Controle e Servomecanismos: Observabilidade e Teorema da Separação

CONTROLE E SERVOMECANISMOS Engenharia da Computacao Aula 26 Sistemas de Controle no Espaco de Estado IV Prof Dr Victor Leonardo Yoshimura Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Faculdade de Computacao 23 de maio de 2019 Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 23 de maio de 2019 1 22 1 Observabilidade 2 Observacao de Estado 3 Teorema da Separacao Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 23 de maio de 2019 2 22 Observabilidade 1 Observabilidade 2 Observacao de Estado 3 Teorema da Separacao Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 23 de maio de 2019 3 22 Observabilidade Introducao Estrategia da realimentacao de estado medir todas as variaveis de estado e usar 246 E se nao se dispuser de todos os sensores requeridos Nova estrategia fazer a leitura da saıda e de alguma forma estimar o estado Realimentacao dinˆamica da saıda Usar o estado estimado no lugar do real em 246 Pergunta imediata Sob quais condicoes isto e possıvel Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 23 de maio de 2019 4 22 Observabilidade Definicao de Observabilidade Definicao Observabilidade O SLITC homogˆeneo 41 e dito observavel se dada a saıda do sistema em um intervalo to tf entao e possıvel determinar xto A observabilidade responde a questao E possıvel determinar o estado a partir da leitura da saıda Se a observabilidade for verificada para um dado sistema dizse que o par A C e observavel Como verificar a observabilidade de um dado par A C Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 23 de maio de 2019 5 22 Observabilidade Matriz de Observabilidade Considere a soludo homogénea de 41 233 y Cx Cex Aplicando novamente a formula de interpolacdo de Sylvester n1 n1 n1 yC S atAx S a tCAx S CAaxtXo k0 k0 k0 Sem perda de generalidade com x O devese resolver o sistema CAx 0 k01n1 Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computac3o 23 de maio de 2019 622 Observabilidade Matriz de Observabilidade II Assim a transformacao linear O C CA CAn1 261 deve ser injetora Teorema O SLITC autˆonomo 41 e observavel se e somente se rankO n 262 alem disto a observabilidade de um sistema nao e afetada por nenhuma transformacao de similaridade T Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 23 de maio de 2019 7 22 Observabilidade Exemplo Considere o sistema massamolaamortecedor aula 04 0 1 0 x b kx1u mom m y i 0 x Determinemos a matriz de observabilidade C O I CA Logo este sistema é observavel Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 23 de maio de 2019 822 Observabilidade Forma Can6nica Observavel Definido Forma Canénica Observavel Um SLITC da forma 0 oO OO 0 O aolm In O OO O O aylm 0 IT oO 0 O alm x9 O IT 0 ODO azIn xBu 263a 0 O O In O an2Im 0 O O O In an1Im y0 00 0 0 IxDu 263b é dito estar na Forma Canénica Observavel FCO Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computa4o 23 de maio de 2019 922 Observabilidade Qual a importˆancia da FCO Teorema Dualidade O par A C e observavel se e somente se o par A C for controlavel Tendo em vista o que ja foi exposto para a FCC Lema i A FCO e observavel ii Todo SLITC similar a FCO e observavel No item ii do lema anterior vale a recıproca A observabilidade no plano s ocorre se nao ocorrer cancelamentos na FT Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 23 de maio de 2019 10 22 Observabilidade Forma CanG6nica Observavel de SLITCSISO Considere a FCC 251 da EDO 41 e Faca o seguinte mapeamento A Be A GC 264 é 0 Ey D 264 Desta forma obtémse a Forma Candnica Observavel FCO O vetor de estado nao é o mesmo Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 23 de maio de 2019 1122 Observacao de Estado 1 Observabilidade 2 Observacao de Estado 3 Teorema da Separacao Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 23 de maio de 2019 12 22 Observaao de Estado Diagrama de Blocos WEL STL eM MPK Pere ch a x i er EN Orin fr Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 23 de maio de 2019 1322 Observacao de Estado Observador de Estado Nem todas as variaveis de estado possuem sensor Assim x nao esta completo e devese estimalo a partir de y Estrategia construir um clone do sistema original da forma ˆx Aˆx Bu Lˆy y 265a ˆy Cˆx Du 265b ˆx e a estimacao de x Note que em geral x0 ˆx0 C nao e invertıvel do contrario o problema seria trivial Trocase a realimentacao de estado 246 por u KMr ˆx 266 Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 23 de maio de 2019 14 22 Observacao de Estado Questoes para Projeto Sob quais condicoes temse ˆx x Sob quais condicoes o sistema mostrado e estavel A insercao do observador altera a dinˆamica do sistema De que forma O projeto do observador e afetado pela escolha de K e de M Existe alguma relacao entre a dinˆamica do observador e da planta O problema a ser resolvido e chamado estimacao de estado Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 23 de maio de 2019 15 22 Observacao de Estado Erro de Observacao Devemos primeiro determinar a eficiˆencia do observador 265 Sera que ele consegue fazer ˆx x Restrinjamos nosso estudo a SLITCSISOs Definamos o erro de observacao com 41a e 265a ε x ˆx Ax Bu Aˆx Bu Lˆy y Aε Ly ˆy 41b 265b Aε LCx Du Cˆx Du A LCε 267 Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 23 de maio de 2019 16 22 Observacao de Estado Dualidade e Projeto de Observadores Lema Seja ε o erro de estimacao do SLITCSISO 41265 Entao ε 0 para t se e somente se L Rn1 tal que A LC tenha seus autovalores no semiplano complexo esquerdo Importante Defina o sistema dual de 41 χ Aχ Cν 268a υ Bχ Dν 268b O lema proposto nos induz a aplicar a solucao do problema da alocacao de polos ao sistema dual para resolver o problema da observacao de estado com realimentacao ν Lχ 269 Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 23 de maio de 2019 17 22 Observaao de Estado Observadores de Estado Procedimento de Projeto Verifique se o sistema dual é controlavel o primal é observavel Escreva o polindmio caracteristico de A n1 detsI A 8 S aj4is 2610 i0 Determine T com 253 se necessario use 251 também Determine o polindmio caracteristico desejado com 254 Determine a matriz de ganho de saida com 255 e 256 Observacao e Adapte adequadamente os passos 3 a 5 do procedimento anterior e E possivel aplicar a formula de Ackermann de forma adequada Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 23 de maio de 2019 1822 Teorema da Separacao 1 Observabilidade 2 Observacao de Estado 3 Teorema da Separacao Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 23 de maio de 2019 19 22 Teorema da Separacao Teorema da Separacao e Garantimos que x para t oo e Mas como o sistema se comportara j4 que em geral X 4 x Recompilemos o sistema 41 265 e 267 obtendo o sistema aumentado x ABK BK x BKM fr SREP cons yCDK DK E DKMr 2611b Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 23 de maio de 2019 20 22 Teorema da Separacao Teorema da Separacao II Lema Sejam ABC R R R Entdo A B AcA 0 Cc e AA ou AC soe A B ae A multiplicidade de X em 0 c 2sema de suas multiplicidades em AeemC Teorema Separaao O projeto das matrizes de realimentacao de estado e de ganho da saida podem ser realizados independentemente e alocando os polos de A BK e de A LC em posicées arbitrarias do plano complexo desde que valores complexos ocorram em pares conjugados respectivamente Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computa4o 23 de maio de 2019 2122 Teorema da Separacao Projeto da Matriz de Ganho da Referéncia Observe que I I BK BK ot ABK sI A BKBKsI A ro a 0 ALC 0 sI ALC 2612 Observacao AFT de 2611 usando 42 é 248 e Logo o projeto da matriz de ganho da referéncia M pode ser feito com 254 e Podese usar também 255 para a solugao de 254 com menor norma euclidiana possivel e E interessante posicionar os autovalores do observador de 2 a 5 vezes mais a esquerda do ultimo autovalor da planta realimentada Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 23 de maio de 2019 22 22