Prova P3 - Controle e Servomecanismos - Solução Padrão

UFMS Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Facom Faculdade de Computacao Curso Engenharia de Computacao Data 12122018 Professor Dr Victor Leonardo Yoshimura Disciplina Controle e Servomecanismos Acadˆemico Matrıcula Prova P3 Solucao Padrao Questao 1 3 pontos Um sistema de controle em realimentacao unitaria tem planta com resposta em frequˆencia 102 101 100 101 102 40 30 20 10 0 ω rads dB 102 101 100 101 102 80 60 40 20 0 ω rads arg Projete um compensador que proporcione erro estatico de posicao inferior a 5 overshoot inferior a 10 aproxime por um sistema de segunda ordem e margem de ganho mınima de 10dB Solucao Com a finalidade de eliminar o erro estatico de posicao um integrador sera incluıdo no compensador Assim um termo igual a 20 log ω sera adicionado ao ganho e uma fase de 90 sera adicionada a toda a faixa de frequˆencias Note que este procedimento nao afeta a margem de ganho que continua infinita Para obter overshoot inferior a 10 devese ter ζ 06 aula 09 o que exige MF 60 aula 20 Note que apos a inclusao do integrador a frequˆencia de cruzamento de ganho estara proxima da frequˆencia unitaria na verdade ligeiramente abaixo a qual tem fase igual a 135 ou seja a margem de fase atual e de 45 Adicionemos 25 a esta margem o que exige um compensador do tipo avanco De 223 escolhese α 04 A nova frequˆencia de cruzamento do ganho calculada com 225 e1 Gjωg 10 log α 4dB ωg 105rads Aplicando 224 com ωm ωg chegase a T 151s Por fim como nao e necessario alterar o ganho para corrigir o erro estatico escolhese αkc 1 kc25 Logo o compensador projetado fica Cs 151s 1 s06s 1 1Devese incluir o efeito do integrador neste calculo Questao 2 3 pontos Considere a planta 0 1 1 0 x0 0 1x4lu 111 0 y0 0 1x Projete um sistema de controle via realimentagao dindmica de satda que proporcione comportamento dominante de segunda ordem com overshoot inferior a 10 tempo de acomodagao inferior a 10s critério 2 erro estdtico de posigao nulo e obedecendo as recomendagoes para o projeto de observadores de estado Solugao Devemos verificar se o sistema é controldvel Usando 252 01 1 CB AB AB1 0 1 detC 1 controlavel 0 1 2 Da Aula 09 observase que as especificagdes de projeto exigem 06 8 53 eo 04 Escolhamos como raizes 05 j05 e 25 para haver comportamento dominante de segunda ordem Assim o polindmio alocador para estas raizes fica Ps s 05 j05s 05 j05s 25 s 355 38 125 Aplicando a Férmula de Ackermann 273 K 0 0 1C7PA 275 45 675 Devemos aplicar 274 para anular o erro estdtico de posigaéo ou para norma euclidiana minima usase 275 Para esta chegase a M oo 0 047 076 0 114 D C DKA BKB K Para o observador devemos verificar se 0 sistema é observavel Assim com 281 C 0 0 1 OCA1 1 1 det O1 observavel CA 1 2 3 Posicionemos os polos do observador a duas vezes o ultimo polo da planta ou seja Ps s 5 8 15s 75s 125 Usando a Férmula de Ackermann sobre o sistema dual 288289 L0 0 10PA 49 126 16 O Questao 3 2 pontos Um sistema de controle possui planta com FTMF 1 Gs s s3s2 Mostre que este sistema é estdvel exibindo uma funcdo de Lyapunov Solugao O sistema pode ser representado no espaco de estado na forma 0 1 0 Sy Safe ile y 1 0 x Tomemos a abordagem proposta em 295 Fazendo Q I 0 4 0 D1 1 te see a sl E3 BE P2 P3 P2 P3 0 2 6 Ips 1 O que conduz a fungao f125 x Vx x ioe as que é de Lyapunov pois atende ao critério de Sylvester O Questao 4 2 pontos Considere wma planta descrita por 0 2 1 1 x 1l 2 O x j0 u 1 1 1 0 y 1 2 0 x Projete um compensador via realimentagao de estado considerando a minimizagao do critério quadratico min f a3 u7dt JO Solugao Devemos verificar se o sistema é controldvel Usando 252 1 0 8 CB AB AB0 1 2 detC 4 controlavel 0 1 2 Observe que o critério de otimalidade pode ser reescrito como oo oo 0 0 0 oo 0 min f 03 u2dt min x 0 1 Oxuv at min x 1 0 1 Oxu dt uv JO u Jo 00 0 JO 0C eV v Q Assim é possivel adotar o procedimento do lugar das raizes simétrico ao invés da Equagao Algébrica de Riccati para resolver este problema Calculando a FT ficticia para a varidvel de interesse com 307 s VsI AB S PST s84525s1 Aplicando 308 e notando que para este problema p 1 Devemos alocar os autovalores do sistema em malha fechada nas raizes no SPE do polinomio Qs s 11s 28s 2 que sao 027 196 e 266 Usando o procedimento da Questao 2 obtemse K 389 313 444 M 0031 0025 0035 O