Prova P3 - Controle e Servomecanismos - Engenharia de Computação

UFMS Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Facom Faculdade de Computacao Curso Engenharia de Computacao Data 15122020 Professor Dr Victor Leonardo Yoshimura Disciplina Controle e Servomecanismos Acadˆemico Matrıcula Prova P3 Questao 1 25 pontos Um sistema de controle em realimentacao unitaria tem planta com diagramas de Bode conforme mostram as figuras abaixo 101 100 101 102 40 35 30 25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 ω rads dB 101 100 101 102 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 ω rads arg Projete um compensador para este sistema que confira erro estatico de velocidade inferior a 005 margens de fase e de ganho de pelo menos 35 e 10dB respectivamente Solucao Prolongando a reta do integrador inicial temse Kv 8 Para εv 005 devese ter Kv 20 ou seja o ganho necessario para o controlador deve ser kc 20 8 25 A fase da planta nao atinge 180 o que sugere margem de ganho infinita Para a margem de fase buscase a frequˆencia ωg onde Gjωg 20 log 25 8dB Esta frequˆencia e em torno de 14rads cuja fase esta em torno de 140 Logo a margem de fase e cerca de 40 e um compensador P com o ganho ja calculado compensa o sistema ou seja devese usar Cs 25 Questao 2 25 pontos Considere o sistema de controle em realimentagao unitéria com planta 1 G 08s s 74 Determine a faixa de valores de um compensador P que tornam o sistema estdvel Informagdao adicional A menor solugao positiva para sen08w wcos08w 0 éw 245rads Solucao A FTMA nao possui polos no SPD Assim devemos verificar se o diagrama de Nyquist de CG nao circunda o ponto 1 j0 Para tanto fagamos s jw e utilizemos a identidade de Euler na FTMA dada compensador P obtendo CjwGjw cos08w j sen08w cos08w 7 sen08w1 gw 14 jw 1w k Tq gp 00808 wsen08w 7sen08w wcos08w Para sabermos se 0 ponto 1 70 é circundado pelo diagrama de Nyquist observamos o valor de w que torna nula a parte imaginaria de Gjw Tal valor é fornecido pela informagéo adicional Assim nesta frequéncia a parte real de Gjw nao deve ser inferior a 1 ou seja k Cj245Gj245 Tp 9 app c0s08 245 245 sen08 245 1 0378k 1 k 265 O Questao 3 25 pontos Obtenha a solugdo yt para o sistema 0 1 0 2 3 x0 xo H y 0 1 x 1 1 Informagao adicional Le Oo p Solucao Note que se for solucionada a EDO o problema estara resolvido Observe ainda que o problema é homogéneo e sua solucao dada por 233 é At 1 1 f adjsI A oH Ll IA oH Ll x xex s yo x SauIoa x Como y Cx entao f adjsI A 4 1 CL 4 x HL C adjsI Ax Y foe A f detsI A Malet Ax Dadas as estruturas de C e de x sé é necessario calcular o elemento de posicgao 22 de adjsI A que és Assim 8 8 1 2 f1 hig pet NL ty gt y sautay lasaexs stl 542 CF ee O Questao 4 25 pontos Uma planta possui representagao no espaco de estado l 1 4 1 X19 5 1 Desejase controlar a satda deste sistema que 2 dispondo apenas da lettura desta varidvel e posicionando os polos do sistema em malha fechada em 1 702 com erro estdtico de posigao nulo Nestas condicgdes a Determine possivel apenas com a leitura disponibilizada construir um controlador via realimentagao dinadmica de saida Em caso afirmativo projeteo com autovalores do observador duas vezes mais a es querda do que os do sistema principal em malha fechada b Se o item anterior nao resultar posstvel projete um controlador via realimentagao de estado se possivel para este sistema Solucao a Note que y 2 0 1 x e portanto a matriz de observabilidade do sistema é C 0 1 oE aono Logo o sistema nao é observavel e nao é possivel construir um controlador via realimentacao dinamica de saida para este sistema nestas condicoes b Calculemos a matriz de controlabilidade C B AB 9 detC 5 1 5 Logo é possivel projetar uma realimentacao de estado para este sistema Determinemos 0 polindmio alocador Ps s 1 j02s 1 j02 s 2s 104 Usando a férmula de Ackermann temse K0 1C7PA 0008 6008 Para garantir erro nulo com a matriz de ganho de referéncia com a menor norma euclidiana usase 2512 com D0 1 M K 00002305 CA BKBK 01731022 O