Controle de Sistemas Lineares - Projeto de Controlador para Tanques Acoplados

Considere o sistema de tanques comunicantes da figura abaixo para o qual R1 1sm2 R2 04sm2 C1 2m2 e C2 5m2 a Obtenha um modelo no espaço de estado apenas a EDO com x h1 h2 e u q Este sistema é controlável Em cada caso y x1 e y x2 o sistema é observável b Para cada caso do item a determine as vazões de entrada constantes necessárias para fazer y 1m e o tempo de acomodação critério 5 e o overshoot Simule cada caso plotando o comportamento de ambas as variáveis de estado ao longo do tempo c Para cada caso do item a projete controladores via realimentação de estado que reduzam o tempo de acomodação obtido pela metade com overshoot inferior a 10 Simule cada caso plotando o comportamento de ambas as variáveis de estado ao longo do tempo d Para cada caso do item a projete controladores via realimentação dinâmica de saída que reduzam o tempo de acomodação obtido pela metade com overshoot inferior a 10 Simule cada caso plotando o comportamento de ambas as variáveis de estado reais e os erros de observação ao longo do tempo 1 Processo Considere o sistema de tanques acoplados da FIG 1 cujas capacitâncias e resistências são apresentadas na TAB 1 O objetivo do processo é controlar as alturas h1 e h2 atuando na vazão de entrada q Figura 1 Sistema de tanques duplos Tabela 1 Resistência e capacitância do sistema de tanques Parâmetro Valor Unidade R1 1 sm2 R2 04 sm2 C1 2 m2 C2 5 m2 2 Modelagem As equações do sistema são C1 doth1 q q1 1a h1 h2R1 q1 1b C2 doth2 q1 q2 1c h2R2 q2 1d Aplicando 1b em 1a e também 1b e 1d em 1c segue dh1dt 1C1 q h1R1 h2R1 2a dh2dt 1C2 h1R1 h2R1 h2R2 2b Definindo x x1 x2 h1 h2 e u q obtemos o modelo em espaço de estados do sistema como dotx1 dotx2 1R1 C1 1R1 C1 1R1 C2 1C2 1R1 1R2 x1 x2 1C1 0 u 3 Adotando os valores da TAB 1 dotx1 dotx2 05 05 02 07 x1 x2 05 0 u 4 Analisando dois casos separados no qual y1 h1 e y2 h2 obtemos y1 1 0x1 x2 5a y2 0 1x1 x2 5b 3 Controlabilidade e Observabilidade A matriz de controlabilidade é C B AB 05 025 0 01 6 cujo determinante é C 005 0 ou seja a matriz de controlabilidade tem posto completo Sendo assim o sistema tem estados completamente controláveis As matrizes de observabilidade são O1 C1 C1 A 1 0 05 05 O1 05 7a O2 C2 C2 A 0 1 02 07 O2 02 7b cujos determinantes são não nulos ou seja as matrizes de observabilidade têm posto completo Sendo assim o sistema tem estados completamente observáveis 4 Análise da malha aberta Aplicando um degrau unitário na entrada do sistema os estados se comportam conforme apresentado na FIG 2 Os estados convergem assintoticamente e portanto não apresentam overshoot Comportamento típico de sistemas de primeira ordem ou de segunda ordem superamortecidos Mas dada a curva em S mais facilmente percebida em h2 e a ordem da matriz A deduzse que o sistema é de segunda ordem superamortecido Pela análise dos gráficos os estados acomodam em h1 14 m e h2 04 m Devido à linearidade do sistema as saídas y1 e y2 convergirão para 1 m se a vazão de entrada for respectivamente u1 114 57 m3s u2 104 25 m3s 8 0 20 10 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 0 1 02 04 06 08 12 14 a h1t 0 20 10 2 4 6 8 12 14 16 18 0 02 04 01 03 005 015 025 035 b h2t Figura 2 Resposta para uma entrada degrau unitário Adicionalmente foi plotado junto às dinâmicas dos estados uma linha tracejada com ampli tude igual a 95 do valor final das respostas a fim de facilitar a identificação visual do tempo de 3 acomodação No entanto os valores foram obtidos varrendo o vetor dos estados como sendo ts1 1065 ext s quad extpara h1 ext 9a ts2 1245 ext s quad extpara h2 ext 9b que coincidem com os pontos de intercepção da linha tracejada e a resposta dos estados mostrados no gráfico da FIG 2 5 Projeto via realimentação de estados A malha fechada deverá reduzir o tempo de acomodação em 50 enquanto mantém um sobressinal máximo percentual menor que 10 em ambos os casos para a saída y1 h1 ou y2 h2 Sendo assim será projetado um controlador via realimentação de estados para cada caso 51 Projeto para h1 Os critérios de desempenho estipulados são ts 5325 s e OS 5 Portanto o coeficiente de amortecimento zeta deve ser tal que zeta frac ln OSsqrtpi2 ln2 OS 06901 10 A frequência natural deve ser omegan frac3zeta ts 08164 ext rads 11 Os polos que correspondem aos critérios estipulados são p12 zeta omegan pm j omegan sqrt1zeta2 05634 pm j05908 12 A equação característica desejada é alphaclambda lambda 05634 j05908lambda 05634 j05908 lambda2 11268 lambda 06665 13 Calculando o polinomial da matriz A alphacmathbfA mathbfA2 11268 mathbfA 06665 mathbfI left beginarraycc 04531 00366 00146 04677 endarray right 14 Projetando os ganhos de realimentação pela fórmula de Ackermann mathbfK left0 quad 1right mathbfC1 alphacmathbfA left01465 quad 46772right 15 ou seja o sinal de controle é ut mathbfKxt 01465 x1t 46772 x2t 01465 h1t 46772 h2t 16 A matriz de estados da malha fechada é mathbfAcl mathbfA mathbfB mathbfK left beginarraycc 04268 18386 02 07 endarray right 17 cujo polinômio característico é λI Acl λ2 11268λ 06665 exatamente como desejado No Scilab todo o cálculo da 1315 é feito pelo comando ppolABp A resposta dos estados para uma entrada degrau unitário é mostrada FIG 3 Novamente foram plotados linhas tracejadas para facilitar a identificação visual do tempo de acomodação a um critério de 5 Os estados se comportaram como sistemas de segunda ordem subamortecidos como escolhido no projeto Verificase que os estados não acomodam no mesmo tempo sendo x1 mais lento que x2 0 10 2 4 6 8 12 14 16 1 3 5 7 9 11 13 15 0 02 04 06 0 10 2 4 6 8 12 14 16 1 3 5 7 9 11 13 15 0 01 005 015 Figura 3 Resposta da malha fechada do projeto para h1 O tempo de acomodação e sobressinal da malha fechada é apresentado na TAB 2 no qual foi visto que o tempo de acomodação estipulado foi obtido com sucesso mas o sobressinal excedeu ao limite estabelecido em mais de 50 Tendo em vista que a equação característica desejada foi obtida este comportamento é explicado pela presença de um zero Tabela 2 Desempenho do controlador projetado para h1 Parâmetro critério obtido erro ts s 5325 5315 001 OS 10 156 56 Como o controlador projetado não conseguiu atingir o critério limite para o sobressinal será refeito o projeto aumentando a folga no OS Projetando para OS 1 segue 1 ζ 08261 2 ω2 06820 5 Calculando o polinomial da matriz mathbfA alphacmathbfA mathbfA2 09639mathbfA 04877 mathbfI left beginarraycc 03558 01181 00472 04030 endarray right 21 Projetando os ganhos de realimentação pela fórmula de Ackermann mathbfK left0 quad 1right mathbfC1 alphacmathbfA left04723 quad 40298right 22 ou seja o sinal de controle é ut mathbfK xt 04723 x1t 49298 x2t 04723 h1t 40298 h2t 23 A matriz de estados da malha fechada é mathbfAcl mathbfA mathbfB mathbfK left beginarraycc 02639 15149 02 07 endarray right 24 cujo polinómio característico é lambda mathbfI mathbfAcl lambda2 09639 lambda 04877 exatamente como desejado A resposta dos estados para uma entrada degrau unitário é mostrada FIG 5 As linhas tracejadas são para facilitar a identificação visual do tempo de acomodação a um critério de 5 Os estados se comportaram como sistemas de segunda ordem subamortecidos devido a escolha de par de polos complexos conjugados Figura 5 Resposta da malha fechada do projeto para h2 O segundo estado é mais lento que o primeiro neste caso Os critério de desempenho da saída y2 h2 estão postos na TAB 3 na qual foi visto que o tempo de acomodação foi 2 segundos menor do que o estipulado e o sobressinal está na faixa estipulada 3 p12 05634 j03843 4 mathbfK left01465 quad 26638 right 5 mathbfAcl left beginarraycc 04268 08319 02 07 endarray right A simulação dos estados para o reprojeto é mostrada na FIG 4 No qual se observa uma mudança considerável na dinâmica Em especial x2 se tornou mais lento que x1 Contudo como a saída é x1 vemos que agora o sistema acomoda em ts 2805 s e tem sobressinal máximo percentual de OS 36 Ou seja todos os critérios de desempenho foram atingidos Figura 4 Simulação do reprojeto de h1 52 Projeto para h2 Os critérios de desempenho estipulados são ts 6225 s e OS 5 O coeficiente de amortecimento é zeta 06901 e a frequência natural deve ser omegan frac3zeta ts 06983 ext rads 18 Os polos que correspondem aos critérios estipulados são p12 zeta omegan pm j omegan sqrt1zeta2 04819 pm j05054 19 A equação característica desejada é alphaclambda lambda 04819 j05054lambda 04819 j05054 lambda2 09639 lambda 04877 20 É interessante notar que o projeto dos ganhos é feito somente com as matrizes A e B e por isso a acomodação não reflete completamente a saída pois o estado 2 acomodou mais rapidamente Considerando o sistema total isto é os dois estados fica evidente que o estado mais lento acomoda entorno de 6225 s Tabela 3 Desempenho do controlador projetado para h2 Parâmetro critério obtido erro ts s 6225 4090 2135 OS 10 509 0 6 Projeto via realimentação da saída A maneira mais fácil de fazer o projeto via realimentação da saída é projetar os ganhos L do observador separadamente e então juntar com os ganhos da realimentação de estados anteriormente Para cada caso da saída será feito um projeto separado 61 Projeto para h1 Os polos do observador devem ser cerca de 5 vezes mais rápido que a malha fechada portanto p12 6 25 αcA A2 12A 36I 3035 54 216 2819 26 O ganho então é projetado diretamente pela forma de Ackermann como L αcAO110 1T 108 5638T 27 O espaço de estados da malha fechada é então descrito por ẋ ė A BK BK 0 A LC1x e B 0rt 28 y1 C 0 x e 29 sendo e e1 e2T a diferença entre o estado real x e o estimado pelo observador x e o vetor K como sendo o controlador projetado anteriormente para h1 Substituindo os valores ẋ1 ẋ2 ė1 ė2 04268 08319 00732 13319 02 07 0 0 0 0 113 05 0 0 5618 07x1 x2 e1 e2 05 0 0 0 rt 30 y1 1 0 0 0 x1 x2 e1 e2 31 A simulação da malha fechada com projeto de realimentação dinâmica da saída para o caso h1 é apresentada na FIG 6 Na qual a fim de testar o observador considerouse o estado x2 real saindo de 02 enquanto que o estado estimado x2 parte de 0 ou seja com um erro de e20 02 Observase que rapidamente os erros de estimação convergem para 0 Observase que o erro de estimativa do estado 2 acaba gerando um pequeno erro de estimativa do estado 1 Figura 6 Resposta da malha fechada para entrada degrau Os critérios de desempenho da realimentação dinâmica da saída para o caso y1 h1 estão postos na TAB 4 A adição do observador causou mudanças ligeiras o tempo de acomodação cresceu cerca de 05 s e o sobressinal aumentou em 42 Embora o tempo de acomodação tenha passado do critério estipulado o erro é pequeno e portanto considerase que a realimentação dinâmica da saída atingiu aos requisitos de projeto Tabela 4 Critérios de desempenho do controladorobservador para h1 Parâmetro critério obtido erro ts s 5315 5795 048 OS 10 78 0 62 Projeto para h2 Localizando os polos do observador entorno de 5 vezes abaixo dos polos da malha fechada do projeto por realimentação de estados p12 5 32 αcA A2 10A 25I 2035 44 176 1859 33 O ganho então é projetado diretamente pela forma de Ackermann como L αcAO210 1T 10175 88T 34 O espaço de estados da malha fechada é então ẋ1 ẋ2 ė1 ė2 02639 15149 02361 20149 02 07 0 0 0 0 05 10125 0 0 02 95x1 x2 e1 e2 05 0 0 0 rt 35 y1 0 1 0 0 x1 x2 e1 e2 36 A simulação da malha fechada com projeto de realimentação dinâmica da saída para o caso h2 é apresentada na FIG 7 Novamente alterou configurouse os estados iniciais com x1 02 enquanto x1 0 a fim de perceber a ação do observador De fato os estados estimados convergem rapidamente para os estados reais tendo em vista que o erro entre eles é zerado rapidamente na simulação Figura 7 Resposta da malha fechada para entrada degrau Os critérios de desempenho da realimentação dinâmica da saída para o caso y2 h2 estão postos na TAB 5 Houve mudanças sutis nos resultados após as adição do observador Especificamente o tempo de acomodação cresceu 07 s enquanto o overshoot teve um decréscimo de 07 Embora o tempo de acomodação tenha passado do critério estipulado em 12 o erro é relativo pequeno e portanto considerase que a realimentação dinâmica da saída atingiu aos requisitos de projeto Tabela 5 Critérios de desempenho do controladorobservador para h2 Parâmetro critério obtido erro ts s 6225 6955 073 OS 10 52 0