Prova P1 - Solução Padrão de Controle e Sistemas Dinâmicos

UFMS Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Facom Faculdade de Computação Professor Dr Victor Leonardo Yoshimura Data 20052020 Prova P1 Solução Padrão Questão 1 25 pontos Considere o sistema no espaço de estado x 10 6 0 0 0 0 2 2 x 0 0 u y 1 0 0 x Caso um grau unitário seja posto na entrada determine y Solução Como o sistema é estável calcule os autovalores de A para calcular y devese aplicar o Teorema do Valor Final y lim s0 sYs lim s0 Gs Observando a relação entre espaço de estado e função transferencia Gs CsI A¹B D temse y CA¹B D 1detA CadjAB D Como D 0 e dadas as estruturas particulares de B e C basta calcular o cofactor 31 de A pois para este problema y 1³1 6 0 0 2 2 detA 06 Questão 2 25 pontos Obtenha uma representação no espaço de estado para o sistema mecânico da figura abaixo onde a entrada u é posição u e as saídas são as posições y1 e y2 Dica Qual a massa do bloco entre b2 e k2 Solução Observe que m1y1 k1u y1 b1ü y1 b2y3 y1 21 m2y2 k2y3 y2 2ii 0j3 b2y1 y3 2iii Assim unindo 2ii e 2iii m2y2 k2y3 y2 b2y1 y3 2iv Questão 3 25 pontos O conversor Cúk é um conversor CCCC cujo circuito está na figura abaixo Determine os modelos de circuito no espaço de estado quando S conduz e D bloqueia e viceversa Solução O circuito equivalente para o primeiro caso é Neste caso observe que L1x1 u x2 C1x2 x1 L2x3 x2 x4 C2x4 x3 1Ry 0 0 0 0 0 1C1 0 0 1L2 0 0 0 0 1Ry 0 0 0 x 1L1 0 0 0 u y 0 1C0 0 0 0 0 0 0 1m2 x Questão 4 25 pontos Impõese entrada degrau unitário para o sistema com FTMF Gs s² 858s 486 s³ 54s 405 Determine os valores de y ymax e tempo de acomodação critério 5 Solução O sistema é estável calcule as raízes para verificar este fato Assim usando o Teorema do Valor Final y lim s0 sGsRs lim s0 s² 858s 486 s³ 54s 405 12 Observe que G é uma FT apenas própria Assim sendo devemos escrevêla sob a forma Gs Gtds Js onde Gtd é a parcela de transmissão direta do sistema dada pelo quociente da divisão entre os polinômios que compõem G e J é o resto dessa divisão cujo grau é inferior a 2 Esses termos são Gtds 02 e Js 7s 405 Na parcela estritamente própria de G temse ωc 06 ωh 9 e α 1 Assim o overshoot desta parcela é em torno de 40 vide gráficos da Aula 09 Portanto o valor máximo da saída é dado pela soma da transmissão direta com o overshoot da parcela estritamente própria de G e o próprio valor do degrau ou seja ymax 16 O tempo de acomodação é determinado pela parcela estritamente própria já que a parcela de transmissão direta leva tempo nulo para acomodar Pelo critério 5 usando 94 temse ts 3σ 3069 0555s Gráfico Útil