Introdução à Teoria de Lyapunov - Sistemas de Controle no Espaço de Estado

CONTROLE E SERVOMECANISMOS Engenharia da Computacao Aula 27 Sistemas de Controle no Espaco de Estado V Prof Dr Victor Leonardo Yoshimura Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Faculdade de Computacao 28 de maio de 2019 Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 28 de maio de 2019 1 18 1 Introducao a Teoria de Lyapunov 2 Teoria de Lyapunov em SLITCs Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 28 de maio de 2019 2 18 Introducao a Teoria de Lyapunov 1 Introducao a Teoria de Lyapunov 2 Teoria de Lyapunov em SLITCs Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 28 de maio de 2019 3 18 Introducao a Teoria de Lyapunov Introducao Para SLITCs muitos criterios de estabilidade estao disponıveis Criterio de RouthHurwitz Criterio de Nyquist Se o sistema nao for linear ou nao for invariante esses criterios sao invalidos A Teoria de Lyapunov formulada em 1892 e aplicavel a tais situacoes Para SLITCs a Teoria de Lyapunov proporciona uma analise e sıntese de controladores mais versatil Importante A Teoria de Lyapunov nao invalida o que estudamos ate aqui Apenas e mais completa e complexa do que os metodos anteriormente estudados Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 28 de maio de 2019 4 18 Introducao a Teoria de Lyapunov Sistemas em Tempo Contınuo SCs Considere um SC definido pela Equacao Diferencial x fx t 271 onde f e uma funcao dependente do estado x e possivelmente do tempo t 271 define um campo vetorial em Rn Suponha que φt xo to seja a solucao unica de 271 Definicao Ponto de Equilıbrio Seja xe Rn tal que fxe t 0 t 0 Entao xe e dito um ponto de equilıbrio de 271 Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 28 de maio de 2019 5 18 Introdugao a Teoria de Lyapunov Exemplo Campo Vetorial de SLITCs Considere o sistema 1l 2 21 2249 x x 0 5 d22 NN NNNNNANAN ANNA AAAS 5 NN NNNN NNN VN LV Y VARY ELS NN NNN NN ANNAN ANY YL AS NNN NN NNN NANNY YY YY EY EE 6 NW WW WWW WY VY YY YY YR Ye bd tet Ww WW WN RY VY YY YY HH He He tt Ft 4 MB RRR Re Re QQ GQ HG HT VT HT FH TF TF TF PF FT af see yo ee 2 4 40 4 46 6 kk kk ee UDUDUDUYUYOU YOU Pekka 4 A ok kee RRR RS be ob hh eh RR RR RR RR RRR KKK YS 6 pe kkk kkk RRR RAHN YNN KANNAN YSN berth bey YRS NNN NNN NNNNN 8 Pedy PARAANANNNANNANNNNNNAN PEP YAY ANN ANNAN ANANANAN 10 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 xt Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 28 de maio de 2019 618 Introducao a Teoria de Lyapunov Definicoes de Estabilidade I Observacao Se xe 0 podese fazer ze 0 onde z e obtida por uma mudanca adequada de variaveis de estado translacao em x Definicao Estabilidade no Sentido de Lyapunov O ponto de equilıbrio xe e dito localmente estavel no sentido de Lyapunov ou Lyapunovestavel se dado ε 0 entao δ 0 tal que xo xe δ φt xo to xe ε Definicao Estabilidade Assintotica O ponto de equilıbrio xe e dito localmente assintoticamente estavel se alem de Lyapunovestavel verificase para t φt xo to xe Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 28 de maio de 2019 7 18 Introducao a Teoria de Lyapunov Definicoes de Estabilidade II δ ε xe Lyapunovestavel Assintoticamente estavel Instavel Os fatos ilustrados na figura devem ocorrer para todo x na esfera δ Se cada definicao de estabilidade ocorre para δ entao a estabilidade e dita global Se dado ε 0 nao existir δ mesmo muito pequeno para as definicoes dadas o ponto de equilıbrio e dito instavel Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 28 de maio de 2019 8 18 Introducao a Teoria de Lyapunov Positividade Definicao Positividade de Funcoes Seja Ω Rn e V Ω R uma funcao V sera dita positivadefinida se i V x 0 x Ω ii V x 0 x 0 Observacao Na definicao de positividade se V x 0 para algum x 0 alem do proprio vetor nulo V e dito positivosemidefinido De maneira analoga definese negatividade de funcoes Uma funcao que nao se enquadra nestas definicoes e dita indefinida Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 28 de maio de 2019 9 18 Introdugao a Teoria de Lyapunov Positividade Formas Quadraticas e Autovalores Considere P R P P Uma importante classe de funcdes R R é dada pela forma quadratica Vx xPx 272 Da Algebra Linear temse e V é positiva definida se e somente se todos os autovalores de P forem positivos P é uma matriz positivadefinida eo V é negativa definida se e somente se todos os autovalores de P forem negativos P é uma matriz negativadefinida Lema Critério de Sylvester P RP P é positivadefinida se e somente se 1 pu 0 P 0 IPlo P21 p22 Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 28 de maio de 2019 1018 Introducao a Teoria de Lyapunov O Teorema da Estabilidade de Lyapunov Teorema Lyapunov Seja 271 um SC tendo a origem como ponto de equilıbrio Se houver uma funcao V Rn R com derivadas parciais de primeira ordem contınuas tal que i V e positivadefinida e ii V e negativadefinida entao o ponto de equilıbrio e assintoticamente estavel Adicionalmente se V para x a estabilidade e global Sistemas mecˆanicos e eletricos sao estaveis se a energia que e positivadefinida decai derivada negativadefinida Em outros sistemas pode ser difıcil definir energia Ideia de Lyapunov definir uma funcao energia fictıcia no sistema Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 28 de maio de 2019 11 18 Introdugao a Teoria de Lyapunov Exemplo Funcao Energia Para o exemplo anterior considere Vx xIx x 27 73 Calculando sua derivada VVVx20 2x2 71 22 2a 4x12 1002 5x2 2a x2 425 que é negativadefinida Por outro lado também temse ls 2 2 2 2 VHVV X227 421 10x35 x 9 19 cujos autovalores sdo 15 e 105 Ainda pelo critério de Sylvester 2 2 det2 2 det 2 io 16 Logo a origem deste sistema é global e assintoticamente estavel Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 28 de maio de 2019 1218 Introducao a Teoria de Lyapunov Exemplo Funcao Energia 0 10 10 12 8 6 4 2 2 4 6 8 12 0 10 10 8 6 4 2 2 4 6 8 x1 x2 As trajetorias entram nas hiperfıcies de energia constante Nem sempre as hiperfıcies de energia constante serao esferas Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 28 de maio de 2019 13 18 Introducao a Teoria de Lyapunov Teorema Recıproco de Lyapunov Teorema Lyapunov Recıproco Seja 271 um SC tendo a origem como ponto de equilıbrio Se houver uma funcao W Rn R com derivadas parciais de primeira ordem contınuas tal que i W e positivadefinida em algum Ω Rn ii W e positivadefinida em Ω e iii 0 Ω entao o ponto de equilıbrio e instavel Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 28 de maio de 2019 14 18 Teoria de Lyapunov em SLITCs 1 Introducao a Teoria de Lyapunov 2 Teoria de Lyapunov em SLITCs Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 28 de maio de 2019 15 18 Teoria de Lyapunov em SLITCs Alguns Fatos sobre Estabilidade de SLITCs Lema Considere o SLITC homogˆeneo 41 Se A for invertıvel entao a origem e o unico ponto de equilıbrio do sistema Lema Em um SLITC as seguintes afirmativas sao equivalentes i A origem e global e assintoticamente estavel ii Os autovalores de A estao no semiplano complexo esquerdo iii Existem c 0 e λ 0 tais que φt xo 0 eAtxo c eλt 273 iv Existe uma funcao de Lyapunov quadratica para o sistema Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 28 de maio de 2019 16 18 Teoria de Lyapunov em SLITCs Como Construir a Funcao de Lyapunov Considere 272 como uma funcao candidata a Lyapunov Derivemola V x xPx xPx AxPx xPAx xAP PAx 274 Note que 274 deve ser negativadefinida para a estabilidade Assim Teorema Seja 41 um SLITC homogˆeneo Uma condicao necessaria e suficiente para sua estabilidade global e assintotica e que dada Q Rnn Q Q positivadefinida exista P Rnn P P positivadefinida tal que AP PA Q 275 Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 28 de maio de 2019 17 18 Teoria de Lyapunov em SLITCs Exemplo Considere o SLITC homogéneo x ot x 1 1 Facamos Q I um chute inicial bem conveniente e apliquemos 275 py x O 1 pi x pry O 1 l1 0 P f i 1 0 l O que origina 2p2 1 p 15 05 Pi p2 p3 0 05 1 2p2 2p3 1 Prof Victor L Yoshimura UFMSFacom Controle Eng Computacao 28 de maio de 2019 1818