA Leino s Fechada Considere que a FTMF de um sistema realimentado seja m Is 21 ays KE 1116 s pa i1 Por outro lado o erro do mesmo pode ser reescrito como s Fs gs as f1 22 a 7s Sa G5 s Erro Estatico versus Polos e Zeros de Malha onvel ed col AAT ROE Fechada Calculemos o erro de posiao Suponha realimentacdo unitaria e tipo zero Do contrario o erro nado dependeria dos polos e zeros de malha fechada qia7 1 g s TVE A as i ep 190 14 pet K TY p 11s Fae Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de Ordem Superior Criterio de RouthHurwitz Estabilidade Relativa Breve Introducao ao Controle Robusto Aula 01 Introducao aos Sistemas de Controle Aula 02 Transformada de Laplace Aula 03 Modelagem I Diagramas de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal Aula 04 Modelagem II O Espaco de Estado Aula 05 Modelagem III Sistemas Mecˆanicos Aula 06 Modelagem IV Circuitos Eletricos e Eletrˆonicos Aula 07 Modelagem V Sistemas de Controle de Nıvel e de Temperatura Aula 08 Analise da Resposta Transitoria I Aula 09 Analise da Resposta Transitoria II Aula 10 Estrutura Basica de Controle por Realimentacao Aula 11 Erros em Regime Permanente em Malha Fechada Aula 12 Analise da Estabilidade Sistemas de Ordem Superior Controle ed col AAT ROE Considerando 7s 9s figs 24 as 2 21 ds hs rns 121b dps Assim observe que sdo possiveis as formas Us fasdns 122a Fs dgsdns figsfns S ase Soa ai Bj ER 122b j0 10 Sistemas de Ordem Superior Tis 2 Te KeRepj2zC jl il 122c 1 Caso Apenas Polos Reais rene ed col AAT ROE Para entrada degrau e aplicando a EFP a 122c Ao A ys 123 Hs c 123 onde os A sdo obtidos pelo método de Heavyside Aplicando a TIL a 123 n yt Ag Air 124 i1 Observacdo Quando um sistema de ordem qualquer com polos todos reais sera estavel Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de Ordem Superior Criterio de RouthHurwitz Estabilidade Relativa Breve Introducao ao Controle Robusto 1º Caso Apenas Polos Reais Observacao i Todos os polos do sistema devem ser negativos ou algum termo exponencial de 124 cresceria indefinidamente ii Se houver pi zj para algum i j entao o resıduo Ai e nulo iii Esta e uma forma de cancelar o efeito de um polo iv Se algum polo estiver muito afastado da origem em relacao aos demais sua exponencial reduzse muito mais rapidamente v O efeito deste polo pode entao ser desprezado vi Efeitos analogos ocorrem para polos multiplos 2 Caso Presenca de Polos Nao Reais onmons Prof Victor Novamente aplicando a entrada degrau e a EFP a 122c 2 gs kK 125a 8 pi 2Cwps wR i1 k1 Ao wa Ai Sa Be ls Caw Crwey1 4 tee 8 ial Pt ed 87 WCpwes wy 12 5b Sistemas de Ordem Superior onden7n2nge0 Ch 1 nx Controle 2 Caso Presenca de Polos Nao Reais i ed col AAT ROE Aplicando a TIL a 125b n n2 yt Ao Aje5 eSkk By cos wtC sen wg t i1 k1 126 Observacdo Quando um sistema de ordem qualquer sera estdvel Observacdo i Para que y nao cresa indefinidamente devese ter Di 0 e Che 0 Sistemas de Ordem Superior ii O decréscimo dos termos exponenciais depende das partes reais de seus respectivos polos iii O cancelamento de polos e zeros também é vdlido para os termos complexos Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de Ordem Superior Criterio de RouthHurwitz Estabilidade Relativa Breve Introducao ao Controle Robusto Comentarios Importantes Importante Polo dominante Se p1 e p2 sao polos com parte real negativa e Rep1 Rep2 entao os efeitos de p2 sao suprimidos pelos de p1 Dizse que p1 domina p2 Importante Estabilidade Para garantir que yt nao cresca indefinidamente para entrada limitada devemos assegurar que todos os polos da FTMF estejam no semiplano complexo esquerdo Neste caso dizse que o sistema e estavel A estabilidade de um sistema e uma caracterıstica inerente independendo da entrada aplicada Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de Ordem Superior Criterio de RouthHurwitz Estabilidade Relativa Breve Introducao ao Controle Robusto Polinˆomios e Estabilidade Os polos da FTMF devem estar no semiplano esquerdo Fatorar polinˆomios e uma tarefa complexa Acima do 5º grau e impossıvel atraves de operacoes elementares em seus radicais teorema de AbelRuffini Observacao Objetivo do Criterio de RouthHurwitz CRH determinar se um sistema e estavel sem fatorar seus polinˆomios Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de Ordem Superior Criterio de RouthHurwitz Estabilidade Relativa Breve Introducao ao Controle Robusto O Criterio de RouthHurwitz Considere a FTMF do sistema em malha fechada como em 34 ˆys ˆrs ˆgs 1 ˆgsˆhs dfracˆns ˆds 127 Referindo ao denominador de 127 considere o polinˆomio ˆds αnsn αn1sn1 α1s αo 128 Lema Se 127 e estavel entao αiαj 0 0 i j n Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de Ordem Superior Criterio de RouthHurwitz Estabilidade Relativa Breve Introducao ao Controle Robusto O Criterio de RouthHurwitz Com coeficientes todos positivos escreva o arranjo de Routh sn ao a2 a4 a6 sn1 a1 a3 a5 a7 sn2 b1 b2 b3 b4 onde ai αni e bi a1a2i aoa2i1 a1 129 Escreva as linhas sn3 s0 de forma analoga Teorema Criterio de RouthHurwitz O numero de raızes de 128 com partes reais positivas e igual ao numero de mudancas de sinal na primeira coluna do arranjo de Routh Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de Ordem Superior Criterio de RouthHurwitz Estabilidade Relativa Breve Introducao ao Controle Robusto Exemplo 1 O polinˆomio ˆds 5s4 4s3 3s2 2s 1 e estavel s4 5 3 1 s3 4 2 Dividindo esta linha por 2 s3 2 1 s2 05 1 s1 3 s0 1 Assim concluise que ˆds tem dois polos no semiplano direito Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de Ordem Superior Criterio de RouthHurwitz Estabilidade Relativa Breve Introducao ao Controle Robusto Exemplo 2 Para quais valores de k o polinˆomio ˆds s3 s2 s k e estavel s3 1 1 s2 1 k s1 1 k s0 k Donde se nota que se deve ter k 1 k 0 ou seja 0 k 1 para estabilidade Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de Ordem Superior Criterio de RouthHurwitz Estabilidade Relativa Breve Introducao ao Controle Robusto Elemento Nulo na 1ª Coluna Considere o polinˆomio ˆds 2s4 s3 2s2 s 1 s4 2 2 1 s3 1 1 s2 0 1 s2 ε 1 s1 ε 1 ε s0 1 Troque o zero em s2 por um ε 0 Fazendo ε 0 temse ε 1 ε Logo o polinˆomio possui duas raızes no semiplano direito Linha Nula ne nace AVAL g Considere a linha acima da linha nula Considere o exemplo lai Qaj2 Qj4 s 1 11 28 1210 st 5 23 12 a ae 3 Tome o polinédmio auxiliar 8 64 256 12 i a Ps ajs aj28 a4 s 6 ajas 4 1211 0 8 12 Para a linha i 1 tome os an coeficientes de P As raizes de P sao raizes de P Assim Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de Ordem Superior Criterio de RouthHurwitz Estabilidade Relativa Breve Introducao ao Controle Robusto Estabilidade Relativa De acordo com 126 e 124 a parte real da raiz determina a rapidez do transitorio Assim e interessante nao so garantir a estabilidade de um sistema mas esta queda Ou seja Repi σmin i 1 2 n Isto equivale a fazer no arranjo de Routh s ˆs σ 1212 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de Ordem Superior Criterio de RouthHurwitz Estabilidade Relativa Breve Introducao ao Controle Robusto Exemplo 3 Sabemos que ˆds s3 s2 s k e estavel para 0 k 1 Determinemos a faixa de valores para a qual os polos terao parte real menor que 05 Para tanto com 1212 ˆdˆs ˆs σ3 ˆs σ2 ˆs σ k ˆs3 3σ 1ˆs2 3σ2 2σ 1ˆs σ3 σ2 σ k Donde concluımos que nao existe k para este decaimento mınimo Por quˆe Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de Ordem Superior Criterio de RouthHurwitz Estabilidade Relativa Breve Introducao ao Controle Robusto Exemplo 4 Considere o sistema de controle Σ ˆcs 1 s1s2 ˆrs ˆys Determinemos os compensadores PI capazes de estabilizar este sistema Usando 107 ˆcs kps ki s Assim a FTMF tornase ˆys ˆrs kps ki s3 s2 kp 2s ki Exemplo 4 yas Prof Victor ky s3 1 kp 2 s 1 ky Pe z st kp 2kj Regiao factivel 39 k i k 0 A Ou seja a kp k 0 wo ky ki 2 v Controle Sistemas Incertos i ed col AAT ROE Sistema Incerto E aquele que tem ao menos um pardmetro cujo valor nado é precisamente conhecido Fatores que conduzem a incertezas limitagdes de fabricacdo envelhecimento variacdes na operacdo entre outros Considere a FT de um sistema incerto m bis i0 O aj Saji a 9s com poe 1213 3 i bj Sb Sb ays i0 Estabilidade Robusta O sistema é estdvel para qualquer aaa variacdo paramétrica apresentada em 1213 Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de Ordem Superior Criterio de RouthHurwitz Estabilidade Relativa Breve Introducao ao Controle Robusto O Teorema de Kharitonov Teorema Kharitonov O sistema incerto 1213 e robustamente estavel se e somente se forem Hurwitz seus quatro polinˆomios de Kharitonov KD1s a0 a1s a2s2 a3s3 a4s4 a5s5 1214a KD2s a0 a1s a2s2 a3s3 a4s4 a5s5 1214b KD3s a0 a1s a2s2 a3s3 a4s4 a5s5 1214c KD4s a0 a1s a2s2 a3s3 a4s4 a5s5 1214d Controle Prof Victor Aula 01 Aula 02 Aula 03 Aula 04 Aula 05 Aula 06 Aula 07 Aula 08 Aula 09 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Sistemas de Ordem Superior Criterio de RouthHurwitz Estabilidade Relativa Breve Introducao ao Controle Robusto Exemplo 5 Prova P2 20201 Considere um sistema em realimentacao unitaria e planta ˆgs 1 s3 cs2 bs a 2 a b c 3 Determinemos todos os compensadores I que garantem sua estabilidade robusta ˆys ˆrs ˆcsˆgs 1 ˆcsˆgs ki s4 cs3 bs2 as ki Controle Exemplo 5 Prova P2 20201 ed col AAT ROE st 1 b k 3 Cc a s bea ck s abea 2k 3 k As linhas s e s sdo evidentemente positivas Para a linha s2 a condicdo mais desfavoravel ocorre em bc 1 be Para a linha s devese ter ki abe a o que leva a c abéa abea abea be ki min Se 2 abe a a abe 4 4 aoe a 2 075 c c c c Breve Introdu3o ao Cece Neco A linha s apenas exige kj 0